第 99 煉 歸納推理與類比推理 一、基礎(chǔ)知識(shí)：

　（一）歸納推理：

　1、歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納），簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理 2、處理歸納推理的常見(jiàn)思路：

　（1）利用已知條件，多列出（或計(jì)算出）幾個(gè)例子，以便于尋找規(guī)律 （2）在尋找規(guī)律的過(guò)程中，要注意觀察哪些地方是不變的（形成通式的結(jié)構(gòu)），哪些地方是變化的（找到變量），如何變化（變量變化的規(guī)律）

�。�3）由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形，看是否符合題意 3、常見(jiàn)的歸納推理類型：

　（ 1 ）

　函 數(shù) 的 迭 代 ：

　設(shè) f 是 D D ? 的 函 數(shù) ， 對(duì) 任 意 x D ? ， 記? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?0 1 2 1, , ,n nf x x f x f x f x f f x f x f f x?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?，則稱函數(shù)? ?? ?nf x 為 ? ? f x 的 n 次迭代；對(duì)于一些特殊的函數(shù)解析式，其? ?? ?nf x 通常具備某些特征（特征與 n ）有關(guān)。在處理此類問(wèn)題時(shí)，要注意觀察解析式中項(xiàng)的次數(shù)，式子結(jié)構(gòu)以及系數(shù)的特點(diǎn)，以便于從具體例子中尋找到規(guī)律，得到? ?? ?nf x 的通式 （2）周期性：若尋找的規(guī)律呈現(xiàn)周期性，則可利用函數(shù)周期性（或數(shù)列周期性）的特點(diǎn)求出某項(xiàng)或分組（按周期分組）進(jìn)行求和。

　（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式（求和公式）：從數(shù)列所給的條件中，很難利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行變形推導(dǎo)，從而可以考慮利用條件先求出幾項(xiàng)，然后找到規(guī)律，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式（求和公式）

�。�4）數(shù)陣：由實(shí)數(shù)排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來(lái)確定數(shù)陣的規(guī)律及求某項(xiàng)。對(duì)于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念。橫向?yàn)?ldquo;行”，縱向?yàn)?ldquo;列”，在項(xiàng)的表示上通常用二維角標(biāo)ija 進(jìn)行表示，其中 i 代表行， j 代表列。例如：34a 表示第 3 行第 4 列。在題目中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于某個(gè)數(shù)的位置問(wèn)題，解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的特點(diǎn)，確定所求數(shù)的序號(hào)，再根據(jù)每行元素個(gè)數(shù)的特點(diǎn)（數(shù)列的通項(xiàng)），求出前 n 行共含有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而確定該數(shù)位于第幾行，然后再根據(jù)數(shù)之間的規(guī)律確定是該行的第幾個(gè)，即列。

�。ǘ╊惐韧评恚�

　1、類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）

　2、常見(jiàn)的類比類型及處理方法：

　（1）運(yùn)算的類比：通常是運(yùn)算級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)：

�、� 加法 ? 乘法， ② 數(shù)乘（系數(shù)與項(xiàng)的乘法）

　? 指數(shù)冪 ③ 減法 ? 除法 （2）運(yùn)算律的類比：在數(shù)學(xué)中的其它領(lǐng)域，如果滿足加法，乘法的交換律，以及乘法的分配律，則代數(shù)表達(dá)式部分運(yùn)算公式可推廣到該領(lǐng)域中。例如 ①在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則：

　代 數(shù) 中 的 平 方 差 公 式 ：

　? ?? ?2 2a b a b a b ? ? ? ? ， 和 差 完 全 平 方 公 式 ：? ?22 22 a b a ab b ? ? ? ?

　均 可 推 廣 到 向 量 數(shù) 量 積 中 ：? ?? ?2 2a b a b a b ? ? ? ? ，? ?22 22 a b a a b b ? ? ? ? ?

�、谠趶�(fù)數(shù)的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則實(shí)數(shù)中的運(yùn)算公式可推廣到復(fù)數(shù)中（甚至是二項(xiàng)式定理）

　（3）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比：等差數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著一，二級(jí)運(yùn)算（加減，數(shù)乘），等比數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著二，三級(jí)運(yùn)算（乘除，乘方）。所以在某些性質(zhì)中體現(xiàn)出運(yùn)算上的類比。例如：設(shè) ? ?na 為等差數(shù)列，公差為 d ； ? ?nb 為等比數(shù)列，公比為 q ，則 ① 遞推公式：11nn nnba a d qb??? ? ? ?

�、� 通項(xiàng)公式：

　? ?11 11nn na a n d b b q?? ? ? ? ? ?

　 ③ 雙項(xiàng)性質(zhì)：m n p q m n p qm n p q a a a a m n p q b b b b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　④ 等間隔取項(xiàng)，在數(shù)列 ? ?na ， ? ?nb 中等間隔的取項(xiàng)：

　則1 2, , ,mk k ka a a 成等差數(shù)列1 2, , ,mk k kb b b ?

　成等比數(shù)列 （4）維度的類比：平面幾何（二維）的結(jié)論與立體幾何（三維）的結(jié)論進(jìn)行類比，當(dāng)維度升高時(shí)，涉及的要素也將維度升高，例如：

�、傥恢藐P(guān)系：平面中的線的關(guān)系 ? 空間中的面的關(guān)系，線所成的角 ? 線面角或二面角，

　②度量：線段長(zhǎng)度 ? 圖形的面積，圖形面積 ? 幾何體體積，點(diǎn)到線的距離 ? 點(diǎn)到平面距離 ③衍生圖形：內(nèi)切圓 ? 內(nèi)切球，外接圓 ? 外接球，面對(duì)角線 ? 體對(duì)角線 （5）平面坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的類比：平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo) ? ? , x y ? 空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)? ? , , x y z ，在有些坐標(biāo)運(yùn)算的問(wèn)題中，只需加上豎坐標(biāo)的運(yùn)算即可完成推廣，例如：

�、� 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：

　平面：設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , , A x y B x y ，則 AB 中點(diǎn)1 2 1 2,2 2x x y yM? ? ? ?? ?? ?

　空間：設(shè) ? ? ? ?1 1 1 2 2 2, , , , , A x y z B x y z ，則 AB 中點(diǎn)1 2 1 2 1 2, ,2 2 2x x y y z zM? ? ? ? ?? ?? ? ② 兩點(diǎn)間距離公式：

　平面：設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , , A x y B x y ，則 ? ? ? ?2 21 2 1 2AB x x y y ? ? ? ?

　 空間：設(shè) ? ? ? ?1 1 1 2 2 2, , , , , A x y z B x y z ，則 ? ? ? ? ? ?2 2 21 2 1 2 1 2AB x x y y z z ? ? ? ? ? ?

　3、同一個(gè)命題，不同的角度類比得到的結(jié)論可能不同，通常類比只是提供一個(gè)思路與方向，猜想出一個(gè)命題后通過(guò)證明才能保證其正確。在有關(guān)類比的題目中通常選擇正確的命題作為類比的結(jié)論 二、典型例題：

　例 1：已知 ? ?xxf xe? ，定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?" ""1 2 1 1, , ,n nf x f x f x f x f x f x?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ，經(jīng)計(jì)算 ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 3, , , ,x x xx x xf x f x f xe e e? ? ?? ? ?

　照此規(guī)律，則 ? ?20151 f ? （

　 ）

　A. 2015 ?

　 B. 2015

　 C. 2014e

　 D.

　2014e?

　思路：由定義可知：

　? ?nf x 即為 ? ?1 nf x?的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)所給例子的結(jié)果可以推斷出? ? ? ? 1nnxx nf xe?? ? ，從而 ? ?20152015xxf xe?? ，所以 ? ?201520141 fe?

　答案：C 例 2：蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似的看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個(gè)圖有 1 個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有 7 個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19 個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，第六幅圖的蜂巢總數(shù)為（

　 ）

　A.

　61

　 B.

　90

　C.

　91

　D.

　127

　 思路：從所給圖中可發(fā)現(xiàn)第 n 個(gè)圖可以視為在前一個(gè)圖的基礎(chǔ)上，外面圍上一個(gè)正六邊形，且這個(gè)正六邊形的每條邊有 n 個(gè)小正方形，設(shè)第 n 個(gè)圖的蜂巢總數(shù)為 ? ? f n ，則可知 ? ? f n 比? ? 1 f n?多的蜂巢數(shù)即為外圍的蜂巢數(shù)。即 6 6 n?

　（每條邊 n 個(gè)，其中頂點(diǎn)被計(jì)算了兩次，所以要減 6 ），所以有 ? ? ? ? ? ? 1 6 1 f n f n n ? ? ? ? ，聯(lián)想到數(shù)列中用到的累加法，從而由? ? ? ? ? ? ? ?21 6 1 2 1 3 3 f n f n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?，且 ? ? 1 1 f ?

　則 ? ?23 3 1 f n n n ? ? ? 。代入 6 n ? 可得 ? ?26 3 6 3 6 1 91 f ? ? ? ? ? ?

　答案：C 例 3：將正整數(shù)排成數(shù)陣（如圖所示），則數(shù)表中的數(shù)字 2014 出現(xiàn)在（

　 ）

　A.

　第 44 行第 78 列

　B.

　第 45 行第 78 列 C.

　第 44 行第 77 列

　D.

　第 45 行第 77 列 思路：從數(shù)陣中可發(fā)現(xiàn)每一行的末尾均為一個(gè)完全平方數(shù)，即第k 行最后一個(gè)數(shù)為2k ，所以考慮離 2014 較近的完全平方數(shù)：2 244 1936,45 2025 ? ? ，所以 2014 位于第 45 行，因?yàn)?1936 是第 44 行的最后一個(gè)數(shù)，所以 2014 為第 45 行中第? ? 2014 1936 78 ? ? 個(gè)數(shù)，即位于第 45 行第 78 列 答案：B 例 4：已知結(jié)論：“在 ABC 中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即sin sin sina b cA B C? ? ”，若把該結(jié)論推廣到空間，則結(jié)論為：“在三棱錐 A BCD ? 中，側(cè)棱 AB 與平面 ACD ，平面BCD 所成的角為 , ? ? ，則有（

　 ）

　A.

　sin sinBC AD? ??

　B.

　sin sinAD BC? ??

　C.

　sin sinBCD ACDS S? ??

　 D.

　sin sinACD BCDS S? ??

　 思路：本題為維度推廣題，平面中的線段所成的夾角推廣為線面角，所以可將正弦定理的邊長(zhǎng)（一維度量）類比推廣為面積（二維度量），正弦定理中為角所對(duì)的邊長(zhǎng)，則在三棱錐中推廣為線面角所對(duì)的側(cè)面面積，即 ? 所對(duì)的側(cè)面為平面 BCD ， ? 所對(duì)的側(cè)面為平面 ACD ，

　所以猜測(cè)sin sinBCD ACDS S? ?? ，再考慮證明其正確性。證明過(guò)程如下：

　證明：分別過(guò) , B A 作平面 ACD ，平面 BCD 的垂線，垂足分別為 , E F

　 由線面角的定義可知：

　, BAE ABF ? ? ? ? ? ?

　 1 1sin3 3B ACD ACD ACDV S BE S AB ??? ? ? ? ? ? ? ?

　 同理：1 1sin3 3A BCD BCD BCDV S AE S AB ??? ? ? ? ? ? ? ?

　1 1sin sin sin sin3 3ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　 sin sinBCD ACDS S? ?? ? 得證 答案：C 例 5：三角形的面積 ? ?12S a b c r ? ? ? ? ，其中 , , a b c 為其邊長(zhǎng)， r 為內(nèi)切圓半徑，利用類比法可以得出四面體的體積為（

　 ）

　A.

　? ?1 2 3 412V S S S S r ? ? ? ? ? （其中1 2 3 4S S S S ? ? ? 分別為四個(gè)面的面積， r 為內(nèi)切球的半徑）

　B. 13V S h ? ? （ S 為底面面積， h 為四面體的高）

　C. ? ?1 2 3 413V S S S S r ? ? ? ? ? （其中1 2 3 4S S S S ? ? ? 分別為四個(gè)面的面積， r 為內(nèi)切球的半徑）

　D. ? ?13V ab bc ac h ? ? ? ? （ , , a b c 為底面邊長(zhǎng)， h 為四面體的高）

　思路：本題為維度題，在三角形中，面積依靠?jī)?nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)求解。則在四面體中，內(nèi)切圓類比成內(nèi)切球，邊長(zhǎng)類比為面積。所以四面體的體積與內(nèi)切球半徑與各面面積相關(guān)，即在A，C 中挑選�？紤]在三角形中，可通過(guò)連接內(nèi)心與各頂點(diǎn)，將三角形分割為三個(gè)小三角形，底邊為各邊邊長(zhǎng)，高均為半徑 r ，所以面積 ? ?12S a b c r ? ? ? ? ，其中系數(shù)12來(lái)源于三角形面積公式。進(jìn)而類比到四面體中，可通過(guò)連接內(nèi)切球的球心與各頂點(diǎn)，將四面體分割為 4個(gè)小四面體，以各面為底面，內(nèi)切球半徑為高。從而 ? ?1 2 3 413V S S S S r ? ? ? ? ? 。系數(shù)13來(lái)源于棱錐體積公式 答案：C

　例 6：若數(shù)列 ? ?na 是等比數(shù)列，且 0na ? ，則數(shù)列? ?1 2nn nb a a a n N?? ? ? ? 也是等比數(shù)列.若數(shù)列 ? ?na 是等差數(shù)列，可類比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)為（

　 ）

　A. 1 2 nna a abn? ?? 是等差數(shù)列

　 B. 1 2 nna a abn? ? ?? 是等差數(shù)列 C. 1 2nn nb a a a ? ? ? 是等差數(shù)列

　 D. 1 2 nnna a abn? ? ?? 是等差數(shù)列 思路：考慮在等比數(shù)列中，很多性質(zhì)為應(yīng)用二三級(jí)運(yùn)算（乘除法，乘方開(kāi)方），到了等差數(shù)列中，很多性質(zhì)可類比為一二級(jí)運(yùn)算（加減，數(shù)乘）。在本題中所給等比數(shù)列用到了乘法與開(kāi)方，所以可聯(lián)想到類比等差數(shù)列，乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)類比為加法，開(kāi)方運(yùn)算對(duì)應(yīng)類比為除法。所以該性質(zhì)為：若數(shù)列 ? ?na 是等差數(shù)列，則1 2 nna a abn? ? ?? 是等差數(shù)列。這個(gè)命題是正確的，證明如下：

　證明：設(shè)等差數(shù)列 ? ?na 的公差為 d ，則

　 1 2 1 1 211n n nn na a a a a a ab bn n??? ? ? ? ? ? ?? ? ??

　? ? ? ?? ?? ?1 2 1 1 211n n nn a a a a n a a an n?? ? ? ? ? ? ? ? ???

　? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 1 1 1 11 1n n n n n nna a a a a a a a a an n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?na 為等差數(shù)列

　? ? ? ?11 , 1,2, ,n ia a n i d i n?? ? ? ? ? ?

　 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?111 1 221 1 1 2n nn ndnd n d d d n db bn n n n n n???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?

　? ?nb ? 為公差是2d的等差數(shù)列 答案：B 例 7：對(duì)于大于 1 的自然數(shù) m 的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行一下方式的“分裂”：32=3 5? ，33 7 9 11 ? ? ? ，34 13 15 17 19 ? ? ? ? ，…，仿此，若3m 的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是 61 ，則 m 的值是（

　 ）

　A.

　 6

　B.

　 7

　 C.

　 8

　 D.

　 9

　思路：觀察這幾個(gè)等式不難發(fā)現(xiàn)以下特征：（1）3n 可分解為 n 個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，（2）從32 開(kāi)始這些奇數(shù)是按 3,5,7,9,

　順次排列的。所以在第 n 個(gè)數(shù)時(shí)，所用的奇數(shù)的總數(shù)為? ?? ? 2 12 32n nn? ?? ? ? ? 個(gè)。從 3 開(kāi)始算起， 61 是第61 31 302?? ? 個(gè)奇數(shù)。當(dāng)7 n ? ，可知所用的奇數(shù)總數(shù)為 27 個(gè)，當(dāng) 8 n ? ，可知所用的奇數(shù)總數(shù)為 35 個(gè)。所以 8 m ?

　 答案：C 例 8：從 1 開(kāi)始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為（

　 ）

　A.

　2097

　B.

　2112

　 C.

　2012

　 D.

　2090

　思路：當(dāng)三角形在移動(dòng)時(shí)，觀察其規(guī)律，內(nèi)部的數(shù)如果設(shè)第一行的數(shù)為 a N ? ? ，則第二行的 數(shù) 為 7, 8, 9 a a a ? ? ? ， 其 和 為 ? ? 3 8 a? ， 第 三 行 的 數(shù) 為14, 15, 16, 17, 18 a a a a a ? ? ? ? ? ， 其 和 為 ? ? 5 1 6 a? ， 所 以 這 九 個(gè) 數(shù) 的 和 為? ? ? ? 3 8 5 16 9 104 S a a a a ? ? ? ? ? ? ?，代入到各個(gè)選項(xiàng)中看能否算出 a 即可。通過(guò)計(jì)算可得：

　9 104 2012 a? ? 時(shí)， 212 a ? 符合題意 答案：C 例 9：某種游戲中，黑，白兩個(gè)“電子狗”從棱長(zhǎng)為 1 的正方體1 1 1 1ABCD ABC D ? 的頂點(diǎn) A出發(fā)，沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是1 1 1AA AD ? ? ，白“電子狗”爬行的路線是1AB BB ? ? ，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第 2 i ? 段與第 i 段所在直線必須是異面直線（其中 i N?? ），設(shè)黑“電子狗”爬完2012 段，白“電子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白“電子狗”間的距離是_____________

　A 1AB 1BCC 1DD 1 D 1DC 1CBB 1AA 1

　思路：首先根據(jù)題目中所給規(guī)則，觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會(huì)發(fā)現(xiàn)黑“電子狗”所走的路線為1 1 1 1 1 1AA AD DC C C CB BA ? ? ? ? ? ，然后周而復(fù)始，以 6 為周期；白“電子狗”所走的路線為1 1 1 1 1 1AB BB BC C D D D DA ? ? ? ? ? ，也是以 6 為周期。從而由周期性的規(guī)律可得：

　2012 6 335 2 ? ? ，則黑電子狗到達(dá)1D ； 2011 6 335 1 ? ? ，所以白電子狗到達(dá) B ，所以只需計(jì)算1BD 即可，由正方體性質(zhì)可知13 BD ?

　 答案：

　3

　 例 10：把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成了如圖所示的三角形數(shù)陣，設(shè)? ?,ija i j N ? ? 是位于這個(gè)三角形數(shù)中從上往下數(shù)第 i 行，從左往右數(shù)第 j 列的數(shù)，如325, a ?

　若 2015ija ? ，則 i j ? ?

　(

　 ) A.

　 111

　 B.

　 110

　C.

　 108

　D.

　 105 思路：觀察三角形數(shù)陣可知奇數(shù)行中的數(shù)均為奇數(shù)，偶數(shù)行均為偶數(shù)。所以可知 2015ija ?一定在奇數(shù)行中，先確定 i 的值，因?yàn)槠鏀?shù)構(gòu)成首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，所以第 k 個(gè)奇數(shù) ? ? 1 1 2ka k ? ? ? ? ，因?yàn)?? ? 2005 1 2 1008 1 ? ? ? ，所以可得 2015 為第 1008 個(gè)奇數(shù)，考慮 2015 前面的奇數(shù)共占了多少行。由第 i 行由 i 個(gè)奇數(shù)可得：前 31 個(gè)奇數(shù)行內(nèi)奇數(shù)共有? ? 31 31 131 1 9612? ?? ? ? ，前 31 個(gè)奇數(shù)行內(nèi)奇數(shù)共有? ? 32 32 132 1 10242? ?? ? ? ，而961 1008 1024 ? ? ，所以 2015 在第 32 個(gè)奇數(shù)行中，即 63 i ? ，再考慮 j 的值，第 31 個(gè)奇數(shù)行最后一個(gè)奇數(shù)為 961 2 1 1921 ? ? ? ，因?yàn)?015 1921472?? ，所以 2015 為第 32 個(gè)奇數(shù)行的第 47 個(gè)數(shù)，即 47 j ? ，從而 110 i j ? ?

　 答案：C

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