溫景嵩：有幸參與了巴切勒1982沉降大工程
發(fā)布時間:2020-06-06 來源: 人生感悟 點擊： 
《創(chuàng)新話舊》第4章
第四章 創(chuàng)新點（3）── 突破巴切勒1972單分散沉降理論的限制
4．1 從亞里士多德到斯托克斯
從本章起我們把話題從懸浮粒子的碰并過程，轉(zhuǎn)到懸浮粒子的沉降問題。物體的重力沉降，是自然界中非常重要的現(xiàn)象，人類對此已經(jīng)有了很長的研究歷史。早在兩千三百年前，古希臘的哲人亞里士多德對此就做了研究，他的結(jié)論是：物體沉降的速度和它的重量成正比。這一認識符合人們的直觀。因此，一直被奉為權(quán)威的結(jié)論，持續(xù)了一千多年。直到16和17世紀之交，意大利著名的科學家伽利略做了一個實驗，即比薩斜塔實驗。他把兩個輕重不同的物體帶到斜塔上，使它們同時，在相同高度上降落下來，從而發(fā)現(xiàn)兩者同時落地，推翻了延續(xù)了一千多年之久的亞里士多德理論，并且由此而發(fā)現(xiàn)重力加速度g。它在同一高度上，對任何物體都相同。接下來就是17和18世紀之交英國劍橋大學的牛頓，他那舉世聞名的蘋果從樹上掉下來打疼頭的故事，也可能是真的。直到現(xiàn)在，在劍橋大學他所工作過的著名的三一學院大門口，還有一棵據(jù)說是從牛頓家鄉(xiāng)移植過來的蘋果樹，以此來紀念他所由此而發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律。當然我們在第一章中已經(jīng)說過，牛頓發(fā)現(xiàn)物體之間的萬有引力定律，主要是從開普勒行星運動三大定律中提煉出來。但是也無法否認那個從樹上掉下來的蘋果曾對牛頓產(chǎn)生了啟發(fā)作用，至少他找到了物體的重力沉降的真正動因。再往下來對重力沉降做出重要貢獻的仍然是劍橋大學的著名學者，生活在19世紀的國際流體力學大師斯托克斯，他是粘性流體力學的兩位創(chuàng)始人之一。1822年法國學者納維 在一特殊條件下導出了粘性流體的粘性應(yīng)力表達式，1845年斯托克斯 在更普遍的條件下 導出了同樣的粘性應(yīng)力表達式，因此得到支配粘性流體運動的微分方程，為紀念這兩個創(chuàng)始人的偉大功績，該方程就以這兩位的姓氏命名，叫納維-斯托克斯方程。有時簡稱為N-S方程。把N-S方程無量綱化以后，就可發(fā)現(xiàn)該方程解的性質(zhì)依賴于一個無量綱數(shù)—雷諾數(shù)。它是粘性流體的非線性的流體慣性力和線性的流體粘性力的比。斯托克斯 的第二個貢獻就是在低雷諾數(shù)條件下，做為一級近似，他建議把N-S方程中弱的非線性流體慣性力忽略，于是方程簡化為線性的二階偏微分方程，為紀念他的第二個貢獻，人們把這個方程命名為斯托克斯方程。所得的解叫斯托克斯流。在斯托克斯 流中起支配作用的是流體的粘性力，所以斯托克斯流又叫粘性流。這是流體力學發(fā)展史上第一個成功的近似，叫斯托克斯 粘性流近似。斯托克斯 的第三個貢獻就是他對一個孤立的剛性球在靜止的無界的粘性流體中，以一定常的平移速度U向前運動做了細致研究。運動屬低雷諾數(shù)性質(zhì)，可以使用斯托克斯方程求解，由此而得到在四周流體中所產(chǎn)生的擾動流場結(jié)構(gòu)，所得到的是一個很漂亮的解析解。從這個解不難求出擾動流場對這剛性球所產(chǎn)生的阻力。這個阻力與球的半徑a成正比，與球運動速度U成正比，與流體的粘性系數(shù)m成正比，比例系數(shù)是6p，這就是著名的斯托克斯 阻力定律。有了這第三個貢獻,他就很容易導出他的最后一個重大貢獻。這是和本章直接有關(guān)的重力沉降問題，使剛性球的重力和阻力平衡，他就得到球的重力沉降速度，它和球的半徑a 平方成正比，和球的密度與介質(zhì)密度差成正比，與重力加速度g成正比，和介質(zhì)粘性系數(shù)m成反比，比例系數(shù)是2/9 ，這就是著名的斯托克斯沉降公式，這個公式為兩千多年前的亞里士多德翻了案。原來中世紀的伽利略的比薩斜塔實驗，測量的是自由落體沉降速度，也就是說，只有在介質(zhì)對落體的阻力可以忽略不計時，伽利略才可以推翻亞里士多德的結(jié)論，否則在介質(zhì)阻力不可忽略條件下，亞里士多德的結(jié)論就仍然正確 。落體的平衡速度就仍和落體所受的重力成正比，之所以在斯托克斯沉降公式中不是正比與球的半徑a的3次方，只是a的2次方，是由于介質(zhì)阻力正比于a的1次方，兩者相抵使原來的a的3次方降為a的2次方。結(jié)論仍然是球越重，沉降速度越大。當然，事情不是簡單地回歸到兩千多年前的亞里士多德的定性結(jié)論，由于 斯托克斯對粘性流體力學做出的努力，現(xiàn)在對球的重力沉降的認識更精確更定量了。進入20世紀后，人們對他的重力沉降公式進行了各種實驗檢驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論是液態(tài)介質(zhì)，還是氣態(tài)介質(zhì)，斯托克斯 沉降公式都正確，富克斯曾說過，它是人們所知道的最精確的物理定律之一。
在斯托克斯之后，沿著孤立球的沉降問題，繼續(xù)有不少人做了研究。
1911年哈達馬特（ Hadamard） 把剛性球的假定放松，研究了液滴運動時所受阻力問題。此外在20世紀上半葉還有一些人研究了非球形物體運動時所受阻力，從最簡單的一種橢球體看，情形就相當復(fù)雜。不僅和運動速度，還和運動方向有關(guān)。到了1967年巴切勒還從更一般的角度探討了任意形狀物體運動時所受的阻力問題。第三，斯托克斯公式是在低雷諾數(shù)條件下，完全忽略了非線性流體慣性力的影響后得到的，1910年奧森（Oseen）考慮了低雷諾數(shù)條件下，弱的非線性流體慣性力的影響，指出這是一個奇異擾動問題，并由此而得到了二級近似，更高級的近似則是在1957年分別由兩組人員得到。即：卡普隆（Kaplun）和拉杰斯托姆（Lagerstrom） , 以及普勞德曼（Proudman）和皮爾森（ Pearson）。
至于在高雷諾數(shù)條件下運動物體所受介質(zhì)阻力問題，則更復(fù)雜。1904年普朗托的邊界層理論已指明這又是一個奇異擾動問題，在外域可忽略掉粘性力，問題轉(zhuǎn)化為無粘性的理想流體運動，而在內(nèi)域即在運動物體的表面有一邊界層，在這層中粘性力不可忽略，而不管雷諾數(shù)是如何之大。但是如何使邊界層理論應(yīng)用到具體物體則遇到了很大的困難。1975年范戴克 指出問題出在外域，在完全忽略了粘性力， 當物體具有有界尺寸時，物體后面的流體會出現(xiàn)分離脫體現(xiàn)象，流場的解就不唯一。范戴克曾以園球繞流為例舉出外域解至少有三種可能性，一種是連續(xù)的位勢饒流，一種是球背后出現(xiàn)死水區(qū)的分離流，第三種是球背后出現(xiàn)尖頂渦尾流區(qū)。這種解的不確定性，使求解的工作無法進行下去，因此在高雷諾數(shù)條件下，嚴格的理論求解就只能限在不會產(chǎn)生分離流或尾流的半無界平板繞流問題，是令人遺憾的事。
4．2 巴切勒1972年的卓越貢獻
在斯托克斯之后，另一個發(fā)展方向，就是放松他的孤立球假定，研究在多球相互作用下的重力沉降問題。球越小，它的雷諾數(shù)越小。在斯托克斯范圍它和球半徑的3次方成正比，所以斯托克斯沉降公式特別適用于我們所研究的氣溶膠或水溶膠問題，當球小到氣溶膠粒子的尺度例如半徑為10微米時，它的雷諾數(shù)已降到10的－2次方。半徑降為1微米時，雷諾數(shù)降為10的 －5次方，半徑降為0.1微米時其雷諾數(shù)就僅為10的－8次方了。所以斯托克斯沉降公式完全可以適用到氣溶膠或 水溶膠體系中來。問題在于這是個多粒子相互作用下的沉降問題，對于這種體系，只有當體系極端稀釋時，斯托克斯孤粒子沉降公式才能適用，否則，就必須研究多粒子相互作用下對沉降的影響。這問題的研究也是在20世紀初由 斯莫魯霍夫斯基1912年工作所開始。多粒子 相互作用下的沉降又分兩種，一種是在無界空間中粒子云的沉降，一種是在有界空間中的（例如在容器中，在沉淀池中，或在水庫中等）的沉降，前者平均沉降速度較斯托克斯孤粒子沉降為大，叫“增速沉降”，后者平均沉降速度較斯托克斯沉降為小，叫“阻滯沉降”。由于“阻滯沉降”應(yīng)用價值較大，近一個世紀來，研究很多，形成了三種不同的方法：一是晶格法，二是殼層法,三是統(tǒng)計理論法。第一種方法以粒子間平均距離為晶格格點之間的距離,假定膠體系統(tǒng)的粒子都規(guī)則地排列在這些晶格的格點上，第二種方法以粒子間平均距離為半徑，以參考粒子中心為球心，假定其他粒子對參考粒子沉降的影響都集中在這個大球面上，并使這一球面上流體速度降為0，以此來計算對參考粒子沉降速度的影響。以上兩種方法都涉及到膠體系統(tǒng)粒子間的平均距離，從量綱分析考慮，四周粒子對參考粒子沉降速度所造成的阻滯量必然和粒子間平均距離成反比，而平均距離又和粒子的體積濃度j的1/3次方成反比。故此，從以上兩種方法得到的阻滯量都和粒子體積濃度j的1/3次方成正比，比例系數(shù)各有不同，而晶格法的比例系數(shù)又因晶格列陣的幾何形狀假定不同而不同。第三種方法則是統(tǒng)計理論法，這方法不對粒子分布以及粒子間相互作用做任何硬性的人為假定，它只認定N個粒子在空間中的構(gòu)型，因粒子的隨機的布朗運動而是一個3N維隨機場。問題是要求出這種多粒子的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)。在稀釋體系中就是要求出粒子對的對分布函數(shù)。所得結(jié)果與前兩種方法有很大差異。統(tǒng)計理論法所得的阻滯沉降量與j的 1次方成正比，而 與前兩種方法有規(guī)律上的不同。由于隨機的布朗運動是懸浮粒子運動的基本特征。因此，這一方法較之前兩種人為假定的方法更易于讓人們接受。然而這一方法，不可避免地遇到積分發(fā)散和對分布方程求解兩大難題而進展十分緩慢。只是到了1942年伯杰斯的工作開始才對單分散沉降的 統(tǒng)計理論有了研究，對于所遇到的積分發(fā)散問題，他嘗試采取了幾種不同的方法使積分收斂，所得結(jié)果也不相同，他也不知道他是否得到了正確的答案。1964年皮恩（Pyun）和菲克斯曼（Fixman） 沿著伯杰斯的方向進一步做了努力，結(jié)果他們成功地使其中的一項積分收斂，但在使另一項發(fā)散積分收斂時，遭遇失敗。又過了八年到了1972年 巴切勒終于取得突破性進展，他發(fā)明一種類似于理論物理中的重整化方法使兩項發(fā)散積分，都達到了收斂的目的，所得的沉降速度的阻滯量自然仍是與j的1次方成正比。比例系數(shù)（現(xiàn)在叫沉降系數(shù)）是－6.55，這是一次重大的突破。自從19世紀斯托克斯在1851年得到孤粒子沉降公式后，人類經(jīng)過了100多年的努力，只是到20世紀下半葉才由巴切勒在1972年得到多粒子相互作用下的單分散沉降公式。如果從斯莫魯霍夫斯基1912年研究算起，則經(jīng)歷了60年，如果從1942年伯杰斯努力從統(tǒng)計理論出發(fā)探討多粒子單分散沉降算起，也走了30年。這是多么慢長的一條道路啊。人們常說現(xiàn)在是知識爆炸的時代，其實這多半是指技術(shù)知識的進步，而非基礎(chǔ)理論的發(fā)展，做基礎(chǔ)理論工作，必須要有耐心，要經(jīng)受得住寂寞，更要有甘為人梯精神。當然，人類在這個領(lǐng)域所付出的代價完全值得�；A(chǔ)理論一旦有了新的突破，常常就會使技術(shù)知識領(lǐng)域產(chǎn)生一個質(zhì)的飛躍，面貌會煥然一新。第一章中所談到的維納的控制論就是一例。在粒子沉降領(lǐng)域，19世紀的斯托克斯和20世紀的巴切勒都是流體力學中劍橋?qū)W派的代表人物。這并非偶然，由于劍橋?qū)W派在國際流體力學中的領(lǐng)先地位，由于為要精確地預(yù)測粒子重力沉降速度，必須先要精確地預(yù)測出粒子在沉降時所受的流體阻力。在斯托克斯孤粒子沉降時代要求能精確地預(yù)測出流體對孤粒子沉降的阻力。在巴切勒多粒子沉降時代，要求能精確地預(yù)測出在多粒子流體動力相互作用下，流體對參考粒子沉降的阻力，這就要求有非比一般的流體力學的高超水平，對流體運動的物理本質(zhì)有非比一般的深刻認識。
巴切勒1972年單分散沉降的統(tǒng)計理論，不僅給出了精確的沉降系數(shù)數(shù)值，而且找出了阻滯沉降的來源。來源有四：一是四周粒子自身沉降時，所引起粒子周圍流體的反向補償流，這項貢獻為－1。二是四周粒子沉降時，會使與這些粒子相鄰的流體一起被拖帶下沉，從而在更大范圍內(nèi)引起流體的反向補償流，這項貢獻最大，為－4.5。三是四周粒子對來自介質(zhì)阻力的反作用力，傳達到參考粒子身上時會有一項正的作用力，是四項貢獻中唯一的正效應(yīng)�？上Ш苄。暙I只有＋0.5。最后，第四項是四周粒子對來自參考粒子作用力的反作用，仍為負效應(yīng)，貢獻是－1.５５,總起來即為－6.55。
可見阻滯效應(yīng)主要來自流體的反向補償流，可稱之為粒子的總體的流體動力相互作用。在稀釋的單分散硬球體系中，它可使參考粒子的斯托克斯沉降速度減少6.55j倍。這是人類所得到的多粒子體系沉降的 第一個公式。
巴切勒單分散硬球沉降公式，并沒有為 當時存在的單分散沉降實驗所證實。很明顯，由于當時存在的單分散沉降實驗都不是用符合硬球條件的粒子做出，它們都是具有相互作用勢的具勢粒子，所以所測得的沉降系數(shù)都比巴切勒的－6.55大，一般在－5――4之間。在這個意義上，巴切勒單分散硬球沉降理論也是走在了實驗的前面。在1972年以前世界上還沒有一個單分散硬球沉降實驗數(shù)據(jù)，正是由于在1972年巴切勒發(fā)明了單分散硬球沉降理論，(點擊此處閱讀下一頁)
才引起了人們對硬球?qū)嶒灥臐夂衽d趣，在實驗科學家的努力下，1974年紐曼（Newman）完成了第一批單分散硬球沉降實驗，所測得沉降系數(shù)為－6.7±0.8。1982年考普斯-沃克赫文（Kops-Werkhoven）小組又得到了第二批單分散硬球沉降數(shù)據(jù)，為－6.6±0.6。到了1992年埃爾納法和塞里姆又得到新的數(shù)據(jù),為-6.51±0.4。這些數(shù)據(jù)均和巴切勒1972年的 理論預(yù)測一致，從此確立了這理論在沉降領(lǐng)域中的地位，三十多年來，直到現(xiàn)在還經(jīng)常被人們所引用，成為這領(lǐng)域中國際公認的經(jīng)典理論。
4．３ 多分散沉降理論的建立
4．３．１ 我的貢獻
如上所述, 巴切勒1972年單分散沉降理論是沉降研究中的一次重大進展,然而對沉降的統(tǒng)計理論而言,單分散沉降的成功還只完成了任務(wù)的一半,它意味著統(tǒng)計理論中的兩大難題, 他只解決了一個積分發(fā)散；
而第二個難題，即求解粒子對統(tǒng)計對分布方程難題仍有待解決,只有解決這一難題沉降的統(tǒng)計理論才算全部完成，才能突破單分散沉降理論的局限,把理論推進到多分散沉降理論階段。多分散體系普遍存在于自然界和工程領(lǐng)域,真正的單分散系統(tǒng)只有在實驗室中采取特殊設(shè)備才能制造出來。因此在應(yīng)用上單分散理論也有很大的局限性,應(yīng)予以突破建立更普遍的多分散理論。在多分散體系中，由于粒子大小，成分都不同，在重力的作用下，它們各自的沉降速度也就不同，因此它們之間也就存在相對的重力沉降速度。對分布方程中重力輸送項也就不為0，對于這種多分散體系，即使仍假定粒子為硬球，不存在相互作用勢，求解對分布方程的困難也不再能回避。只有解決了這一難題，才能建立起多分散沉降統(tǒng)計理論，而這一難題的解決是在我79年到了劍橋后，在我的協(xié)助下巴切勒才完成了這第二次突破。
在突破單分散沉降的局限，建立多分散沉降理論的過程中，無疑巴切勒是主角，我只起了一個配角作用，我的作用不可能更多。因為在我參加到他這個大工程中來時候，我對沉降的了解還只停留在1851年的斯托克斯孤粒子沉降理論上。盡管如此，這貢獻卻不是無足輕重的，具體地講，我的貢獻有兩點，第一是得到了高皮克列特數(shù)下對分布方程在外域的一級近似解，第二是承擔了這個大工程中全部數(shù)值計算工作。以上兩點貢獻，相對于巴切勒的自然很小，但很重要。尤其是第一點，應(yīng)該說它起到了關(guān)鍵的作用。正如我前面曾指出的，從單分散沉降到多分散沉降，必須克服求解對分布方程的難題才行。1976年巴切勒雖然對多分散沉降進行了初步探討，為大家描述了多分散沉降理論的輪廓，但那只能算是一個理論框架，還不是理論的真實內(nèi)容。因為那時他還未能克服這個求解對分布方程的 難題。1979年底我到了劍橋以后，和巴切勒一起研究我的工作時，也沒有提到沉降工作，只是到了1980年他第一次訪華時，我在研究懸浮粒子對流碰并的統(tǒng)計理論過程中，得到了不穩(wěn)定系統(tǒng)高皮克列特數(shù)下對分布方程外域的一級近似解，待他回劍橋向他匯報后，才使他想起他1976年還未完成的多分散沉降工作，原來沉降和碰并雖是兩個不同的課題，所面對的是兩個不同的懸浮體系，但這個不同，在高皮克列特數(shù)條件下，僅僅表現(xiàn)在內(nèi)域邊界層上。而 對于外域解卻完全相同，再加上他當時做出的第二次近似，忽略掉布朗邊界層的貢獻后，我那個解就成全部區(qū)域中的解，放到沉降積分中去，就可得到高皮克列特數(shù)下多分散沉降的統(tǒng)計理論了�？梢娢夷莻�解在建立多分散沉降理論中所起的作用，確實很關(guān)鍵。然而對我來說，那到是意外收獲，是“無心插柳柳成行”。
在有了如上沉降的理論以后，巴切勒自己又很快得到低皮克列特數(shù)條件下的解，以及粒子大小比l，和粒子和介質(zhì)密度差比g兩個參數(shù)，趨于兩個極端情況（0和無窮大）下的解。于是多分散沉降統(tǒng)計理論的一個相當完整的體系就此完成了。下一步該進行數(shù)值計算。這時巴切勒找到我，征求我的意見，問我是否愿意把我手頭上的 碰并工作暫時停下來，幫他把多分散沉降理論的數(shù)值計算工作完成，我當即表示愿意，這就是上面談的第二點貢獻。第一點貢獻是“無心插柳”，第二點卻是“自覺自愿”。是一次自愿地選擇。這兩點對沉降的貢獻，使我自己的碰并工作暫時停了兩年，但是完全值得，以后的發(fā)展，越來越使我認識到，當時自愿暫停兩年的碰并幫助他完成多分散沉降理論，意義是多么重大，應(yīng)該承認這是我那“閃光的8個創(chuàng)新點”中，影響最深遠，意義最重大，最光輝的一個創(chuàng)新點。當然，這“光輝”主要是巴切勒的，我只是“沾了點光”。然而巴切勒本人對我這點“光”，也作了充分的肯定，以致在1981年9月他兩次讓我代表他向華沙的流體力學國際會議，以及維也納的歐洲力學學會第144次會議做多分散沉降的報告。1982年2月他又讓我代表他向瑞士蘇黎世理工大學流體力學研究所做更詳盡的 多分散沉降報告。報告后不久，我就結(jié)束了在劍橋的高級訪問學者的生活回國。分手時，他一再向我表示感謝，感謝我對他的多分散沉降理論的貢獻，他說沒有我的幫助這一工作不可能完成。
4．3．2 杰弗瑞（Jeffrey）和大西善元的重要貢獻
談到多分散沉降理論創(chuàng)新點的誕生過程，還必須講一下杰弗瑞 和大西善元的重要貢獻。前者是當時在劍橋工作的一位科學家，是巴切勒懸浮體力學小組的正式成員，后者來自日本的一位高級訪問學者。在杰弗瑞那里工作。他們也是在巴切勒1980年訪華回來后，被他請來參加這一大工程。使我感到奇怪的是，杰弗瑞是懸浮體小組的正式成員，巴切勒是這個小組的負責人，又是這個系的系主任，《JFM》的主編，當代國際公認的流體力學大權(quán)威。按照我們國內(nèi)通常的做法，把任務(wù)布置給杰弗瑞就是了，沒有什么商量的余地。但巴切勒卻不。他是以一個朋友的身份，用商量的口吻，向杰弗瑞提出了兩項建議，一是參加到沉降課題組來，為之提供有關(guān)在雙球流體動力相互作用下遷移率數(shù)據(jù)，另一個是參加到云物理課題組來，還講到這是一個很有吸引力的課題，因為云滴是非常美麗的懸浮粒子。最后說參加不參加，如何參加，由杰弗瑞自己考慮。杰弗瑞果然有自己的考慮，他接受了第一個建議，而沒有接受第二個。第一個建議他也不是被動式的參加，而是把這一工作發(fā)展成他自己另外一個大工程——用他和大西善元發(fā)明的雙多極展開法，全面系統(tǒng)地完成雙球低雷諾數(shù)流體力學的計算。巴切勒和我的大工程只是從他們的大工程中提取了一小部分數(shù)據(jù)，多分散懸浮粒子沉降統(tǒng)計理論就成為這兩個大工程交叉的結(jié)果。他們二人為我們提供的數(shù)據(jù)非常重要，非常關(guān)鍵。前曾指出，要想知道在稀釋體系中，在雙球流體動力相互作用下的參考粒子的平均沉降速，首要的一環(huán)就應(yīng)知道在雙球流體動力相互作用下，流體對參考粒子的阻力。正像當年斯托克斯在完成了低雷諾數(shù)孤粒子運動所受流體的阻力計算，才能完成孤粒子沉降速度的計算一樣。在斯托克斯那里兩件事事由他一個人完成，而巴切勒這里兩件事是分兩組人馬，由四個人完成。雖然我們的工作使用的僅是杰弗瑞和大西善元的工程中一小部分數(shù)據(jù)，但他們?nèi)詾榇烁冻隽?大量勞動。原因之一在于巴切勒的計劃非常龐大，1972年在完成他單分散沉降理論時，他只進行了一個沉降系數(shù)計算，得到了-6.55的沉降系數(shù)值，而且在那次計算中由于單分散硬球模型的化簡，沒有必要對對分布函數(shù)進行計算�，F(xiàn)在1982年這次多分散沉降系數(shù)的計算，卻復(fù)雜得多，即使對沒有相互作用勢的硬球，它還和皮克列特數(shù)的大小有關(guān)。即使僅計算高皮克列特數(shù)和低皮克列特數(shù)兩種極限情況，它們?nèi)匀皇橇Ｗ哟笮”萳與粒子密度和介質(zhì)密度差比g兩個參數(shù)的函數(shù)，是l和g兩個連續(xù)變化參數(shù)所確定的兩個沉降系數(shù)曲面。巴切勒只從中選擇了一些代表點，即使這樣也有90個沉降系數(shù)需要計算，再加上在計算每一個沉降系數(shù)值時，還要進行相應(yīng)皮克列特數(shù)下，和相應(yīng)的l和g參數(shù)下的對分布函數(shù)計算。這里的每一個對分布函數(shù)，又要在不同距離上計算它的數(shù)值，至少十幾個點，算起來就有1000多個數(shù)據(jù)需要計算，工作量已遠非1972年單分散沉降計算可以比擬。更為重要的一個原因是，為使計算結(jié)果正確可靠。巴切勒研究并確定出好多組漸近線，它們是當l和g分別趨于它們各自的極限值時（l的極限值是0和無窮大，g的極限值是正負無窮大）沉降系數(shù)所應(yīng)逼近的漸近線。如果沒有逼近這個漸近線那就是計算中出現(xiàn)了問題。不是我的對分布函數(shù)和沉降系數(shù)計算出了問題，就是杰弗瑞 和大西善元的遷移率計算出了問題。必須把錯誤找出，加以改正，這就是我前面第一章中講到的計算曾多次推倒重來的原因。是巴切勒第四境“西風再凋碧樹”精神的一個生動體現(xiàn)。當然也有找到了問題的原因，可就現(xiàn)在工作水平來看已無法解決的情況。例如在g等于1時，對于高皮克列特數(shù)下l趨于0和無窮大的兩個漸近線，當我們減少l，計算到l等于1/8時，沉降系數(shù)已逼近l＝0時的漸近線，這個計算可以接受了，可是當l®µ時的漸近線卻都出了問題。我們計算使l大到8時，其沉降系數(shù)還遠高于漸近線，沒有降下來的意思，檢查結(jié)果是杰弗瑞和大西善元的遷移率計算出了問題。從趨勢看l還要進一步加大，估計要到64，128時才能收斂到極限值，可這已到了杰弗瑞和大西善元雙多極展開法的極限，不要說64，128，即使把l從8加大到16，雙多極展開法也無法計算下去。因此就只好住手，把問題留給后來人去解決了。這樣計算工作經(jīng)歷了兩年才結(jié)束，工作從1980年開始到1982年才發(fā)表。而杰弗瑞和大西善元他們自己那個雙球低雷諾數(shù)流體力學的大工程卻還沒有結(jié)束，一直到1984年他們的工作才發(fā)表，前后共花了他們四年時間。那一年我不但早已離開劍橋回國，而且也已離開了中國科學院安徽光機所來到了南開大學。為了使我在南開的學生能繼續(xù)算下去，我給杰弗瑞寫信，向他索取雙球低雷諾數(shù)遷移率的程序，他很慷慨，馬上就把他們?nèi)砍绦蚨伎降杰洷P上給我寄來，并在來信中告訴我，這些程序較之我們1982年沉降工作中所用的又有了好多改進。精度提高了許多。看來杰弗瑞也是用同樣的精益求精的精神對待自己的工作。劍橋人的“西風再凋碧樹”精神真是令人敬佩��！
杰弗瑞還有另外一個貢獻，是直接對我個人的。當1980年我答應(yīng)了巴切勒對我的建議，幫他完成多分散沉降的數(shù)值計算工作時，我告訴他數(shù)值計算方法，計算機程序設(shè)計這方面，我以前沒學過，需要一段時間進行學習。他告訴我，他也沒學過，也不懂怎樣編程序怎樣進行計算。他建議我去找杰弗瑞，請他幫忙。這又使我很吃驚，他是應(yīng)用數(shù)學和理論物理系的創(chuàng)始人兼系主任，怎么會不懂計算方法，程序設(shè)計。又怎么敢居然在一個外國人面前承認這一點，他完全可以不提此事，而直接以他很忙為理由去建議我找杰弗瑞�，F(xiàn)在看來，老老實實，不怕丟面子，不懂就是不懂，決不裝懂，這正是一個真正的科學家本色。杰弗瑞很熱情地接受了巴切勒的這個建議，他不僅是一位低雷諾數(shù)流體力學專家，而且是一位相當老練的計算數(shù)學專家。他幫我找來一本講Fortran計算機語言的書。當我學了這本書前幾章并準備開始做書上的一些練習題時，他提出了新建議。要我避開書上的練習題，直接從我自己的工作開始。巴切勒的龐大計算計劃，執(zhí)行起來當然要設(shè)計出一個龐大復(fù)雜的程序。杰弗瑞告訴我，不要一上來就企圖編制這個龐大的程序，而要把它分解開來，逐步分解成小的單元。先編制其中的一個比較小的子程序開始，以這簡單的子程序作為你的第一道練習題，然后再逐步逐步加大，增加更多的子程序。最后就可以組裝成符合工作需要的大程序了。這種單刀直入，越過做書上練習題階段，直接從工作開始的方法，很符合我們在國內(nèi)常講的“邊干邊學，在干中學”，很有道理，我欣然接受，比較快地進入工作階段。編制計算程序，對于我這樣一個初學者而言，難免會發(fā)生錯誤，開始時尋找錯誤還不算難，但隨著程序越編越大，越來越復(fù)雜。出現(xiàn)了錯誤就越來越難查找了。計算機很聽人話，程序中只要隨便在那里出了一個技術(shù)性錯誤，它就會按照這個錯誤的指令執(zhí)行下去，直到滿盤皆錯�？捎趾茈y找到錯在何處，真讓人著急。這時杰弗瑞又來告訴我，要冷靜，不要泛泛的查，對于這種復(fù)雜而又龐大的程序，出錯時，應(yīng)把最容易出錯的地方先抽出來打一下，這樣逐段逐段地打出來，就容易把錯誤之點找出并予以糾正。這方法果然很好，工作于是逐步地引向正軌，引向深入。80年代初期的劍橋還沒有進入微機時代。整個劍橋的計算工作，由設(shè)在計算機系的計算中心控制。該中心擁有巨型機，那是一個真正的計算中心。(點擊此處閱讀下一頁)
在各個系都設(shè)有相應(yīng)的終端。在我們的應(yīng)用數(shù)學和理論物理系里就設(shè)有好多個終端，安放在系里的一個大機房里。機房里又有三個房間，供全系師生使用。為了避開白天的擁擠，我們經(jīng)常在夜間工作，一直到深夜。有一次為了查出一個暗藏在很深地方的一個錯誤，竟然工作到凌晨3點。當最后終于把這個錯誤揪出來并予以改正后，那時的心情愉快非常。就這樣，在這個機房里工作了將近兩年。終于把計算任務(wù)完成。努力結(jié)出了碩果。我最后算出的數(shù)據(jù)終于通過了巴切勒各種漸近線的檢驗。80年代后期到90年代，它們又經(jīng)住了美國實驗科學家的實驗檢驗。當獲知自己在劍橋所付出的兩年努力算出的數(shù)據(jù)，經(jīng)受住了長時間各種各樣的檢驗，被證明是正確可靠，現(xiàn)在已成為一個經(jīng)典工作為大家經(jīng)常引用后，我感到無比欣慰。
4．3．3 揭開多分散沉降神秘面紗
經(jīng)歷了兩年時間，在巴切勒領(lǐng)導下，在劍橋由4個人組成的兩個小組通力合作終于揭開了多分散沉降神秘面紗，向世人展示出她復(fù)雜內(nèi)容的全貌。如果從1976年巴切勒第一次正式探討多分散沉降理論的工作算起，則經(jīng)歷了更長，共6年時間。本節(jié)將對這個復(fù)雜理論的全貌予以介紹。在介紹之前，有必要先把懸浮粒子大小比l與粒子密度和介質(zhì)密度差比g的更為精確的定義和特征給以解釋。
4．3．3．1 兩個十分重要的參數(shù)l和g
前面曾提到l是四周粒子和參考粒子的大小比。因為是稀釋體系，所以這里的四周粒子僅僅指一個離參考粒子最近的粒子。即j粒子。它的半徑是aj 密度是rj 。同樣，參考粒子即i粒子。它的半徑是ai， 密度是ri, 此時粒子大小比l就是aj比上ai。
很明顯參數(shù)l始終為正，最小值是0。此時，aj趨于0。（注意：不包括ai趨于無窮大，雖然此時l也趨于0，但那將超出低雷諾數(shù)流動的范圍，所以不能允許ai趨于無窮大）。
參數(shù)l最大值為無窮大，此時i粒子半徑是ai 趨于0（注意：同上理由，此處不包括aj趨于無窮大，雖然此時l也會趨于無窮大，但那同樣會超出低雷諾數(shù)流的范圍）。
前面還曾講到g是四周粒子密度和介質(zhì)密度r的差與參考粒子密度和介質(zhì)密度r之差的比。在稀釋體系條件下，g 就等于(rj－r)比上(rI－r)。與l不同，此處g的值可正可負。當（i, j）兩粒子間僅有一個是輕粒子，（或者rj
講清楚l，g兩參數(shù)的嚴格定義和它們的量值特點后，現(xiàn)在可進一步看清1972年巴切勒單分散沉降理論和1982年通過他領(lǐng)導下的4人集體所完成的多分散沉降理論兩者之間的巨大差異和兩者的聯(lián)系。對于1972年單分散體系而言，它僅弄清楚了在（l ，g）平面上一個點（l＝1，g＝1）的沉降系數(shù)Sij。而現(xiàn)在，在多分散條件下，它是弄清楚了（l ，g）平面中的半無界平面（（0£l£¥ ，－¥£g£＋¥），它由無窮多個（l ，g）點組成）上沉降系數(shù)Sij的若干個曲面。巴切勒在這個半無界面上選了90 個點，來分別描述高皮克列特數(shù)和低皮克列特數(shù)條件下的沉降系數(shù)Sij。顯然這時的Sij就是兩個無窮多的Sij所構(gòu)成的兩個曲面。（這兩個Sij曲面現(xiàn)在由兩組90個代表點所確定），顯然，多分散沉降比單分散沉降復(fù)雜得多。以下我們將分別介紹從這兩個曲面看到的多分散沉降的一些特征。
4．3．3．2 高皮克列特數(shù)下的多分散沉降系數(shù)Sij特征
用l坐標軸上的l®0，l＝1/4, l＝1/2, l＝1, l＝2, l＝4 的6個截面和高皮克列特數(shù)下的Sij的曲面相交,就可以得到6個Sij(g)的曲線。這6條Sij(g)曲線表示出以下4個特征。
�。�1）除去l®0，l＝1所確定下來的兩條Sij(g)的曲線和g成線性關(guān)系外，其他的Sij(g)與g均成非線性關(guān)系。這是由于當l®0，和l＝1時，粒子統(tǒng)計對分布函數(shù)pij 和g無關(guān)，而 其他條件下，粒子統(tǒng)計對分布函數(shù)pij都和g有關(guān)。
（2）雖然一般條件下Sij(g)與g的關(guān)系非常復(fù)雜，但當g®0時，大家都趨于同一個極限值Sij＝－2.5，在這種情況下，當l®0時，Sij嚴格地為－2.5，當l不為0時，Sij與－2.5有區(qū)別，但區(qū)別不大。這個結(jié)論和愛因斯坦在20世紀初得到的懸浮體的有效粘性系數(shù)理論一致。
因為，當g＝0時，j 粒子為中性粒子，在重力的作用下，不會和介質(zhì)產(chǎn)生相對運動，它和i粒子之間就不會有流體動力相互作用。此外，當l®0時， j粒子又不會對i粒子作用力產(chǎn)生反作用力。于是此時j 粒子的影響就僅僅表現(xiàn)為增加了懸浮體的動能耗散率，因而作為一個均質(zhì)體系，它的有效粘性系數(shù)就應(yīng)增加。愛因斯坦的懸浮體有效粘性系數(shù)理論已指明粘性系數(shù)的增加量和粒子體積濃度j成正比，比例系數(shù)是＋2.5。因此，在這樣的均質(zhì)體系中沉降的i粒子，它的沉降速度應(yīng)減少，減少的量就應(yīng)是2.5j，這和我們現(xiàn)在得到的 Sij＝－2.5一致。另外，當l>0時，j粒子對i粒子的作用力應(yīng)該會產(chǎn)生反射作用。因此，它和l＝0時的Sij＝－2.5有區(qū)別，但我們的計算表明，反射作用引起的效應(yīng)不大，因此沉降系數(shù)Sij的值就與－2.5相近。
�。�3）從6條Sij曲線中顯示出的第三個特征十分有趣。就是在多分散條件下，Sij有可能為正。這意味著即使是在有界空間中的平均沉降速度，也不總是阻滯沉降，比孤粒子斯托克斯沉降速度為小。恰恰相反，在g<0的條件下,Sij就有可能大于0,平均沉降速度就有可能比斯托克斯孤粒子的為大。就好像和無界空間中的沉降一樣,是增速沉降。但兩者原因不同,在無界空間中粒子云沉降增速是由于那里沒有反向補償流,而在這里有界空間,恰恰是因為,有反向補償流存在。
在g<0的條件下，i粒子和j粒子中必有一個是輕粒子，一個是重粒子，在重力的作用下它們運動方向相反，一個向上，一個向下，兩者都會引起反向補償流，所謂反向，就是和本身運動方向相反。它當然就應(yīng)和另外一個粒子運動方向相同，起增速作用了。這是一個很有意思的結(jié)果。目前的實驗工作都在g>0條件下進行 ，所以還沒有人測到這種增速沉降的現(xiàn)象。但我們相信，一旦實驗工作能夠克服g<0條件下測量的困難，就一定可測到Sij>0的情況。這種情況在單分散沉降中則不可能發(fā)生，因為在那里g＝1，它是正的 ，不可能有增速沉降發(fā)生。
（4）巴切勒1972年單分散硬球沉降理論，所算得的沉降系數(shù)Sij是－6.55，比一般非硬球單分散沉降實測沉降系數(shù)值為小。在1982年多分散硬球沉降理論所算得的 沉降系數(shù)Sij出現(xiàn)了更小的情況，例如在l＝2，g＝2.25的情況下，Sij可以小到接近－14的量值，比1972年的單分散理論值還要小2倍。這是因為l很大，g也很大時，反向補償流可以遠大于單分散的情況。
4．3．3．3 低皮克列特數(shù)下的多分散沉降系數(shù)Sij特征
�。�1）由于低皮克列特數(shù)條件下，弱重力對平衡態(tài)的分布僅僅起微擾作用，所以，對分布pij和沉降系數(shù)Sij都應(yīng)該與g成線性分布。情況就比高皮克列特數(shù)條件下簡單得多，只用g的一個線性關(guān)系計算公式就可解決任何l下的問題，只不過這里線性計算公式中的斜率與截距都是l的 函數(shù)。我們已通過計算，在l從1/8到8之間選9個點，把斜率和截距與l關(guān)系的變化曲線給出，于是利用這兩個曲線，可以把l在1/8到8之間中全部g的變化范圍內(nèi)之沉降系數(shù)算得。
�。�2）由于在l®0，和l®∞時，已經(jīng)證明此時的對分布pij應(yīng)趨于1的極限，而與g無關(guān)，也與皮克列特數(shù)大小無關(guān)。因此存在著兩個l®0，和l®∞時的沉降系數(shù)Sij與g的線性漸近線，這兩個漸近線是普適的對任何皮克列特數(shù)均適用。因此，可以得到一個線性的經(jīng)驗公式來計算低皮克列特數(shù)條件下的全部沉降系數(shù)Sij。這個經(jīng)驗公式，有足夠的精度適用于（l，g）半無界平面上所有點。（0≦l≦∞，－∞≦g≦＋∞）。
�。�3）從上面的經(jīng)驗公式馬上可以看到，在低皮克列特數(shù)范圍，當g為負值時，也存在一個增速區(qū)域，在那里所有的沉降系數(shù)Sij不再為負，而取正值，原來的阻滯沉降轉(zhuǎn)化為增速沉降，而這又是單分散沉降所不可能。在單分散沉降中，多粒子作用下的平均沉降永遠比斯托克斯孤粒子沉降速度為小，阻滯沉降是唯一狀態(tài)。
4．3．3．4 高和低皮克列特數(shù)下的沉降系數(shù)Sij之間的比較
從前兩節(jié)的特征可以看出，高低兩種皮克列特數(shù)下沉降系數(shù)Sij有許多不同�，F(xiàn)在要進一步比較這兩種條件下Sij的量值大小。Sij受l和g兩個參數(shù)的影響。這里我們?nèi)＝1，只對不同l下的Sij進行比較。從中發(fā)現(xiàn)不管此時l取何值，高皮克列特數(shù)下的沉降系數(shù)Sij永遠比低皮克列特數(shù)下的Sij為大。把兩種情況下的對分布函數(shù)pij和無量綱的兩粒子中心距離s的關(guān)系點出圖來，則可以看到高皮克列特數(shù)條件下的對分布pij。在碰撞面上（s=2）是一奇點，也就是說，當重力對流起支配作用時，它有一種堆積效應(yīng)，可以把j粒子從無窮遠處輸送到i粒子的鄰域，在i粒子的鄰域堆積起來。此時j粒子在重力的作用下下沉會拖帶其鄰域的介質(zhì)一起下沉，因而對在其鄰域的i粒子處產(chǎn)生了一個下沉的背景流場。由此自然會增加i粒子的沉降速度。這種作用就是j粒子對i粒子直接的局地的流體動力相互作用。這種局地的相互作用和上面多次提到的j粒子的總體的流體動力相互作用完全相反，在那里它的具體表現(xiàn)形式是反向補償流，由此自然會減少i粒子的沉降速度。而對于低皮克列特數(shù)下的對分布pij，顯然就是均勻分布其歸一化值恒為1，遠遠小于高皮克列特數(shù)下碰撞面上的奇點值。顯然，當布朗擴散起支配作用時，它就可光滑掉曾在高皮克列特數(shù)時存在過的那個奇點，把j粒子從i粒子鄰域推向無窮遠處，因而大大降低了j粒子對i粒子的直接的局地的流體動力相互作用，降低了i粒子的沉降速度，它的沉降系數(shù)Sij自然應(yīng)該比高皮克列特數(shù)下的小。于是從高低兩種皮克列特數(shù)下沉降系數(shù)量值的比較，我們看到了與總體相互作用的反向補償流完全相反的，局地的直接的流體動力相互作用。這種作用是正的增速作用。
4．3．3．5 對分布pij和沉降系數(shù)Sij極限不唯一
描述粒子對統(tǒng)計對分布方程的參數(shù)一共有三個，即l，g和Dij (0)。其中第三個參數(shù)是兩粒子相距無窮遠時相對布朗擴散系數(shù)。這三個參數(shù)的極限值分別是1，1，0。
在處理完單分散與多分散，高皮克列特數(shù)與低皮克列特數(shù)沉降以后，我們還發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，對這個多極值的問題，對分布函數(shù)pi的解并不唯一。相應(yīng)的沉降系數(shù)Sij也不唯一，一切取決于這三個參數(shù)趨于它們的各自極限值的快慢。如果l→1，g→1，在先，而 布朗擴散系數(shù)Dij (0)趨于0在后，這就是1972年巴切勒自己處理過的單分散懸浮體，對分布為均勻分布歸一化后的數(shù)值恒為1，此時它的沉降系數(shù)Sij最小，為－6.55。反過來，如果Dij (0) →0在先，就是我們1982年得到的多分散高皮克列特數(shù)下的懸浮體，它的對分布pij在s=2的碰撞面上有一個奇點，重力對流可把j粒子從無窮遠處堆積到i粒子鄰域，沉降系數(shù)Sij也就比單分散為大。其中又分兩種情況，當g→1在先，l→1在后時，對分布pij趨于無窮速度慢一些，沉降系數(shù)Sij較前小些，但仍比單分散為大 量值為－5.12。反之，當l→1在先，而g→1在后時，對分布pij趨于無窮的速度快一些，沉降系數(shù)Sij最大，是－2.65。
這個新發(fā)現(xiàn)對單分散沉降實驗工作提出了相當苛刻的要求。(點擊此處閱讀下一頁)
因為粒子的皮克列特數(shù)大小和它的半徑的4次方成正比，非常敏感�？梢宰C明對水溶膠系統(tǒng)而言，若單分散粒子的半徑，在制備時存在10％的誤差，則半徑分別為1，2，3微米時，各自的皮克列特數(shù)已是1.6，25.6和129.6。
顯然，這不但不是單分散的0皮克列特數(shù)，而實際上是多分散的高皮克列特數(shù)，自然對這種懸浮體，所測出的沉降系數(shù)Sij必然會比巴切勒1972年理論值－6.55為大。因此對單分散實驗系統(tǒng)中粒子半徑制備的誤差應(yīng)要求更高，應(yīng)該使之達到千分之一，甚至萬分之一才可以算是真正的單分散系統(tǒng)，否則測出的數(shù)據(jù)就不再能代表單分散體系。
4．3．4 檢驗和影響
4．3．4．1 來自自己人的檢驗
沒有想到第一個來檢驗我們這個多分散沉降理論的竟然是自己人，是巴切勒的懸浮體力學小組的辛奇（Hinch） 和萊利森（Raillison），他們自己的課題并不是沉降，他們之所以要檢驗我們沉降的理論正確與否，是因為他們的研究要用到我們這個剛完成的沉降理論中所提供的數(shù)據(jù)。他們并不因為巴切勒是個久經(jīng)考驗的國際公認的大權(quán)威，就放棄自己的獨立思考。他們是用同樣的“西風凋碧樹”精神來對待自己的頂頭上司巴切勒的成果。只有經(jīng)過自己檢驗證明是正確的，他們才采用。他們采用另一種方法重新推導了多分散沉降的理論，果然讓他們發(fā)現(xiàn)了問題，這問題不是出在我的計算工作，也不是出在杰弗瑞所提供的遷移率數(shù)據(jù)，令人十分遺憾地是，這問題竟然出在巴切勒自己身上。原來巴切勒在推導低皮克列特數(shù)沉降系數(shù)計算公式的過程中，有一項的符號弄反了，導致結(jié)果全錯。當然，這是個技術(shù)性的錯誤，不是概念性的錯誤，糾正它并不困難。他們把這個結(jié)論顯示給巴切勒看，巴切勒看后承認了自己的錯誤，并在第二年，1983年在同樣是由他自己主編的《JFM》上發(fā)表了一篇糾正錯誤的短文，承認自己在1982年在《JFM》上發(fā)表的多分散沉降理論中，關(guān)于低皮克列特數(shù)沉降系數(shù)的計算公式有錯，并在該文中給出了糾正錯誤以后的新結(jié)果。這個教訓是深刻的，它說明不管是多大的權(quán)威，也不管對自己的工作多么的小心謹慎，也難免會犯錯誤。出了錯誤應(yīng)該怎么辦，這里巴切勒也提供了一個范例，那就是及時地公開地承認錯誤，在什么范圍內(nèi)出的錯誤，就在什么范圍內(nèi)糾正，這仍不失為一個大科學家的本色，特別值得我們學習。
4．3．4．2 戴維斯和�？死镂炙沟木C合述評
1985年戴維斯和�？死镂炙乖诿绹摹读黧w力學年鑒》上發(fā)表了一個沉降課題的綜合述評。述評總結(jié)了自1912年斯莫魯霍夫斯基工作以來，關(guān)于多粒子相互作用下懸浮粒子沉降的研究工作。對于多分散懸浮粒子的沉降，他們指出這工作起自1965年史密斯（Smith）的研究。自那以后，特別是在70年代又有了一系列的工作。不過，戴維斯和�？死镂炙怪赋�，那些工作都是沿用晶格法或殼層法的路線進行，直到1982年巴切勒和我的工作發(fā)表，才第一次有了多分散沉降的統(tǒng)計理論的嚴格解。對于單分散沉降，該述評講述了巴切勒1972年理論的成功同時，也指出，仍然有一些數(shù)據(jù)表明，阻滯沉降量可與粒子體積濃度j的1/3次方成正比,說明在這些情況下,有可能晶格法和殼層法還是可用的理論,其原因他們認為這可能是由于這類實驗所用的粒子比較大,布朗運動十分弱,因而統(tǒng)計理論無法適用。對于這問題本章最后一節(jié)還要加以討論。
4．3．4．3 高皮克列特數(shù)下沉降的實驗研究
由于巴切勒和我1982年多分散沉降理論顯示出和1972年單分散沉降的巨大差異，因而引起實驗科學家的濃厚興趣。終于伯德塞爾（Birdsell）和戴維斯在1988年突破了多分散沉降實驗的困難取得了這方面的第一批實驗數(shù)據(jù)。實驗在高皮克列特數(shù)條件下進行，包括兩組數(shù)據(jù)，第一組由丙烯酸和玻璃兩種粒子組成。粒子很大，前者直徑為135微米，后者直徑為136微米。這可保證有足夠高的皮克列特數(shù)，達到了107到109，但又使這兩種粒子懸浮在一種混合液體中（由49％的UCON-280 X和51%的蒙桑托（Monsanto）HB40液體混合而成）這種混合液體的粘性系數(shù)十分大，是空氣的480倍，所以又可保證這些大粒子沉降時的雷諾數(shù)十分小。兩種粒子的大小比l＝0.99，接近于1。而丙烯酸的密度非常小僅為1.185克/厘米3。與混合溶液的密度十分接近。后者密度為1.015 克/厘米3。玻璃的密度為2.49 克/厘米3,比混合溶液大2.5倍.因此它的g很小,為0.11。接近中性粒子，第二組實驗系統(tǒng)則均為玻璃粒子構(gòu)成，因此g＝1。兩粒子大小不同，小粒子直徑為136微米，大粒子為261微米，l＝0.52,雖然大粒子直徑到了261微米，但介質(zhì)仍然使用同一種粘性系數(shù)十分大的溶液,所以雷諾數(shù)仍然十分小,仍然在斯托克斯 沉降公式適用范圍。測量表明，在實驗誤差范圍之內(nèi)，它們與巴切勒和我1982年理論預(yù)測一致。理論第一次得到了實驗證實。
4．3．4．4 第一次載在國際膠體科學的發(fā)展史上
1989年，也就是伯德塞爾和戴維斯發(fā)表了他們第一批高皮克列特數(shù)下多分散沉降實驗后的第二年，在美國普林斯頓大學工作的三位著名膠體科學家羅塞爾,薩維里（Saville）和肖瓦爾特發(fā)表了他們的專著《膠體分散系統(tǒng)》。膠體科學的研究產(chǎn)生于幾個世紀以前對懸浮于膠體中微小粒子各種性質(zhì)的研究，二次世界大戰(zhàn)后，由于工業(yè)發(fā)展的需要，特別是由于化工的發(fā)展，石油工業(yè)的發(fā)展，新燃料研制的發(fā)展，環(huán)境保護工作中的污染控制研究的發(fā)展，以及生物技術(shù)的發(fā)展，膠體科學就得到了很大的推動力。物理學，統(tǒng)計力學，特別是流體力學等學科相繼滲透到膠體科學中來，使這門科學發(fā)生了很大的變化。
對許多現(xiàn)象的理解更定量化了，更理論化了。羅塞爾(Russel)等人的這本書就是上述發(fā)展的一個出色的總結(jié)。它既是一本很好的國際膠體科學發(fā)展史，又是一本很好的研究生教材。各章后面都附有相應(yīng)的習題。從出版以后到現(xiàn)在，十幾年來這本書已經(jīng)成為這一領(lǐng)域中影響很大的著作。在這本專著中，他們辟有一章專講懸浮粒子的沉降，其中又有一節(jié)專門講多分散懸浮粒子的沉降，與1985年戴維斯和�？死镂炙沟木C合述評不同，羅塞爾等人把史密斯自1965年開始的，用晶格法殼層法研究多分散沉降的工作，置于不顧，他們在這些章節(jié)中，把力量完全集中在講述1982年巴切勒和我發(fā)表的多分散沉降的統(tǒng)計理論，并且重新分析了頭一年伯德塞爾和戴維斯發(fā)表的高皮克列特數(shù)下沉降的實驗數(shù)據(jù)。由于伯德塞爾的實驗測量的是速度，而不是沉降系數(shù)，羅塞爾等人經(jīng)過重新計算，得到了相應(yīng)的兩個沉降系數(shù)，一個是丙烯酸粒子和玻璃粒子（l＝0.99，g＝0.11），一個是兩種大小不同的玻璃粒子（l＝0.52，g＝ 1），把這兩個測量出的數(shù)據(jù)換算成沉降系數(shù)點在巴切勒和我1982年發(fā)表的高皮克列特數(shù)下的沉降系數(shù)圖上，從而再次證明，在實驗誤差范圍內(nèi)與我們理論預(yù)測一致。
4．3．4．5 低皮克列特數(shù)下沉降的實驗研究
1992年同樣由兩位美國學者埃爾納法和塞里姆完成了第一批低皮克列特數(shù)下多分散沉降的實驗研究，實驗中的粒子比1988年伯德塞爾和戴維斯高皮克列特數(shù)下的粒子小很多，是亞微米量級的，這可保證實驗在低皮克列特數(shù)條件下進行，埃爾納法和塞里姆的懸浮系統(tǒng)由不帶電荷的，覆蓋了一層薄膜以屏蔽掉范德瓦爾斯分子引力勢的二氧化硅粒子和環(huán)已烷液體所組成，粒子半徑分別是0.242±0.012微米, 0.130±0.007微米， 0.065±0.0045 微米。粒子間的成分仍然有不同， 所以它們的密度分別是2.061克/厘米3, 1.924克/厘米3 ，1.780克/厘米3。環(huán)已烷液體的密度則是0.775 克/厘米3。由此組成了三種雙分散體系，由三種不同的（l，g）組合而成，實驗仍然用光學系統(tǒng)測量界面的沉降速度，以此來確定粒子的平均沉降速度。埃爾納法和塞里姆把他們的測量和巴切勒與我的低皮克列特數(shù)下多分散沉降理論預(yù)測進行了比較，從而又發(fā)現(xiàn)它們之間一致。
4．3．4．6 再一次登載在國際膠體科學發(fā)展史上
1996年歐洲著名膠體科學家東特（Dhont）發(fā)表了他的專著《膠體動力學導論》，當東特發(fā)表這本著作時，他是荷蘭烏特賴特（Utrecht）大學物理和膠體化學范特霍夫（van’t Hoff）實驗室的教授。但現(xiàn)在已被德國請去，正在德國發(fā)展。這是繼1989年美國的普林斯頓大學羅塞爾等人的膠體著作之后，又一本對膠體科學的發(fā)展，特別是二次世界大戰(zhàn)以來的發(fā)展的出色總結(jié)。與羅塞爾等人的著作不同，羅塞爾等人側(cè)重從物理的角度對膠體科學進行了總結(jié)，而東特這本書，則側(cè)重從動力學的角度進行總結(jié)。這仍然既是一本國際膠體動力學發(fā)展史，也是一本很好的研究生教材，各章后面都附有相應(yīng)的習題。東特在他的著作中，也辟有一章專門講述沉降問題。在講到多分散沉降過程時，東特也和羅塞爾等人一樣，把自1965年史密斯的工作開始直至1982年 巴切勒和我的工作以前，所有用晶格法和殼層法研究多分散沉降的工作，置之于不顧，而只講巴切勒和我的1982年統(tǒng)計理論工作。表明我們的理論在國際上已為同行們所接受。至于單分散沉降問題，東特除了講巴切勒1972年的工作外，還提到了1942年伯杰斯的工作，1964年皮恩與菲克斯曼的工作，以及后來奧布萊恩（O’Brien）1979年的工作和辛奇1977年的工作。這很自然特別是伯杰斯以及皮恩與菲克斯曼的工作，他們是用統(tǒng)計理論解決單分散沉降的先驅(qū)，巴切勒1972年理論，是在他們工作的基礎(chǔ)上進一步的發(fā)展。顯然，先驅(qū)者們的工作不應(yīng)該被忘記。
4．3．4．7 強大的生命力
巴切勒和我的這個多分散沉降統(tǒng)計理論，從一開始就顯示出它的魅力，引起國際同行的濃厚興趣。在它正式發(fā)表前就已先后在波蘭1981年國際流體力學會議上和維也納歐洲力學學會第144次會議上報告，并受到蘇黎世理工大學流體力學研究所的邀請，1982年專程到他們那里講述這個理論。在這一工作正式發(fā)表之后，又經(jīng)歷了上述國際同行從不同方面對這一理論進行的檢驗，而最終確立了它在相關(guān)國際領(lǐng)域中的地位，發(fā)揮著廣泛而深遠的影響。直到現(xiàn)在，距離1982年該工作發(fā)表起，已經(jīng)過去了二十多年，這工作不但沒有被人忘記，反而越來越顯示出它的光輝。現(xiàn)在每年從國際科學文獻索引《SCI》系統(tǒng)中，總會檢索出好多篇國際同行引用我們1982年沉降理論的文章，所涉及的學科范圍很廣，有發(fā)表在物理，化學，流體力學，膠體科學等基礎(chǔ)學科領(lǐng)域的學術(shù)刊物上，也有發(fā)表在應(yīng)用研究和各種各樣的工業(yè)技術(shù)上的學術(shù)刊物上，展現(xiàn)出它的強大的生命力。成為我那“閃光的8個創(chuàng)新點”中最為光芒四射中的一個。當然這個創(chuàng)新點的主要創(chuàng)造人是巴切勒，我只不過是他的一個助手。然而，能夠成為他的一個助手，幫他建立起既在基礎(chǔ)科學領(lǐng)域又在工程技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域都有十分重要意義的，這樣一個重大理論，我感到無比榮幸和自豪。證明我當年在劍橋的選擇完全正確。
4．3．5 粒子間相互作用勢的影響
說到巴切勒1972年單分散沉降理論以及巴切勒和我1982年多分散沉降理論的成功時，也應(yīng)該承認在應(yīng)用上，它們離實際尚遠。首先，這兩個理論都是探討沒有相互作用勢的硬球粒子，但實際上不管實驗室內(nèi)，還是工程實際，大多懸浮粒子都具勢，只有給它們穿上一層“衣服”，像1992年埃爾納法和塞里姆那樣，給他們的二氧化硅粒子覆蓋上一層薄膜，屏蔽掉分子引力勢，并設(shè)法去除掉電荷，才變成硬粒子。否則，人們就必須考慮粒子間相互作用勢所帶來的效應(yīng)。事實上這效應(yīng)十分重要，它是懸浮粒子系統(tǒng)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，從而使沉降從一般的阻滯沉降轉(zhuǎn)化到增速沉降的關(guān)鍵，自然有加以詳細研究的必要。
最早研究粒子間相互作用勢對沉降的影響，還是巴切勒自己。1982年他在和我計算多分散硬粒子沉降的同時，也討論了具勢的單分散粒子沉降問題。他建議一種3段模型來描述薄雙電荷層庫侖靜電斥力勢和范德瓦爾斯分子引力勢同時存在時的相互作用勢，當無量綱粒子間隙小于雙電荷層厚度x0時，就假定在這個區(qū)間里，粒子間的相互作用勢為一無窮大斥力勢所控制。當無量綱粒子間隙大于x0 ，另一方面卻小于0.2時，又假定相互作用勢為純范德瓦爾斯 分子引力勢所控制，此段內(nèi)斥力勢被假定為0。最后，當無量綱粒子間隙大于0.2時，再假定范德瓦爾斯分子引力勢也變?yōu)?。(點擊此處閱讀下一頁)
這相當于在第三章中講到的DLVO 理論中的主極小勢阱，已為無窮大勢壘所屏蔽掉，而DLVO 理論中的第二極小勢阱，就是現(xiàn)在在雙電荷層頂上，由無窮大勢壘和范德瓦爾斯分子引力勢相交點所形成。巴切勒正確地估計到一般具勢粒子單分散沉降系數(shù)實驗數(shù)據(jù)大于他1972年理論預(yù)測的－6.55，就是由于在薄雙電荷層頂上存在著由范德瓦爾斯分子引力勢形成的第二極小勢阱。在這里將會形成一批不那么緊密的束縛（i,j）粒子對，此時j粒子的局地的直接流體動力相互作用將會使i粒子沉降速度增加，從而使具勢單分散粒子沉降系數(shù)大于－6.55。他把這模型拿來和程（Cheng）和沙什曼（Schachman）1955的具勢粒子單分散沉降實驗數(shù)據(jù)相比較，這個實驗采用了聚苯乙烯粒子，半徑為0.13微米,懸浮在濃度為0.1摩爾的氯化鈉水溶液中,測得的沉降系數(shù)為-5.1,無量綱薄電荷層厚度為0.0077。此外，巴切勒還用這個3段勢模型和巴斯卡爾（Buscall）小組1982年的具勢粒子單分散沉降實驗來比較，該實驗系統(tǒng)也采用了聚苯乙烯粒子半徑為1.55微米,懸浮在濃度為0.001摩爾的氯化鈉水溶液中,測得的沉降系數(shù)為-5.4±0.1,無量綱雙電荷層厚度為0.0065，比較的結(jié)果定性地可以解釋具勢粒子單分散沉降實驗值與1972年單分散理論預(yù)測之間的偏差。但定量而言，相差還嫌太大。例如對1955 年 程 和沙什曼的實驗，無量綱雙電荷層厚度理論值是0.02,比實測值0.0077大三倍。對1982年巴斯卡爾小組的實驗，無量綱雙電荷層厚度的理論值為0.009也比實測值0.0065為大.其原因在于巴切勒1982年的3段模型在雙電荷層以外完全忽略了斥力勢的影響,這不對。實際上在雙電荷層以外,庫侖靜電斥力勢仍然存在,不計算它們的影響就勢必會使雙電荷層厚度的理論值偏大。
1989年羅塞爾等人在他們的著作《膠體分散系統(tǒng)》中,采用了巴克斯特(Baxter)在1968年提出的一種排斥吸附殼模型研究這種勢對單分散沉降的影響。巴克斯特排斥吸附殼模型假定薄雙電荷層庫侖靜電斥力勢和范德瓦爾斯分子引力勢,可集中在一個半徑為S0 的殼上。殼的內(nèi)側(cè)為一無窮大勢壘,殼的外側(cè)為一強度是1/t的吸附力,j粒子可被吸附于其上。
殼以外則假定沒有勢的作用。羅塞爾等人把這個排斥吸附殼的勢放到沉降積分中去,就得到沉降系數(shù)的一個簡單的代數(shù)計算公式,只要知道S0 和1/t兩個參數(shù),就可用該代數(shù)公式,很方便地算出相應(yīng)的沉降系數(shù)。
羅塞爾等人對程和沙什曼1955年實驗結(jié)果進行了計算,得到沉降系數(shù)的理論值是-5.0,與實測值-5.1十分接近。
但對巴斯卡爾小組1982年實驗結(jié)果進行了計算,得到沉降系數(shù)的理論值是-6.5,與實測值-5.4 相差較大。
羅塞爾等人的工作有兩個缺點,一是如何得到S0 和1/t兩參數(shù)值。當這兩個參數(shù)已經(jīng)得到后,計算沉降系數(shù)確很簡單。但實際上沒這么容易,問題在于為要得到S0 和1/t兩個參數(shù),仍需要知道引力勢和斥力勢的具體形式,而且仍然要把這個具體形式的勢放到兩個積分中去進行數(shù)值積分。.而究竟羅塞爾等人對引力勢和斥力勢取什么具體形式,這一關(guān)鍵問題, 他們又未說明。
該工作的第二個缺點是我在南開大學的博士生王浩在1998年發(fā)現(xiàn)的。王浩在他的博士學位論文中,檢查了他們的工作,發(fā)現(xiàn)他們對程和沙什曼1955年的實驗數(shù)據(jù)計算錯誤。按羅塞爾等人給的S0 和1/t和他們給的沉降系數(shù)計算公式,算得的理論值應(yīng)是-4.5,而不是他們的-5.0,較之實測值-5.1相差較大。王浩把他的計算展示給我,我核對以后確認了王浩的這一發(fā)現(xiàn)，并于1998年把他的這一發(fā)現(xiàn),連同他自己的新工作投送到《美國化學工程學會會刊》。經(jīng)過審稿人較長時間的審查,后來還包括該刊主編也參加進來審查,最后確定王浩的工作正確無誤,才予以發(fā)表�？磥硗鹾频倪@種不迷信權(quán)威,按照“西風凋碧樹”的第一境界來開展工作,是可以和本章前面提到的劍橋?qū)W者辛奇和萊利森不迷信巴切勒的精神相比美。
我交給王浩的博士學位論文工作,是研究粒子間相互作用勢對粒子沉降的影響。粒子間勢準備采用第三章講到的德加金(Derjaguin)得到的薄雙電荷層庫侖靜電斥力勢,和哈馬克得到的 分子引力勢按DLVO理論加起來即可。但不久,王浩就發(fā)現(xiàn)有問題。原來由哈馬克 按點分子假定計算出的 分子引力勢,在粒子間隙趨于0時,是無窮深的勢阱,由此會使沉降積分發(fā)散,系統(tǒng)無法穩(wěn)定。即使改進哈馬克點分子近似,使用有界大小的分子,這樣得到的主極小仍然太深,還會使沉降積分發(fā)散,系統(tǒng)仍無法穩(wěn)定。由此我們領(lǐng)會到當初巴切勒在雙電荷層頂確立一無窮勢壘以把主極小屏蔽掉的必要,也就同時體會到羅塞爾等人在排斥吸附殼內(nèi)側(cè)確立一無窮大的勢壘的必要。不過現(xiàn)在在什么地方安放這一無窮勢壘,則應(yīng)與他們有所不同,在這里針對我們用DLVO理論得到的粒子間總的相互作用勢情況,一個自然的選擇應(yīng)是把這一無窮勢壘安放在DLVO的勢壘上,它自然就把主極小屏蔽掉。于是我們得到了一個新的穩(wěn)定系統(tǒng)的具勢粒子間總的相互作用勢模型, 以此做為依據(jù)就可以研究它對單分散沉降的影響,也可以研究對多分散沉降的影響。首先和1955年程和沙什曼具勢單分散沉降實驗比較,現(xiàn)在沉降系數(shù)理論值是-5.1,與實測值一致,無量綱雙電荷層厚度之理論值是0.0076,也與實測值0,0077十分接近。對于1982年巴斯卡爾小組的具勢單分散沉降實驗,沉降系數(shù)的理論值是-5.0,實測值是-5.4±0.1相差不大。無量綱雙電荷層厚度,理論值是0.008,也與實測值0.0065相差不大。通過這兩個實驗的比較,證明王浩的這個新的穩(wěn)定系統(tǒng)薄雙電荷層粒子間總的相互作用勢,要比以往的工作改善很多,進一步的計算與分析證明,無論對具勢單分散,還是對具勢多分散,無論對具勢低皮克列特數(shù)多分散,還是對具勢高皮克列特數(shù)多分散,薄雙電荷層厚度的大小,都是影響沉降系數(shù)大小的一個關(guān)鍵因素。當薄雙電荷層厚度進一步變小時,它的無窮勢壘就進一步收縮, 分子引力勢范圍就會進一步擴大,第二極小勢阱深度就會進一步加深。被吸進第二極小的j粒子與i粒子形成束縛粒子對的數(shù)目就會進一步加多, j粒子的局地的直接的流體動力相互作用也就會進一步加大。因此, i粒子的沉降系數(shù)也就必然會進一步加大。當雙電荷層厚度變得足夠小時,無窮勢壘也就會收縮得足夠多,以致它不能再把主極小屏蔽掉,第二極小就與主極小合并,系統(tǒng)就會由穩(wěn)定轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定,阻滯沉降就會轉(zhuǎn)化為增速沉降,沉降速度會大大加快,粒子會迅速地從懸浮體沉淀分離出來。由此可見，粒子間相互作用勢對粒子沉降的影響是個很關(guān)鍵的因素。當然高皮克列特數(shù)與低皮克列特數(shù)情況有所不同,由于高皮克列特數(shù)下重力對流的堆積效應(yīng),已經(jīng)有相當多的j粒子堆積在i粒子的周圍,因此由雙電荷層厚度變薄引起的效應(yīng)就不如低皮克列特數(shù)情況那么突出,還應(yīng)該指出,穩(wěn)定系統(tǒng)的這個無窮大的勢壘問題,對于理論工作還是一個挑戰(zhàn),這個無窮勢壘現(xiàn)在是人為地加上去而不是理論自然地導出,如何從理論上嚴格地導出這個無窮勢壘來,還有一段路要走。
4．3．6非極限沉降
和20世紀初斯莫魯霍夫斯基建立的兩種極限碰并理論相似，巴切勒和我1982年多分散沉降理論實際上乃是兩種極限沉降理論,而和實際相距甚遠。這是1982年理論的第二個缺點。
因此,為使理論能解決更多的實際問題,有必要進一步研究非極限沉降理論。不久前我在南開大學的研究生劉新春，于瑞泉以及張連眾對高皮克列特數(shù)下弱布朗運動作用做了進一步探討。我們發(fā)現(xiàn)這是一個奇異擾動問題。由于完全忽略了弱布朗運動后對分布的解,在兩球間隙x=0 的碰撞面上是一個奇點,這就必然會使相應(yīng)的布朗擴散通量在兩球碰撞面上,也是一個奇點。于是，這和討論沉降時面對的是穩(wěn)定懸浮體之前提相矛盾，說明在兩球碰撞面上的鄰域,必然有一邊界層存在,在這個邊界層中,布朗運動不再能忽略,而不管皮克列特數(shù)是如何之大。這樣在邊界層的內(nèi)邊界上,就可確定一個布朗擴散通量為0的反射壁條件,由此求出布朗運動邊界層中的解后,就可研究弱布朗運動對重力極限沉降的影響。問題和第二章中談到的分子引力邊界層求解問題在數(shù)學上十分相似,使用和第二章相似的MLB多次變換方法,我們得到了布朗運動邊界層方程的解析解,這個解較第二章要復(fù)雜,它包含了一個不大常用的特殊函數(shù)，即合流超幾何函數(shù)。計算表明,布朗運動有十分強大的光滑能力。盡管是弱布朗運動,但只要加進一點點,原來對分布在x=0的碰撞面上的奇點就被光滑掉了。在碰撞面上的粒子被布朗擴散反射回來,離開了i粒子,降低了j粒子的局地的流體動力相互作用,也就降低了i粒子的沉降速度,沉降系數(shù)也就相應(yīng)地降低了。當然,當粒子大小比l小于1時,這個弱布朗作用并不明顯。但當 l>1,比如增加到8,弱布朗作用,會使沉降系數(shù)明顯降低。如果1988年 伯德塞爾和戴維斯的高皮克列特數(shù)沉降實驗,也測量了l=8的情況,他們就會在那時發(fā)現(xiàn)巴切勒和我1982年理論的缺點。
對于中皮克列特數(shù)，重力對流和布朗運動的效應(yīng)量級相當時的沉降是一個更復(fù)雜的問題，此時微擾方法不再能適用。對此，王浩在他的博士學位論文中創(chuàng)造了一種更為簡單的數(shù)值計算方案，計算了從低皮克列特數(shù)10－4開始，經(jīng)由中皮克列特數(shù)，一直到高皮克列特數(shù)105為止。在計算中，不僅研究了重力對流和布朗擴散耦合作用，還同時研究了范德瓦爾斯分子引力勢和薄雙電荷層庫侖靜電斥力勢的耦合作用。是一次較全面的分析，從中發(fā)現(xiàn)了一個有趣現(xiàn)象，在有引力勢和斥力勢并存，并具有第二極小勢阱條件下的沉降系數(shù)，不但不會隨皮克列特數(shù)之增加而增加，反而會降低。乍一看來，這和1982年巴切勒和我的硬球沉降理論有矛盾，前曾指出1982理論預(yù)測的是沉降系數(shù)隨皮克列特數(shù)之增加而增加。重力對流有把 j粒子堆積到i粒子鄰域的傾向，因而會使沉降系數(shù)增加。為什么王浩的具勢粒子會有相反的結(jié)果呢，仔細地審查王浩計算數(shù)據(jù)就可發(fā)現(xiàn)，這完全是由于具勢粒子和不具勢力的硬球不同而形成。原來在王浩所計算的例子中，有勢力時，第二極小的作用十分強，它在低皮克列特數(shù)條件下，不僅使沉降系數(shù)大于低皮克列特數(shù)下硬球沉降系數(shù)，而且也大于高皮克列特數(shù)下硬球沉降系數(shù)。在這種條件下，當皮克列特數(shù)增加時，另一個相似參數(shù)Qij數(shù)由于它和皮克列特數(shù)成正比關(guān)系就也會增加，Qij數(shù)是粒子的重力輸送項和粒子間勢力輸送項的比，Qij數(shù)的的增加，當然意味著粒子間勢力相對地變小，第二級小勢阱深度變小，j粒子被吸引到第二極小勢阱中來的數(shù)目變小，直接的局地的流體動力相互作用就會減弱，i粒子的沉降系數(shù)當然會變小。直到皮克列特數(shù)趨于無窮時，Qij數(shù)也必然會趨于無窮，這意味著粒子間勢力趨于0，第二極小勢阱消失,勢力作用已不復(fù)存在剩下的是純重力的堆積效應(yīng)引起的沉降系數(shù)，即硬球在高皮克列特數(shù)下的沉降系數(shù)。它是在具勢條件下高皮克列特數(shù)沉降系數(shù)的極限值，它雖然比具勢粒子低皮克列特數(shù)下的沉降系數(shù)為低，但仍比硬球在低皮克列特數(shù)下的沉降系數(shù)為高。于是在具勢的和不具勢的條件下，沉降系數(shù)隨皮克列特數(shù)相反的變化趨勢就可以理解了。這種現(xiàn)象，完全是由于粒子間相互作用勢引起的。王浩的計算把問題的復(fù)雜性揭示出來，是可喜的收獲。
4．4 小結(jié)
自從1972年巴切勒第一次單分散沉降的突破，后來又經(jīng)過1982年巴切勒和我多分散沉降的第二次突破，之后又有了一系列的后續(xù)工作，到現(xiàn)在我們對多粒子相互作用下的沉降，已經(jīng)有了一個相當完整的理解，這里有必要對這一十分復(fù)雜的現(xiàn)象，做一個簡要的小結(jié)。
多粒子間相互作用首先是流體動力相互作用，這個作用又可分為兩個方面。
1．總體的流體動力相互作用
�。�1）負效應(yīng)，（當g³0 時， i，j粒子均為重粒子 ，或均為輕粒子）
�。�2）正效應(yīng)，（當g<0時， i，j粒子一個是重粒子，一個是輕粒子）
2．局地的直接的流體動力相互作用
（1）正效應(yīng)， （g>0時），
（2）負效應(yīng)， （g£0時），
�。�3）隨重力增強而增強。
�。�4）隨布朗運動增強而降低，
�。�5）隨范德瓦爾斯分子引力勢增強而增強
（注：
此時引力勢效應(yīng)又隨重力增強而降低，隨布朗運動增強而增強）
�。�6）隨薄雙電荷層庫侖靜電斥力勢增強而降低。(點擊此處閱讀下一頁)
�。ㄗⅲ捍藭r斥力勢效應(yīng)又隨重力增強而增強，隨布朗運動增強而降低）
以上就是多粒子各種相互作用對粒子沉降產(chǎn)生的效應(yīng)的一個簡短總結(jié)。對比一百多年前斯托克斯的孤粒子沉降理論，現(xiàn)在人們對多粒子沉降的理解已是大踏步地向前推進了。
4．5 任重而道遠
上面的總結(jié)展示出理論工作已取的成功。但有待解決的問題仍然不少，形勢甚至更加嚴峻，任重而道遠。
首先，上述成功都是在稀釋懸浮體的框架下取得。至于更多的非稀釋懸浮體，以至稠密懸浮體，嚴格的統(tǒng)計理論目前還束手無策。在一這方面，實驗工作者則遠遠地走在前面。早在1954年實驗工作者理查森（Richardson） 和扎基（Zaki） 就根據(jù)他們的實驗數(shù)據(jù)給出了，粒子體積濃度j從0到1時，單分散粒子以斯托克斯孤粒子沉降速度歸一化的平均沉降速度之經(jīng)驗規(guī)律。這是一個簡潔的（1－j）的二項式，它的指數(shù)是－n。對此，嚴格的統(tǒng)計理論還無能為力，它在稀釋條件下所得到的阻滯沉降公式只能適用于粒子體積濃度很小的范圍。即j<0.02的區(qū)間。出了這個區(qū)間，隨著粒子體積濃度j的繼續(xù)增大，三粒子的相互作用，四粒子的相互作用，乃至任意N個粒子之間的相互作用（N>>2），就相繼產(chǎn)生重要影響。而三體問題，在一般物理學之中還是一個尚待解決的難題。趙凱華和羅蔚茵教授在他們的《新概念物理教程》中的《力學》卷，對此曾有過生動的說明。何況在懸浮粒子的三體問題之間，還存在著黏性流體介質(zhì)，還要解決三球的流體力學問題，因此更是難上加難。即使僥幸解決了，后面還有四體問題，乃至任意N體（N>>2）問題跟著�？磥磉@條道路無法走通。目前人們都是在用模型的方法，或數(shù)值模擬的方法來探討這難題。雖然到現(xiàn)在為止還沒有得到令人滿意的結(jié)果，在我們看來，在模型方法中，有一種把多體相互作用近似為若干個兩體相互作用之和，這種模型可能最有希望。因為用泰勒級數(shù)展開理查森和 扎基的二項式經(jīng)驗公式后，馬上就可得知，此二項式的指數(shù)n，就是在稀釋兩體條件下得到的沉降系數(shù)Sij。
也就是說，兩體的粒子對相互作用所導出的Sij 它可以通過這個二項式經(jīng)驗公式控制著任意N個（N>>2）粒子間的相互作用所產(chǎn)生的影響,好像粒子對的相互作用是任意多體相互作用的一個基本元素,是它的一個“細胞”。因此，沿著這個思路走下去的工作，有理由會取得成功。
統(tǒng)計理論目前遇到的第二個挑戰(zhàn)是阻滯沉降量和j的1/3次方成正比問題。本章第二節(jié)中曾講到,除了用統(tǒng)計理論探討多粒子相互作用的沉降外,還有晶格法和殼層法兩種方法。而且所得結(jié)果與統(tǒng)計理論不同,阻滯沉降量不是和j的1次方成正比,而是成1/3次方正比。兩者規(guī)律不同。自從巴切勒 1972與1982 巴切勒和我 的工作使統(tǒng)計理論獲得了成功以后,講1/3次方正比的工作越來越少。盡管如此，它并沒有消失。這個問題目前已有了新進展，它正是由實驗工作者做出的。1995年一個由塞斯-韋德希斯（Thies- Weedsis）,菲利謝（Philise）,納杰勒（Nagele）和克萊因（Klein） 等5人組成的研究集體，在美國的《膠體與界面科學雜志》上發(fā)表了一篇論文。他們的實驗再次證實了1/3方正比的存在，而且該實驗表明了出現(xiàn)1/3次方正比的條件,即：
當懸浮粒子的庫侖靜電斥力勢不是薄雙電荷層的而是非常厚的雙電荷層，使粒子間相互作用斥力勢變成是一種非常長的長程力，這時就會出現(xiàn)1/3次方正比的阻滯沉降量。人們對此的解釋是，當粒子間出現(xiàn)非常長的長程斥力時，此時系統(tǒng)中所有粒子間的距離會取最大值而大體相同。亦即會取平均距離的量值。在稀釋條件下，粒子的體積濃度j<<1。因此，粒子間平均距離就遠大于粒子半徑。要大家的距離都取這種十分長的平均距離，只有粒子間相互排斥力是一種非常長的長程力才能辦到�；瘜W家知道如何才能控制荷電粒子的雙電荷層厚度，那就是減少溶液中的鹽分，降低溶液中正負離子的濃度，就會使雙電荷層厚度增加，一直到把溶液完全去離子化，則庫侖靜電斥力勢就會成為一種非常長的長程力，1/3次方正比的阻滯沉降量就會出現(xiàn)。如果反轉(zhuǎn)這個過程,從完全去離子化開始,逐漸往溶液中加鹽,一直到薄雙電荷層出現(xiàn),則可以看到相反的變化。阻滯沉降量從體積濃度j的1/3次方正比,一直變回到1次方正比。,阻滯沉降量現(xiàn)在就不是只有1/3次方和1次方兩種變化規(guī)律,而是可以有從大于1/3,到小于1的所有可能的分數(shù)冪次的規(guī)律,也就是說有無窮多個阻滯沉降量隨粒子體積濃度j的變化規(guī)律。顯然,這對統(tǒng)計理論是又一個嚴峻的挑戰(zhàn)，距離解決問題還有一段長路要走。
迄今為止，一切理論的或?qū)嶒灥难芯繎腋×Ｗ映两倒ぷ�，對象都是穩(wěn)定懸浮體，其中不存在粒子的碰并過程。而實際上除了穩(wěn)定懸浮體以外，還存在著大量的不穩(wěn)定懸浮體，在其中存在著粒子的碰并過程。隨著這種過程的發(fā)展粒子的平均大小就會越來越大，平均沉降速度就會越來越大，這是一個加速沉降過程，粒子會從不穩(wěn)定懸浮體中迅速分離出來。穩(wěn)定懸浮體中粒子的平均沉降速度十分小。例如1微米大小的粒子在水中懸浮時的沉降速度數(shù)量級只有1微米/秒。
因此會長時間懸浮于其中而不會沉降分離出來，要想使之加速沉降分離出來，用化學家的辦法，就是前面一段話中講的逐步加鹽的例子。繼續(xù)加鹽，直到雙電荷層徹底崩潰，使主極小 分子引力深勢阱暴露出來，則系統(tǒng)就從穩(wěn)定轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定系統(tǒng)，碰并過程開始產(chǎn)生，穩(wěn)定沉降速度就會變?yōu)椴环�(wěn)定的加速沉降。人們就可以達到迅速分離粒子的目的。在自然界也有類似的例子。從事泥沙研究工作的朋友們知道懸浮在淡水河里的細泥沙 ，由于有雙電荷層斥力勢保護，會長時間懸浮在談水河中，一直到入海口，在那里含鹽量十分大的咸海水會使泥沙粒子的雙電荷層崩潰瓦解。因而會使之變?yōu)椴环�(wěn)定的懸浮系統(tǒng)，細泥沙就會大量地在入�？谔幊恋碛俜e出來。所以研究這種不穩(wěn)定懸浮體系粒子加速沉降過程，在某種意義上較之現(xiàn)有的研究穩(wěn)定懸浮體系中穩(wěn)定沉降過程更為重要。但這無論對理論工作還是實驗工作都是一個更加嚴峻的挑戰(zhàn)。
乍一看來，這問題不應(yīng)太難，前面第二章和第三章中，好像已解決了問題的一半，在那兩章中我們已求出了不穩(wěn)定系統(tǒng)的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)，找到了在不穩(wěn)定稀釋系統(tǒng)中，統(tǒng)計對分布的各種解。那么，在求取平均加速沉降積分中的概率加權(quán)函數(shù)就成已知。但問題不在這里，問題在于被加權(quán)的物理量，它不再是穩(wěn)定系統(tǒng)中，在粒子對相互作用下，參考粒子的穩(wěn)定沉降速度，而這就對低雷諾數(shù)流體力學提出了一個挑戰(zhàn)。因為從1851年斯托克斯的工作開始，一直到1984年杰弗瑞和大西善元的工作，都解的是粒子在以穩(wěn)定不變的速度運動時，所受到的來自流體介質(zhì)的阻力。現(xiàn)在， 在不穩(wěn)定系統(tǒng)中，參考粒子的沉降速度不再是穩(wěn)定不變，它會因碰并而使半徑不斷增大，沉降速度不斷加快，所以就要求流體力學解決粒子在以一個不斷改變的加速運動中，所受到的阻力問題，所以整個低雷諾數(shù)流體力學都應(yīng)重新來過，從孤粒子加速運動開始，一直到兩個粒子的加速運動，任務(wù)之艱巨可以想見。
寫到這里，想對年輕的朋友們再講幾句。正如我們前面在第一章中講過的那樣，現(xiàn)有的理論不管它已取得多么輝煌的成就，相對于未知世界而言，它仍然很渺小，未知世界相對于我們?nèi)祟惉F(xiàn)有的知識永遠是無邊無際的海洋。有志于科學研究的年輕朋友們，你們必定會英雄大有用武之地。做為一個過來人，衷心地期待著你們在認識未知世界，理解未知世界的征程中，取得更加輝煌的業(yè)績。
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