摘要:函數的最值是數學中最常見的基本問題,也是較難的問題,為此我談一談自己初淺的看法。 　　關鍵詞:單調性;不等式;最值 　　中圖分類號:G630文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2010)10-0091-01
　　
　　一、 利用函數的單調性求函數的最值
　　1、已知s=a4+b4,a+b=1,且a、b為非負實數,求證:≤s≤1
　　分析、由a+b=1條件可設a=-t b=+t 不妨設a≤b則0≤t≤又s=a4+b4=(-t )2+(+t)2=2t4+3t2+=2(t2+)2-1 所以≤s≤1
　　又如2、若對于任意實數a∈[-1,1]、函數f(x)=x2+(a-4)x-2a+4的值恒大于或等于0,求x取值范圍。
　　轉化為g(x)=(x-2)a+x2-4x+4≥0在a∈[-1,1]時恒成立,利用一次函數的單調性即可求出。
　　二、 利用基本不等式求函數的最值
　　1、 設x>2,求函數y=x+的最小值。
　　分析:利用基本不等式求之,注意等號成立性
　　2、 已知a>b>0,求a2+的最小值。
　　分析:a2+=(a-b+b)2+≥4(a-b)b+≥16
　　注意:a-b=b且4(a-b)b=取最小值16。
　　三、利用基本不等式求多元函數的最值
　　1、設x>y>z,求證:++≥0
　　證:(+)(x-y+y-z)=5+4+≥9當且僅當2x+z=2y時取最小值。
　　2、 已知x>0,y>0,+≤4.求+的最小值。
　　四、 利用數形結合求多元函數的最值
　　實數x、y滿足x2+y2≤1,求的最小值。
　　分析:由實數x、y滿足x2+y2≤1得(x,y)在單位圓內的任意一點,k=為(x,y)與(-2,1)點連線的直線斜率,所以由切線的斜率可得-≤k≤0。所以的最小值為-。
　　五、造法求函數的最值或證明
　　1、構造函數
　　設a、b、c∈(0,+∞)且a+b>c求證:+>
　　分析:利用函數y=在(0,+∞)是增函數。因為+>+=>
　　2、 構造方程求多元函數的最值
　　已知:x3+y3=2,x、y∈R,求證:x+y≤2
　　分析:設x+y=t則(x+y)(x2+y2-xy)=2所以xy=t2- 構造方程a2-ta+t2-=0則x、y為此方程的兩個實數根,所以Δ=t2-4(t2-)≥0解得t≤2所以x+y≤2
　　3、 構造復數
　　已知:|a2-b2|+|2ab|=1,求證:|a|+|b|≤
　　分析:設z=a+bi則Z2=a2―b2+2abi由條件得|Rez2|+|Imz2|=1所以任意復數z,有
　　||Rez|+|Imz||≤|z|≤|Rez|+|Imz|所以|z|2=|z2|≤|Rez2|+|Imz2|=1即|z|≤1
　　所以|a|+|b|=|Rez|+|Imz|≤|z|≤
　　六、 求抽象函數的最值
　　1、 設函數f(x)對一切實數x、a都有f(x+a)-f(x)=(2x+a+1)a成立,并且f(1)=0求f(x)≤0時x的取值范圍。
　　分析:由f(1)=0令x=1有f(a+1)-f(1)=(3+a)a令a+1=t有a=t-1得f(t)=t2+t-2因為
　　f(x)≤0所以-2≤x≤1
　　2、 已知函數y=f(x)為定義域(0,+∞)上的增函數。滿足f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1解不等式f(x(x-2))+f(x-2)≤3求x的最大值。
　　分析:由條件可得f(x(x-2))+f(x-2)≤3=f(8)所以有x>0且x-2>0且x(x-2)≤8解之得2

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