《創(chuàng)新話舊》第1章（6）

　　1.2.2. 巴切勒的經(jīng)驗━把物理思想注入于數(shù)學(xué)之中

　　這是巴切勒幾十年來從事自然科學(xué)理論研究的經(jīng)驗結(jié)晶。

在自然科學(xué)的理論研究中，常會把問題歸結(jié)為建立一個或幾個微分方程，然后求解。表面上看這是一個數(shù)學(xué)問題。但是，一般而言，這些方程都是十分復(fù)雜十分艱難。數(shù)學(xué)家并沒有為物理學(xué)家準備好求解方程萬能的靈丹妙藥。所以物理學(xué)家就常常需要按照自己問題的特點，把物理思想注入于數(shù)學(xué)之中，才能找到求解方程的康莊大道。這包括各種物理模型的建立，各種簡化、近似方案的提出，以及各種變換的引入等等。這些辦法無不依靠著很強的物理上的洞察力，都是以很強的物理思想為基礎(chǔ)。以下將分別介紹它們。

　　1．2．2．1用物理模型化解數(shù)學(xué)難點

　　改革開放以前，我的研究工作主要和湍流有關(guān)，特別是和柯爾莫果洛夫的湍流理論有關(guān)。

柯爾莫果洛夫湍流微結(jié)構(gòu)理論 ，建立在他的湍流物理模型基礎(chǔ)上，他之所以能提出這樣一個湍流模型， 是靠了他對粘性流體運動物理上的洞察力。由于湍流是一種雷諾數(shù)(Reynolds Number)特別高的運動，根據(jù)這一特點柯爾莫果洛夫就建立了一個湍能輸送的物理模型，從中得到一個穩(wěn)定的物理量──湍能耗散率e。以此為相似判據(jù)，使用一種簡單的量綱分析法（大家知道，量綱分析法使用的是一種初等數(shù)學(xué)技巧）�？聽柲�果洛夫就能避開在湍流問題研究中，本來是無法回避的，求解非線性時空四維的，納維-斯托克斯（Navier-Stokes）偏微分方程的嚴重困難。相當容易地，又是歷史上第一次地得到了他的湍流結(jié)構(gòu)函數(shù)2/3定律，和一維湍譜的-5/3定律。雖然后來我們的實驗證明柯爾莫果洛夫的湍流物理模型與湍流的不連續(xù)性有矛盾，需要重新探索�？聽柲�果洛夫的湍流物理模型究竟是怎麼一回事，我們的觀測又怎樣揭示出它的問題，我們將在本書第七章中加以講述。盡管如此，該理論對湍流微結(jié)構(gòu)的預(yù)測還是正確，符合實驗測量。而且到現(xiàn)在為止，還沒有人能夠創(chuàng)造出一個新理論來取代柯爾莫果洛夫的湍流理論。因此，他這種依靠深刻的物理洞察力，建立起一個簡單的湍流物理模型，從而能化解掉求解納維-斯托克斯方程的嚴重數(shù)學(xué)困難， 使問題得到一個初步合理的解決。這種物理上極強的洞察力，到現(xiàn)在仍然使人們印象深刻�？聽柲�果洛夫并不是物理學(xué)家，他是一個大數(shù)學(xué)家，是莫斯科概率論學(xué)派的代表人物，他居然不是靠他在數(shù)學(xué)上的高超水平，而是依靠對流體物理的洞察力就建立起湍流力學(xué)研究史上的一個里程碑式的成就，真讓人嘆為觀止。（注：雷諾數(shù)又是一個無量綱數(shù)，在黏性流體力學(xué)中，它表示流體的非線性慣性力和流體的分子粘性力的比。雷諾數(shù)很高時，表示運動中流體的非線性慣性力很大。雷諾數(shù)很低時，表示流體的分子粘性力很大。）

　　能夠像柯爾莫果洛夫那樣，以一個物理模型就化解了全部數(shù)學(xué)難點，這種例子并不多。

更多的情況是只能化解一部分，余下的難點仍然要進行數(shù)學(xué)處理，比如巴切勒 1972單分散沉降理論的建立就是這樣。

巴切勒 建立他1972 年理論時，對他所研究的懸浮體物理模型，規(guī)定了以下三點。第一該懸浮體必須稀釋，這樣他就可以把至今尚未解決的 n粒子之間流體動力相互作用難題(n大于2)，簡化為目前已有答案的兩個粒子之間的流體動力相互作用。第二該懸浮體必須是由“硬球”（hard sphere）組成，這樣他就可以不考慮粒子之間所有可能的相互作用勢。第三該懸浮體必須是單分散的，也就是說所有粒子的半徑大小完全相同，所有粒子的組成成分完全相同。于是在這種懸浮體中，粒子和粒子之間在重力作用下，就不存在相對重力沉降，粒子之間的垂直距離就永遠保持不變。雖然每個粒子的絕對重力沉降仍然存在。對于這樣的懸浮體，求解粒子的統(tǒng)計平均沉降速度時，就可避免求解多粒子統(tǒng)計結(jié)構(gòu)的難題，對于稀釋體系而言，這模型就可使人避開求解粒子對的統(tǒng)計對分布方程難題。因為此時，從物理的直觀就可判斷出，這種懸浮體中粒子對的統(tǒng)計對分布是均勻分布，歸一化以后其值恒為1。然而即使如此，還有另一難題，就是粒子對低雷諾數(shù)流體動力相互作用慢衰減造成的沉降積分發(fā)散。這個難題在上面的模型中并未化解掉，還有待人們解決。這問題仍然十分艱難，從1942年伯杰斯（Burgers）開始經(jīng)過了二十多年的努力，最后到巴切勒才把它解決。他發(fā)明了一種非常巧妙的方法使積分得以收斂，從而造成了多粒子體系沉降研究上的一次突破性進展。這不僅是懸浮體力學(xué)的重大進展，人們評價，它還是20世紀中流體力學(xué)重要的進展之一。

　　1．2．2．2用各種近似化解數(shù)學(xué)難點

　　把物理思想注入于數(shù)學(xué)之中的第二個方法就是進行各種近似。所謂近似就是依靠對與問題有關(guān)的各個物理因子，比較其大小后，忽略掉影響較小的因子，抓住影響大的因子，從而可以使問題得以解決，雖然這是一種近似解。在粘性流體力學(xué)中，由于支配它的運動的納維━斯托克斯方程是時空四維非線性的偏微分方程，至今還沒有發(fā)明出嚴格求解的數(shù)學(xué)方法。而另一方面在這門學(xué)科的發(fā)展中，使用各種各樣的近似，常常會得到一些很有效很成功的解答。因而近似方法在這門學(xué)科中就是經(jīng)常使用的重要辦法。一個成功的近似往往就會對流體力學(xué)的發(fā)展做出重要貢獻，因而這個近似的創(chuàng)始人就會成為流體力學(xué)中的著名人物，這個近似法也就以其創(chuàng)始人的姓來命名。例如亞音速機翼繞流理論中的卡爾曼-錢（Kármán-Tsien）近似（Tsien即錢學(xué)森，這不是漢語拼音，是威妥瑪拼音，卡爾曼是他的老師馮卡爾曼（von Kármán）, 20世紀上半葉又一位國際流體力學(xué)大師）。在現(xiàn)代電子計算機發(fā)明以后，人們創(chuàng)造出另一種方法，即求方程的數(shù)值解。把方程放到巨型計算機里去算，讓計算機去解決問題。然而即令如此，依靠物理思想去進行各種近似，仍然是一種不可替代的方法。當能通過這種方法求得問題的解析解時，就會使人們對問題中的物理圖象有了一個更清晰更深刻的認識。而求數(shù)值解的方法，常不能給人以清晰的物理圖像。因此，兩種方法也不能絕對相互排斥，常常需要同時使用兩種方法，使之相互補充。一般都盡可能先對問題進行近似處理，然后再進行大量數(shù)值計算。

　　懸浮體力學(xué)或氣溶膠力學(xué)是流體力學(xué)和膠體科學(xué)或氣溶膠科學(xué)交叉的新興學(xué)科。所以在這門科學(xué)的發(fā)展中也常使用流體力學(xué)中的近似方法。正像在粘性流體力學(xué)中經(jīng)常把雷諾數(shù)或雷諾數(shù)的倒數(shù)當做微擾參數(shù)來做各種近似一樣，在懸浮體力學(xué)中也經(jīng)常把皮克列特數(shù)或其倒數(shù)做微擾參數(shù)來求各種近似。近似方法的基礎(chǔ)就是前面曾講過的大膽的假設(shè)，只不過這種假設(shè)物理基礎(chǔ)更堅實一些。比如在大膽假設(shè)那一節(jié)中講到斯莫魯霍夫斯基的假設(shè)，他在 皮克列特數(shù)大于1時忽略掉弱布朗運動，而且忽略粒子間的相互作用以后，他所得到的就是的高皮克列特數(shù)下碰并的一級近似解，反之在皮克列特數(shù)小于1時，忽略掉弱對流運動，并仍忽略一切相互作用以后，所得到的就是在低皮克列特數(shù)下碰并的一級近似解。后來者的修正工作，只不過是使之更精確，從而得到在相應(yīng)皮克列特數(shù)條件下的高級近似。

　　有時候一次近似還不行，還要進行第二次近似，巴切勒和我在建立多分散粒子沉降的統(tǒng)計理論時，就曾采用過兩次近似。那是在1980年我成功地克服了求解粒子對統(tǒng)計對分布方程的困難，得到高皮克列特數(shù)下，忽略弱布朗運動以后，粒子統(tǒng)計對分布方程的解析解，這當然是個一級近似解，而且按照流體力學(xué)中的微擾方法，這是個奇異擾動問題。我所得到的高皮克列特數(shù)下，忽略布朗運動以后的近似解并不能適用于整個空間。事實上，它只是外域解，只能適用于外域。

在鄰近兩粒子的碰撞球面上有一薄層存在，這叫內(nèi)域，或叫邊界層。在這一薄層中，對我當時正在處理的碰并問題而言，范德瓦爾斯分子引力不再能忽略。

對巴切勒當時想用我這個解去求沉降積分而言，也在碰撞面上的鄰域有一薄層存在，在這一薄層中，布朗運動不可忽略， 而不管皮克列特數(shù)是如何之高。因此嚴格講，只有建立起這個布朗運動起作用的邊界層方程，并求出它的解后，才能得到高皮克列特數(shù)下沉降系數(shù)的一級近似值。然而巴切勒此時作了又一次近似，他認為可以置這個內(nèi)域邊界層問題于不顧，由于這個薄層相對于整個無窮域的沉降積分而言，是一個小量，可以忽略不計。完全可以用已經(jīng)得到的外域解在整個無窮域進行沉降積分就可以了。然而不久前，我和我的學(xué)生對這一問題進行深入一步的檢驗。我們建立了布朗運動起作用的邊界層方程，并求出它的解析解。計算結(jié)果表明，對于小粒子對大粒子沉降的影響而言，巴切勒的兩次近似可以接受，但是對于大粒子對小粒子沉降影響而言，這兩次近似就會產(chǎn)生較大誤差。

我們會在第四章中更詳盡地談到這個問題。

　　1．2．2．3用各種變換化解數(shù)學(xué)難點

　　除去利用物理模型和各種近似來化解數(shù)學(xué)難點以外，變換也是一個常用的方法。

有時候，按照某一數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用條件，乍一看來，你所研究的問題并不滿足，好象無法使用這一方法。但在仔細分析以后，你往往會發(fā)現(xiàn)可以利用該問題的一些特點進行變換。于是就可以不去解該問題原來待求的物理量，而是去研究對該物理量的某種變換。這個經(jīng)過變換以后的變形卻可滿足該方法的使用條件，從而可用該方法求解，等求到這個變形以后，再用原來使用的變換方法進行反變換，于是就求到了原來待求的物理量。

　　我們在建立“對流暖云大云滴隨機生長的馬爾柯夫過程理論”時，就曾遇到過這種事。在論證出云中各種湍流起伏場是一個短相關(guān)起伏場以后，我們就放棄了在早期云滴隨機增長理論中使用的平穩(wěn)隨機過程的方法， 而采用了更為恰當?shù)鸟R爾柯夫過程的方法。在馬爾柯夫過程中，人們早已證明，當生長過程屬短相關(guān)過程后，待求的大云滴概率分布，就滿足一種對流擴散型方程，求解這個方程就可得到待求的大云滴概率分布的嚴格解。然而在建立大云滴隨機生長的馬爾柯夫型對流擴散方程時，我們遇到了一個看去是難以逾越的障礙。原來在馬爾柯夫過程中，按照泰勒（G.I.Taylor）定理，要寫出此時的“擴散”式生長的“擴散系數(shù)”，大云滴的生長速度就必須與它的半徑大小無關(guān)。這是隨機生長中的一個關(guān)鍵問題。但可惜云滴生長速度和它的半徑大小有關(guān)，這樣就不可能按現(xiàn)有的理論方法再做下去。經(jīng)過仔細分析，我們發(fā)現(xiàn)這問題可以用某種變換來處理。經(jīng)過變換，我們把在半徑坐標軸的 “擴散式”生長過程，變到Z坐標軸上的“擴散式生長”。而在Z坐標軸的生長速度與Z大小無關(guān)，僅與云中湍流起伏場特征量有關(guān)。于是就可按泰勒定理寫出在 Z軸上的“擴散式生長”的擴散系數(shù)。從而求得Z變換的對流擴散方程的解。之后，再按照原規(guī)定Z變換定義進行反變換，于是就得到了待求的云滴隨機生長的概率分布了。這是根據(jù)問題本身的物理特點進行適當?shù)淖儞Q以化解數(shù)學(xué)上的困難，使問題得以找到答案并取得成功的一個例子。我們將在第六章中有更詳盡的介紹。

　　有的時候，所研究的問題十分復(fù)雜，一次變換還不能完全解決問題，這時就需要進行多次變換才能求解。

我和巴切勒在建立懸浮粒子在高皮克列特數(shù)下對流碰并的統(tǒng)計理論時，就碰到過這種事情。前面曾講到，1980年我在劍橋做高皮克列特數(shù)下懸浮粒子的碰并問題時，第一步我成功地突破了粒子統(tǒng)計對分布函數(shù)的外域解的難題，得到了對分布外域的解析解。由于碰并率的積分不是一個從碰撞面到無窮遠域的體積分，而是個面積分，積分面恰恰在兩粒子之碰撞面上。因此，對于碰并問題而言，我必須接著求解內(nèi)域問題。也就是說要建立起范德瓦爾斯分子引力起作用的邊界層方程，并得到對分布邊界層解。這是一個難度非常大的問題。為克服這些困難，我們使用了多達四次的變換，才解決問題，得到一個非常漂亮的解析解，從而打破了斯莫魯霍夫斯基對流碰并的軌跡分析法的限制，建立起對流碰并的統(tǒng)計理論。我們將在下一章更詳盡地談到它。

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