信息與計算科學(xué) 專業(yè)

　 《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱

　課程英文名稱 Mathematical Analysis、理論學(xué)時 250、實踐學(xué)時 0

　一、課程的性質(zhì)與任務(wù)

　教學(xué)分析是數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)及信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課。它為進一步學(xué)習(xí)微分方程、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)以及概率論等后繼課程打下一定的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生樹立辯證唯物主義思想和觀點，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和較強的抽象思維能力。本課程是以極限為工具，研究函數(shù)的微分和積分的一門學(xué)科，其主要內(nèi)容包括極限論、一元微積分理論、多元微積分和級數(shù)等四大部分。理論學(xué)時共 274 學(xué)時，分三學(xué)期完成：數(shù) 《 數(shù)學(xué)分析 I*》90 學(xué)時； 《 數(shù)學(xué)分析 II*》70 學(xué)時； 《 數(shù)學(xué)分析 III*》90 學(xué)時。

　通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生達到：一、對極限思想和極限方法有深刻的認識，從而樹立辯證唯物主義觀點。二、掌握數(shù)學(xué)分析的基本知識和基本理論，能熟練地進行基本運算（如求極限、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等），并具有一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，以及分析論證能力。三、能應(yīng)用微積分方法解決一定的實際問題。

　二、

　《數(shù)學(xué)分析 * I* 》課程內(nèi)容、目的要求學(xué)時分配（總學(xué)時 90 ）

�。ㄒ唬┖瘮�(shù)

　6 6 學(xué)時

　1．熟練掌握函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù)等概念。

　2．會求函數(shù)的定義域。

　3．了解函數(shù)的各種表示法，掌握分析（或解析）表示法,特別對分段表示的函數(shù)要很好地理解。

　4．熟悉基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。

　（二）極限

　0 30 學(xué)時

　1．掌握數(shù)列極限、函數(shù)極限、無窮小量、無窮大量及確界概念，對極限的否定形式要有所了解。

　2．會用“ε-N”，“ε-δ”，“ε-A”方法處理極限問題。

　3．對下述性質(zhì)與定理要求能準(zhǔn)確地敘述并會證明。

　唯一性、有界性、保號性、收斂定理和海涅定理。

　4．能運用四則運算法則、兩邊夾定理、單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理及兩個重要極限熟練地求極限。

　5．理解無窮小量、無窮大量的概念，并會用無窮小量、無窮大量的性質(zhì)及等價無窮小處理極限問題。

　（三）連續(xù)函數(shù)

　0 10 學(xué)時

　1．理解點連續(xù)、單側(cè)連續(xù)與區(qū)間上連續(xù)的定義；理解間斷點及其分類的概念。理解保號性，有界性，四則運算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。

　No.

　3.22

　2．能準(zhǔn)確敘述并會證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，有界性，最值定理，一致連續(xù)定理（一致連續(xù)性定理的證明不作要求）。

　3．了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

�。ㄋ模�實數(shù)的連續(xù)性

　8 8 學(xué)時

　1．熟悉區(qū)間套定理，確界概念，確界存在定理，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理，聚點原理，收斂準(zhǔn)則，有限覆蓋定理的條件結(jié)論，會證明這些定理。

　2．會用上述定理處理一些相關(guān)問題。

�。ㄎ澹�導(dǎo)數(shù)與微分

　1 12 2 學(xué)時

　（一）目的要求 1．掌握導(dǎo)數(shù)（包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)）的概念，掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

　2．能熟練地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義與四則運算，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本公式表，隱函數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)方程求導(dǎo)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

　3．會求一些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

　4．理解微分的定義，微分的幾何意義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式的不變性，會用微分進行近似計算。

�。�六）微分學(xué)中值定理及 泰 勒公式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　2 24 4 學(xué)時 1．能正確敘述并證明費爾馬引理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

　2．會用中值定理解決相關(guān)問題。

　3．會求一些簡單函數(shù)的泰勒展開式。

　4．能熟練地應(yīng)用洛畢大法則求不定型的極限。

　), (” “0” 0 “型不證 型 型與????其它形式的不定型轉(zhuǎn)化成以上兩種形式的不定型 5，了解函數(shù)單調(diào)性判別法。理解函數(shù)單調(diào)的充要條件，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充要條件，會應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。

　6．理解極值概念，極值判別法，最大值與最小值概念，能熟練地求函數(shù)的極值和最大（�。┲�。

　7．理解函數(shù)的凹凸性，拐點，漸近線的有關(guān)概念，會判別函數(shù)的凹凸，會求拐點坐標(biāo)，能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)較正確地作出函數(shù)的圖像。

　三、

　《數(shù)學(xué)分析 II* 》課程內(nèi)容、目的要求學(xué)時分配（總學(xué)時 70 ）

�。ㄆ撸┎欢ǚe分

　6 16 學(xué)時

　1．掌握原函數(shù)與不定積分的概念，熟記基本積分表，理解線性運算法則。

　2．熟練地掌握換元積分法與分部積分法。

　3．掌握有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分，并會利用它來求一些函數(shù)的積分。

　4．掌握一些可化為有理函數(shù)的積分。

�。ò耍┒ǚe分

　1 14 4 學(xué)時

　1．掌握定積分概念。

　2．可積的必要條件，理解大和與小和及其性質(zhì)，可積的充要條件。

　3．理解可積的充要條件，并能應(yīng)用它判斷或證明一些函數(shù)的可積性（包括可積函數(shù)類）。

　4．定積分的性質(zhì)。熟悉定積分的線性，有限可加性，單調(diào)性，絕對可積性，積分中值定

　理。

　5．理解可變上限的定積分的性質(zhì)并能熟練的處理相關(guān)問題。

　6．能熟練地應(yīng)用牛頓——萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法計算 6 定積分。

　7．了解定積分的近似計算方法。

　（九）定積分的應(yīng)用

　1 10 0 學(xué)時

　1．會用微元法解決幾何物理中的一些問題。

　2．定積分在幾何上的應(yīng)用。

　掌握平面圖形的面積，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，曲線的弧長與曲率。

　3．了解定積分在物理上的應(yīng)用。

　求壓力、功、靜力矩、重心。

�。ㄊ�）級數(shù)

　3 30 0 學(xué)時

　（1）

　數(shù)項級數(shù) 1．掌握無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、和、絕對收斂及條件收斂等概念。

　2．能掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)（包括絕對收斂與條件收斂的性質(zhì)）。

　3．熟練掌握正項級數(shù)的斂散性判別法。

　4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，理解任意項級數(shù)的狄利克雷、阿貝耳判別法。

　5．了解級數(shù)的重排性質(zhì)（黎曼定理不證明）。

�。�2）

　函數(shù)項級數(shù) 1．理解收斂域、極限函數(shù)、和函數(shù)和一致收斂等概念。

　2．重點理解優(yōu)級數(shù)判別法、狄利克雷判別法、阿貝耳判別法；

　3．理解函數(shù)列的極限函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項積分）與可微性（逐項微分）。會用性質(zhì)處理一些相關(guān)問題。

　（3）

　冪級數(shù) 1．正確理解冪級數(shù)、函數(shù)的泰勒級數(shù)的概念，了解函數(shù)可展成泰勒級數(shù)條件。

　2．掌握冪級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的連續(xù)性，可積性（逐項積分）與可微性（逐項微分）。

　3．會求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域的求法。

　4．能用冪級數(shù)做某些近似計算。

�。�4）

　福里哀級數(shù) 1．掌握三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的福里哀級數(shù)的概念。

　2．能了解福里哀級數(shù)收斂性判別法。

　3．能將一些函數(shù)展成福里哀級數(shù)（包括只含正弦或余弦的展開）。

　四 、

　《數(shù)學(xué)分析 III* 》課程內(nèi)容、目的要求學(xué)時分配（總學(xué)時 90 ）

�。ㄊ�一）多元函數(shù)及其連續(xù)性

　0 10 學(xué)時

�。ㄒ唬┠康囊�求 1．掌握平面點集（鄰域、內(nèi)點、聚點、界點、邊界、開集、閉集與區(qū)域）的一些基本概念，多元函數(shù)的極限，累次極限以及連續(xù)性等概念。

　2．了解閉區(qū)域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理以及多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

�。ㄊ�二）多元函數(shù)微分學(xué)

　1 15 5 學(xué)時

　1．掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)等概念。

　2．掌握全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)三者之間的關(guān)系。

　3．會求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（包括高階）、全微分、方向?qū)��?shù)。

　4．理解極值和最值的概念，掌握極值的必要條件，充分條件，會求多員函數(shù)的極值和某些函數(shù)的最大（小）值。

　5．了解函數(shù)全微分的幾何意義。

�。ㄊ�三）隱函數(shù)

　4 14 學(xué)時

　1． 了解隱函數(shù)、函數(shù)行列式、條件極值的概念。

　2． 能用隱函數(shù)存在定理判別隱函數(shù)的存在性，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。

　3．理解條件極值的概念及 Lagrange"s 乘數(shù)法。會求多元函數(shù)的條件極值。

　4．會求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程。

�。ㄊ�四）反常積分與含有參變量的積分

　1 15 5 學(xué)時

　1．掌握廣義積分（無窮積分、瑕積分）收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念。

　2．能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。

　3．理解含有參變量積分的概念和分析性質(zhì)，了解 Г-函數(shù)、 ? -函數(shù)的性質(zhì)。

　4．能用收斂性判別法判斷一些廣義含參積分的斂散性。

�。ㄊ�五）重積分

　8 18 學(xué)時

　1．理解二重積分與三重積分的概念。

　2．了解二重積分與三重積分的性質(zhì)。

　3．掌握二重積分化為累次積分的方法，能應(yīng)用極坐標(biāo)計算二重積分。能將三重積分化為累次積分，并利用柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)計算三重積分。

　4．會求一些圖形的面積、體積以及一些物體的質(zhì)量和重心。

�。ㄊ�六）曲線積分與曲面積分

　8 18 學(xué)時

　1．理解第一型曲線積分、第二型曲線積分的定義、性質(zhì)，掌握第一型曲線積分與第二型曲線積分的計算方法，了解第二型曲線積分與第一型曲線積分的關(guān)系；掌握格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件。

　2．理解第一型曲面積分、第二型曲面積分的定義、性質(zhì)。掌握第一型曲面積分與第二型曲面積分的計算方法，了解第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系；理解奧—高公式,了解斯托克斯公式。

　3．了解場論初步。

　五．本課程是 重慶三峽學(xué)院 核心課程

　六 ．課程使用的教材和主要參考書：

　使用教材：劉玉璉，數(shù)學(xué)分析講義（上、下冊），東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社出版。

　主要參考書：

　1、謝惠民等，數(shù)學(xué)分析講義（上、下冊），蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社出版。

　2、陳紀(jì)修等，數(shù)學(xué)分析（上、下冊），復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社出版。

　3、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上、下冊），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社出版。

　4、裴禮文，數(shù)學(xué)分析典型問題與方法，高等教育出版社出版。

　教學(xué)大綱制訂者：

　劉學(xué)飛

　 審定者：

　陳小春 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué) 學(xué)院

　 函數(shù)論分析 教研室

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