《創(chuàng)新話舊》第1章（6）

　　1.2.2. 巴切勒的經(jīng)驗(yàn)━把物理思想注入于數(shù)學(xué)之中

　　這是巴切勒幾十年來(lái)從事自然科學(xué)理論研究的經(jīng)驗(yàn)結(jié)晶。

在自然科學(xué)的理論研究中，常會(huì)把問(wèn)題歸結(jié)為建立一個(gè)或幾個(gè)微分方程，然后求解。表面上看這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。但是，一般而言，這些方程都是十分復(fù)雜十分艱難。數(shù)學(xué)家并沒(méi)有為物理學(xué)家準(zhǔn)備好求解方程萬(wàn)能的靈丹妙藥。所以物理學(xué)家就常常需要按照自己?jiǎn)栴}的特點(diǎn)，把物理思想注入于數(shù)學(xué)之中，才能找到求解方程的康莊大道。這包括各種物理模型的建立，各種簡(jiǎn)化、近似方案的提出，以及各種變換的引入等等。這些辦法無(wú)不依靠著很強(qiáng)的物理上的洞察力，都是以很強(qiáng)的物理思想為基礎(chǔ)。以下將分別介紹它們。

　　1．2．2．1用物理模型化解數(shù)學(xué)難點(diǎn)

　　改革開(kāi)放以前，我的研究工作主要和湍流有關(guān)，特別是和柯?tīng)柲宸虻耐牧骼碚撚嘘P(guān)。

柯?tīng)柲宸蛲牧魑⒔Y(jié)構(gòu)理論 ，建立在他的湍流物理模型基礎(chǔ)上，他之所以能提出這樣一個(gè)湍流模型， 是靠了他對(duì)粘性流體運(yùn)動(dòng)物理上的洞察力。由于湍流是一種雷諾數(shù)(Reynolds Number)特別高的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)這一特點(diǎn)柯?tīng)柲宸蚓徒⒘艘粋�(gè)湍能輸送的物理模型，從中得到一個(gè)穩(wěn)定的物理量──湍能耗散率e。以此為相似判據(jù)，使用一種簡(jiǎn)單的量綱分析法（大家知道，量綱分析法使用的是一種初等數(shù)學(xué)技巧）�？�?tīng)柲宸蚓湍鼙荛_(kāi)在湍流問(wèn)題研究中，本來(lái)是無(wú)法回避的，求解非線性時(shí)空四維的，納維-斯托克斯（Navier-Stokes）偏微分方程的嚴(yán)重困難。相當(dāng)容易地，又是歷史上第一次地得到了他的湍流結(jié)構(gòu)函數(shù)2/3定律，和一維湍譜的-5/3定律。雖然后來(lái)我們的實(shí)驗(yàn)證明柯?tīng)柲宸虻耐牧魑锢砟Ｐ团c湍流的不連續(xù)性有矛盾，需要重新探索�？�?tīng)柲宸虻耐牧魑锢砟Ｐ途烤故窃觞N一回事，我們的觀測(cè)又怎樣揭示出它的問(wèn)題，我們將在本書(shū)第七章中加以講述。盡管如此，該理論對(duì)湍流微結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)還是正確，符合實(shí)驗(yàn)測(cè)量。而且到現(xiàn)在為止，還沒(méi)有人能夠創(chuàng)造出一個(gè)新理論來(lái)取代柯?tīng)柲宸虻耐牧骼碚�。因此，他這種依靠深刻的物理洞察力，建立起一個(gè)簡(jiǎn)單的湍流物理模型，從而能化解掉求解納維-斯托克斯方程的嚴(yán)重?cái)?shù)學(xué)困難， 使問(wèn)題得到一個(gè)初步合理的解決。這種物理上極強(qiáng)的洞察力，到現(xiàn)在仍然使人們印象深刻�？�?tīng)柲宸虿⒉皇俏锢韺W(xué)家，他是一個(gè)大數(shù)學(xué)家，是莫斯科概率論學(xué)派的代表人物，他居然不是靠他在數(shù)學(xué)上的高超水平，而是依靠對(duì)流體物理的洞察力就建立起湍流力學(xué)研究史上的一個(gè)里程碑式的成就，真讓人嘆為觀止。（注：雷諾數(shù)又是一個(gè)無(wú)量綱數(shù)，在黏性流體力學(xué)中，它表示流體的非線性慣性力和流體的分子粘性力的比。雷諾數(shù)很高時(shí)，表示運(yùn)動(dòng)中流體的非線性慣性力很大。雷諾數(shù)很低時(shí)，表示流體的分子粘性力很大。）

　　能夠像柯?tīng)柲宸蚰菢樱砸粋�(gè)物理模型就化解了全部數(shù)學(xué)難點(diǎn)，這種例子并不多。

更多的情況是只能化解一部分，余下的難點(diǎn)仍然要進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，比如巴切勒 1972單分散沉降理論的建立就是這樣。

巴切勒 建立他1972 年理論時(shí)，對(duì)他所研究的懸浮體物理模型，規(guī)定了以下三點(diǎn)。第一該懸浮體必須稀釋，這樣他就可以把至今尚未解決的 n粒子之間流體動(dòng)力相互作用難題(n大于2)，簡(jiǎn)化為目前已有答案的兩個(gè)粒子之間的流體動(dòng)力相互作用。第二該懸浮體必須是由“硬球”（hard sphere）組成，這樣他就可以不考慮粒子之間所有可能的相互作用勢(shì)。第三該懸浮體必須是單分散的，也就是說(shuō)所有粒子的半徑大小完全相同，所有粒子的組成成分完全相同。于是在這種懸浮體中，粒子和粒子之間在重力作用下，就不存在相對(duì)重力沉降，粒子之間的垂直距離就永遠(yuǎn)保持不變。雖然每個(gè)粒子的絕對(duì)重力沉降仍然存在。對(duì)于這樣的懸浮體，求解粒子的統(tǒng)計(jì)平均沉降速度時(shí)，就可避免求解多粒子統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)的難題，對(duì)于稀釋體系而言，這模型就可使人避開(kāi)求解粒子對(duì)的統(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程難題。因?yàn)榇藭r(shí)，從物理的直觀就可判斷出，這種懸浮體中粒子對(duì)的統(tǒng)計(jì)對(duì)分布是均勻分布，歸一化以后其值恒為1。然而即使如此，還有另一難題，就是粒子對(duì)低雷諾數(shù)流體動(dòng)力相互作用慢衰減造成的沉降積分發(fā)散。這個(gè)難題在上面的模型中并未化解掉，還有待人們解決。這問(wèn)題仍然十分艱難，從1942年伯杰斯（Burgers）開(kāi)始經(jīng)過(guò)了二十多年的努力，最后到巴切勒才把它解決。他發(fā)明了一種非常巧妙的方法使積分得以收斂，從而造成了多粒子體系沉降研究上的一次突破性進(jìn)展。這不僅是懸浮體力學(xué)的重大進(jìn)展，人們?cè)u(píng)價(jià)，它還是20世紀(jì)中流體力學(xué)重要的進(jìn)展之一。

　　1．2．2．2用各種近似化解數(shù)學(xué)難點(diǎn)

　　把物理思想注入于數(shù)學(xué)之中的第二個(gè)方法就是進(jìn)行各種近似。所謂近似就是依靠對(duì)與問(wèn)題有關(guān)的各個(gè)物理因子，比較其大小后，忽略掉影響較小的因子，抓住影響大的因子，從而可以使問(wèn)題得以解決，雖然這是一種近似解。在粘性流體力學(xué)中，由于支配它的運(yùn)動(dòng)的納維━斯托克斯方程是時(shí)空四維非線性的偏微分方程，至今還沒(méi)有發(fā)明出嚴(yán)格求解的數(shù)學(xué)方法。而另一方面在這門(mén)學(xué)科的發(fā)展中，使用各種各樣的近似，常常會(huì)得到一些很有效很成功的解答。因而近似方法在這門(mén)學(xué)科中就是經(jīng)常使用的重要辦法。一個(gè)成功的近似往往就會(huì)對(duì)流體力學(xué)的發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)，因而這個(gè)近似的創(chuàng)始人就會(huì)成為流體力學(xué)中的著名人物，這個(gè)近似法也就以其創(chuàng)始人的姓來(lái)命名。例如亞音速機(jī)翼繞流理論中的卡爾曼-錢(qián)（Kármán-Tsien）近似（Tsien即錢(qián)學(xué)森，這不是漢語(yǔ)拼音，是威妥瑪拼音，卡爾曼是他的老師馮卡爾曼（von Kármán）, 20世紀(jì)上半葉又一位國(guó)際流體力學(xué)大師）。在現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)發(fā)明以后，人們創(chuàng)造出另一種方法，即求方程的數(shù)值解。把方程放到巨型計(jì)算機(jī)里去算，讓計(jì)算機(jī)去解決問(wèn)題。然而即令如此，依靠物理思想去進(jìn)行各種近似，仍然是一種不可替代的方法。當(dāng)能通過(guò)這種方法求得問(wèn)題的解析解時(shí)，就會(huì)使人們對(duì)問(wèn)題中的物理圖象有了一個(gè)更清晰更深刻的認(rèn)識(shí)。而求數(shù)值解的方法，常不能給人以清晰的物理圖像。因此，兩種方法也不能絕對(duì)相互排斥，常常需要同時(shí)使用兩種方法，使之相互補(bǔ)充。一般都盡可能先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行近似處理，然后再進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算。

　　懸浮體力學(xué)或氣溶膠力學(xué)是流體力學(xué)和膠體科學(xué)或氣溶膠科學(xué)交叉的新興學(xué)科。所以在這門(mén)科學(xué)的發(fā)展中也常使用流體力學(xué)中的近似方法。正像在粘性流體力學(xué)中經(jīng)常把雷諾數(shù)或雷諾數(shù)的倒數(shù)當(dāng)做微擾參數(shù)來(lái)做各種近似一樣，在懸浮體力學(xué)中也經(jīng)常把皮克列特?cái)?shù)或其倒數(shù)做微擾參數(shù)來(lái)求各種近似。近似方法的基礎(chǔ)就是前面曾講過(guò)的大膽的假設(shè)，只不過(guò)這種假設(shè)物理基礎(chǔ)更堅(jiān)實(shí)一些。比如在大膽假設(shè)那一節(jié)中講到斯莫魯霍夫斯基的假設(shè)，他在 皮克列特?cái)?shù)大于1時(shí)忽略掉弱布朗運(yùn)動(dòng)，而且忽略粒子間的相互作用以后，他所得到的就是的高皮克列特?cái)?shù)下碰并的一級(jí)近似解，反之在皮克列特?cái)?shù)小于1時(shí)，忽略掉弱對(duì)流運(yùn)動(dòng)，并仍忽略一切相互作用以后，所得到的就是在低皮克列特?cái)?shù)下碰并的一級(jí)近似解。后來(lái)者的修正工作，只不過(guò)是使之更精確，從而得到在相應(yīng)皮克列特?cái)?shù)條件下的高級(jí)近似。

　　有時(shí)候一次近似還不行，還要進(jìn)行第二次近似，巴切勒和我在建立多分散粒子沉降的統(tǒng)計(jì)理論時(shí)，就曾采用過(guò)兩次近似。那是在1980年我成功地克服了求解粒子對(duì)統(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程的困難，得到高皮克列特?cái)?shù)下，忽略弱布朗運(yùn)動(dòng)以后，粒子統(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程的解析解，這當(dāng)然是個(gè)一級(jí)近似解，而且按照流體力學(xué)中的微擾方法，這是個(gè)奇異擾動(dòng)問(wèn)題。我所得到的高皮克列特?cái)?shù)下，忽略布朗運(yùn)動(dòng)以后的近似解并不能適用于整個(gè)空間。事實(shí)上，它只是外域解，只能適用于外域。

在鄰近兩粒子的碰撞球面上有一薄層存在，這叫內(nèi)域，或叫邊界層。在這一薄層中，對(duì)我當(dāng)時(shí)正在處理的碰并問(wèn)題而言，范德瓦爾斯分子引力不再能忽略。

對(duì)巴切勒當(dāng)時(shí)想用我這個(gè)解去求沉降積分而言，也在碰撞面上的鄰域有一薄層存在，在這一薄層中，布朗運(yùn)動(dòng)不可忽略， 而不管皮克列特?cái)?shù)是如何之高。因此嚴(yán)格講，只有建立起這個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)起作用的邊界層方程，并求出它的解后，才能得到高皮克列特?cái)?shù)下沉降系數(shù)的一級(jí)近似值。然而巴切勒此時(shí)作了又一次近似，他認(rèn)為可以置這個(gè)內(nèi)域邊界層問(wèn)題于不顧，由于這個(gè)薄層相對(duì)于整個(gè)無(wú)窮域的沉降積分而言，是一個(gè)小量，可以忽略不計(jì)。完全可以用已經(jīng)得到的外域解在整個(gè)無(wú)窮域進(jìn)行沉降積分就可以了。然而不久前，我和我的學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入一步的檢驗(yàn)。我們建立了布朗運(yùn)動(dòng)起作用的邊界層方程，并求出它的解析解。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于小粒子對(duì)大粒子沉降的影響而言，巴切勒的兩次近似可以接受，但是對(duì)于大粒子對(duì)小粒子沉降影響而言，這兩次近似就會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

我們會(huì)在第四章中更詳盡地談到這個(gè)問(wèn)題。

　　1．2．2．3用各種變換化解數(shù)學(xué)難點(diǎn)

　　除去利用物理模型和各種近似來(lái)化解數(shù)學(xué)難點(diǎn)以外，變換也是一個(gè)常用的方法。

有時(shí)候，按照某一數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用條件，乍一看來(lái)，你所研究的問(wèn)題并不滿足，好象無(wú)法使用這一方法。但在仔細(xì)分析以后，你往往會(huì)發(fā)現(xiàn)可以利用該問(wèn)題的一些特點(diǎn)進(jìn)行變換。于是就可以不去解該問(wèn)題原來(lái)待求的物理量，而是去研究對(duì)該物理量的某種變換。這個(gè)經(jīng)過(guò)變換以后的變形卻可滿足該方法的使用條件，從而可用該方法求解，等求到這個(gè)變形以后，再用原來(lái)使用的變換方法進(jìn)行反變換，于是就求到了原來(lái)待求的物理量。

　　我們?cè)诮ⅰ皩?duì)流暖云大云滴隨機(jī)生長(zhǎng)的馬爾柯夫過(guò)程理論”時(shí)，就曾遇到過(guò)這種事。在論證出云中各種湍流起伏場(chǎng)是一個(gè)短相關(guān)起伏場(chǎng)以后，我們就放棄了在早期云滴隨機(jī)增長(zhǎng)理論中使用的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方法， 而采用了更為恰當(dāng)?shù)鸟R爾柯夫過(guò)程的方法。在馬爾柯夫過(guò)程中，人們?cè)缫炎C明，當(dāng)生長(zhǎng)過(guò)程屬短相關(guān)過(guò)程后，待求的大云滴概率分布，就滿足一種對(duì)流擴(kuò)散型方程，求解這個(gè)方程就可得到待求的大云滴概率分布的嚴(yán)格解。然而在建立大云滴隨機(jī)生長(zhǎng)的馬爾柯夫型對(duì)流擴(kuò)散方程時(shí)，我們遇到了一個(gè)看去是難以逾越的障礙。原來(lái)在馬爾柯夫過(guò)程中，按照泰勒（G.I.Taylor）定理，要寫(xiě)出此時(shí)的“擴(kuò)散”式生長(zhǎng)的“擴(kuò)散系數(shù)”，大云滴的生長(zhǎng)速度就必須與它的半徑大小無(wú)關(guān)。這是隨機(jī)生長(zhǎng)中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。但可惜云滴生長(zhǎng)速度和它的半徑大小有關(guān)，這樣就不可能按現(xiàn)有的理論方法再做下去。經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)這問(wèn)題可以用某種變換來(lái)處理。經(jīng)過(guò)變換，我們把在半徑坐標(biāo)軸的 “擴(kuò)散式”生長(zhǎng)過(guò)程，變到Z坐標(biāo)軸上的“擴(kuò)散式生長(zhǎng)”。而在Z坐標(biāo)軸的生長(zhǎng)速度與Z大小無(wú)關(guān)，僅與云中湍流起伏場(chǎng)特征量有關(guān)。于是就可按泰勒定理寫(xiě)出在 Z軸上的“擴(kuò)散式生長(zhǎng)”的擴(kuò)散系數(shù)。從而求得Z變換的對(duì)流擴(kuò)散方程的解。之后，再按照原規(guī)定Z變換定義進(jìn)行反變換，于是就得到了待求的云滴隨機(jī)生長(zhǎng)的概率分布了。這是根據(jù)問(wèn)題本身的物理特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q以化解數(shù)學(xué)上的困難，使問(wèn)題得以找到答案并取得成功的一個(gè)例子。我們將在第六章中有更詳盡的介紹。

　　有的時(shí)候，所研究的問(wèn)題十分復(fù)雜，一次變換還不能完全解決問(wèn)題，這時(shí)就需要進(jìn)行多次變換才能求解。

我和巴切勒在建立懸浮粒子在高皮克列特?cái)?shù)下對(duì)流碰并的統(tǒng)計(jì)理論時(shí)，就碰到過(guò)這種事情。前面曾講到，1980年我在劍橋做高皮克列特?cái)?shù)下懸浮粒子的碰并問(wèn)題時(shí)，第一步我成功地突破了粒子統(tǒng)計(jì)對(duì)分布函數(shù)的外域解的難題，得到了對(duì)分布外域的解析解。由于碰并率的積分不是一個(gè)從碰撞面到無(wú)窮遠(yuǎn)域的體積分，而是個(gè)面積分，積分面恰恰在兩粒子之碰撞面上。因此，對(duì)于碰并問(wèn)題而言，我必須接著求解內(nèi)域問(wèn)題。也就是說(shuō)要建立起范德瓦爾斯分子引力起作用的邊界層方程，并得到對(duì)分布邊界層解。這是一個(gè)難度非常大的問(wèn)題。為克服這些困難，我們使用了多達(dá)四次的變換，才解決問(wèn)題，得到一個(gè)非常漂亮的解析解，從而打破了斯莫魯霍夫斯基對(duì)流碰并的軌跡分析法的限制，建立起對(duì)流碰并的統(tǒng)計(jì)理論。我們將在下一章更詳盡地談到它。

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