摘要:探討了整除與同余之間的關(guān)系,給出了時(shí)能被整除的整數(shù)的特征,同時(shí)給出了能被某些或某一類的整數(shù)整除的整數(shù)的特征及一些具體的形式。 　　關(guān)鍵字:整除;同余;整數(shù)特征;互素
　　中圖分類號(hào):O15文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-2851(2010)09-0098-02
　　
　　1. 引言
　　整除問(wèn)題是初等數(shù)論研究的一個(gè)基本而有趣的問(wèn)題,尤其是尋找一些數(shù)的整除特征一直吸引著許多數(shù)學(xué)愛(ài)好者.例如,能被3、9、11等數(shù)整除的整數(shù)特征,在許多文獻(xiàn)中如《初等數(shù)論》、《數(shù)論妙趣》等中可以看到。在徐兆強(qiáng)教授編著的《初等數(shù)論》中一個(gè)同余例題:a>0,證明17|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的5倍后能被17整除。我們將其推廣至一個(gè)與10互素的整數(shù)整除正整數(shù)的充要條件。與10互素的整數(shù)分為四類:10k+1、10k+3、10k+7、10k+9(k∈Z),以下分別進(jìn)行了討論.為此先給出下面幾個(gè)引理:
　　引理1[1]:a=b(modm)?圳m|a-b或a=b+mt(t是實(shí)數(shù))
　　引理 2[1]:a=b(modm),b=c(modm)?圯a=c(modm)
　　引理 3[3]:(c,m)=1,ac=bc(modm)?圯a=b(modm)
　　2.主要定理和推論
　　2.1 能被10k+1(k∈Z)整除的整數(shù)特征
　　對(duì)于與10互素的一種類型的整數(shù),比如11、21等,我們有下面的結(jié)論.
　　定理1設(shè)a是大于0的整數(shù),則10k+1(k∈Z)|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的k(k∈Z)倍后能被整除.
　　證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4].
　　定理2a是大于0的整數(shù),10k+1(k∈Z)|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字9k+1(k∈Z)的倍后能被10k+1整除.
　　證明 設(shè) a=10x+y,0≤y≤9
　　有a=10(x+(9k+1)y)-9(10k+1)y
　　根據(jù)引理1 可得
　　a=10(x+(9k+1)y)(mod(10+1))
　　由引理2 得
　　a=0(mod(10k+1))?圳10(x+(9k+1)y)=0(mod(10k+1))
　　又(10k+1,10)=1 ,
　　再由引理3 得到10(x+y)=0(mod(10k+1))?圳x+(9k+1)y=0(mod(10k+1)?圳10k+1/x+(9k+1)y) 證完.
　　于是可得到下面熟知的一些結(jié)論:
　　推論1正整數(shù)能被11整除的充要條件是將該正整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字后能被11整除.
　　推論2正整數(shù)能被101整除的充要條件是將該正整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字后能被101整除.
　　2.2 能被10k+3(k∈Z)整除的整數(shù)特征
　　對(duì)于與10互素的另一種類型的整數(shù),比如13、23等,我們也有下面的結(jié)論.
　　定理3正整數(shù)能被10k+3(k∈Z)整除的充要條件是把a(bǔ)的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字3k+1(k∈Z)的倍后能被10k+3整除.
　　證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4].
　　類似地,我們也可以得到與定理3平行的結(jié)論:
　　定理4a是大于0的整數(shù),10k+3(k∈Z)|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的7k+2倍后能被10k+3整除.
　　證明 設(shè)a=10x+y,0≤y≤9
　　有 a=10(x-(7k+2)y)+7(10k+3)y
　　根據(jù)引理 1可得
　　a=10(x-(7k+2)y)(mod(10k+3))
　　由引理2 得
　　a=0(mod(10k+3))?圳10(x-(7k+2)y)=0(mod(10k+3))
　　又(10k+3,10)=1 ,
　　再由引理3 得到
　　10(x-(7k+2)y)=0(mod(10k+3))?圳x-(7k+2)y=0(mod(10k+3))?圳10k+3/x-(7k+2)y 證完.
　　于是也可得到下面熟知的一些結(jié)論:
　　推論3 a>0 ,證明13|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的倍后能被13整除.
　　推論4a>0,證明23|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字的倍后能被23整除.
　　2.3 能被10k+7(k∈Z)整除的整數(shù)特征
　　對(duì)于與10互素的另一種類型的整數(shù),比如7、27等,我們也有下面的結(jié)論.
　　定理5正整數(shù)a能被10k+3(k∈Z)整除的充要條件是把a(bǔ)的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的3k+2(k∈Z)倍后能被10k+7整除.
　　證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4].
　　類似地,我們也可以得到與定理5平行的結(jié)論:
　　定理6 a 是大于0的整數(shù),則10k+7(k∈Z)|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字的7k+5(k∈Z)倍后能被10k+7整除.
　　證明 設(shè) a=10x+y, 0≤y≤9
　　有 a=10(x-(7k+5)y)-7(10k+7)y
　　根據(jù)引理1 可得
　　a=10(x+(7k+5)y)(mod(10k+7))
　　由引理2 得
　　a=0(mod(10k+7))?圳10(x+(7k+5)y)=0(mod(10k+7))
　　又(10k+710)=1 ,再由引理3 得到
　　10(x+(7k+5)y)=0(mod(10k+7))?圳x+(7k+5)y=0(mod(10k+7))?圳10k+7/x-(7k+5)y 證完.
　　于是也可得到下面熟知的一些結(jié)論:
　　推論5 a>0 ,證明7|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字的倍后能被7整除.
　　推論6a>0,證明27|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的倍后能被27整除.
　　2.4 能被10k+9(k∈Z)整除的整數(shù)特征
　　對(duì)于與10互素的另一種類型的整數(shù),比如9、19等,我們也有下面的結(jié)論.
　　定理7正整數(shù)a能被10k+9(k∈Z)整除的充要條件是把a(bǔ)的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字的k+1(k∈Z)倍后能被10k+9整除.
　　證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4].
　　類似地,我們也可以得到與定理7平行的結(jié)論:
　　定理8正整數(shù)能被10k+9(k∈Z)整除的充要條件是把的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的9k+8倍后能被10k+9整除.
　　證明設(shè) a=10x+y,0≤y≤9
　　有a=10(x-(9k+8)y)+9(10k+9)y
　　根據(jù)引理1 可得
　　a=10(x-(9k+8)y)(mod(10+9))
　　由引理2 得
　　 a=0(mod(10k+9))?圳10(x-(9k+8)y)=0(mod(10k+9))
　　又(10k+9,10)=1 ,
　　再由引理3 得到
　　10(x-(9k+8)y)=0(mod(10k+9))?圳x-(9k+8)y=0(mod(10k+9))?圳10k+9/x-(9k+8)y 證完.
　　于是也可得到下面熟知的一些結(jié)論:
　　推論7 a>0 ,證明9|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后減去個(gè)位數(shù)字的8倍后能被9整除.
　　推論8a>0,證明19|a?圳將a的個(gè)位數(shù)字截去,然后加上個(gè)位數(shù)字的2倍后能被19整除.
　　3.應(yīng)用舉例
　　我們僅就能被10k+1和10k+3(k∈Z)整除的整數(shù)給出下面兩個(gè)例子.
　　例1不做除法,判斷下面數(shù)能否被11整除.
　　 解 注意到11屬于10k+1(k∈Z)類型的整數(shù),應(yīng)用定理1時(shí)可使用下述較為方便的方法:
　　 如26796被11整除?圳2679-6=2673被整除?圳267-3=264被11整除?圳26-4=22被11整除.因此,能夠被11整除.
　　 例2判斷234567能否被13整除.
　　 解 同樣,注意到13屬于10k+3(k∈Z)類型的整數(shù),應(yīng)用定理4時(shí)可使用下述較為方便的方法:
　　由題意可得,234567被13整除?圳23456-7(7+2)=23493被13整除?圳2349-3(7+2)=2322被13整除?圳232-2(7+2)=214被13整除?圳21-4(7+2)=-15被13整除.因此,234567不能夠被13整除.
　　
　　參考文獻(xiàn)
　　[1] 徐兆強(qiáng).初等數(shù)論[M].甘肅:甘肅教育出版社,1999.
　　[2] [美]阿爾伯特H貝勒著,談祥柏譯.數(shù)論妙趣[M].上海:上海教育出版社,2001.
　　[3] 陳曉東.一類數(shù)的整除特征[J],江西:江西金融職工大學(xué)學(xué)報(bào),2006(6):305-306.
　　[4] 朱衛(wèi)平.能被奇數(shù)整除的整數(shù)特征研究[J] ,浙江:湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2002(6):21-24.

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