《創(chuàng)新話舊》第3章（2）

　　3．2弱重力和強(qiáng)布朗耦合碰并

　　3．2．1 一個(gè)奇異擾動(dòng)問題

　　對分布函數(shù)在皮克列特?cái)?shù)小于1時(shí)的一級(jí)近似解，即把弱重力完全忽略掉后，純布朗碰并率的計(jì)算公式，最早由斯莫魯霍夫斯基得到。但在1956年，前蘇聯(lián)學(xué)者德加金（Derjaguin）發(fā)現(xiàn)，考慮雙球流體動(dòng)力相互作用以后，兩粒子之相對布朗擴(kuò)散系數(shù)就不可能維持常數(shù)，它會(huì)隨距離之減少而不斷降低，直到兩粒子達(dá)到碰撞面，粒子間隙降低到0，此時(shí)縫隙間粘性流體膜的阻力就會(huì)按低雷諾數(shù)流體力學(xué)的規(guī)律急速升為無窮大，從而使兩粒子的相對布朗擴(kuò)散系數(shù)衰減到0。也就是說在碰撞面上的粒子布朗擴(kuò)散通量為0。

單純的布朗運(yùn)動(dòng)由于其能量有界，不足以克服趨于無窮的粘性流體膜阻力，因而不能靠自身的能量來實(shí)現(xiàn)布朗碰并。1967年德加金進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，為克服這個(gè)趨于無窮的阻力，實(shí)現(xiàn)布朗碰并，只有引入范德瓦爾斯分子引力勢才行。因?yàn)楹笳邥?huì)以更快的速度趨于無窮。于是德加金得到了新的 對分布一級(jí)近似解，并進(jìn)而得到新的布朗碰并率計(jì)算公式，它比斯莫魯霍夫斯基的多了一個(gè)Cj 因子，我們管它叫勢力訂正因子，分子引力勢越大，則Cj 越大，布朗碰并率越大。分子引力勢越小，則Cj 越小，布朗碰并率越小。若兩粒子為硬粒子，分子引力勢為0，則Cj 也為0，布朗碰并率也降為0。即沒有分子引力勢存在時(shí)，單純的布朗運(yùn)動(dòng)，不可能產(chǎn)生布朗碰并。

　　我對德加金1967年的對分布一級(jí)近似解做了分析，發(fā)現(xiàn)它的結(jié)構(gòu)雖然比較復(fù)雜，但在遠(yuǎn)場，卻仍以距離的-1次方速度，趨于它的極限值1。在此條件下，粒子的對流輸送項(xiàng)就以距離的-2次方速度趨于0。而布朗輸送項(xiàng)卻以-3次方更快的速度趨于0。于是前者對后者的比值就等于皮克列特?cái)?shù)和距離之積。這說明當(dāng)距離不大時(shí)，比值確小于1，因?yàn)槠た肆刑財(cái)?shù)遠(yuǎn)小于1 。但不管皮克列特?cái)?shù)是如何之小，只要它不是0，就會(huì)有一臨界距離存在，在這距離上，比值升為1，對流項(xiàng)和布朗項(xiàng)相等，臨界距離反比于皮克列特?cái)?shù)，超過這一臨界距離以后，比值就會(huì)大于1，粒子的對流輸送項(xiàng)反而大于布朗輸送項(xiàng)了。這和德加金之一級(jí)近似解的前提相矛盾。于是當(dāng)距離超過臨界距離時(shí)（外域），應(yīng)該另起爐灶，在外域建立起外域方程。通過以皮克列特?cái)?shù)收縮坐標(biāo)方法，使原來在對流輸送項(xiàng)中出現(xiàn)的微擾參數(shù)消失，從而在一級(jí)近似中，外域方程中的對流輸送項(xiàng)可以保持下來，可以正確地反映外域解的特點(diǎn)。因此本問題是一個(gè)奇異擾動(dòng)問題，應(yīng)用匹配漸進(jìn)展開法處理。原方程適用于內(nèi)域叫內(nèi)方程，得到的解叫內(nèi)展式。坐標(biāo)收縮后的方程叫外方程，適用于外域，得到的解叫外展式，使內(nèi)外兩展式相互匹配以補(bǔ)足內(nèi)外域之間所缺少的邊界條件，就得到了問題的完整解答。從而可以建立起弱重力與強(qiáng)布朗耦合碰并的統(tǒng)計(jì)理論。

　　3．2．2 王永光的貢獻(xiàn)

　　王永光是我到南開大學(xué)以后1985年收到的第一個(gè)研究生，他人很聰明，很用功，思想活躍，有很強(qiáng)的創(chuàng)新能力，同時(shí)數(shù)學(xué)天賦也很高。用匹配漸近展開法求解這內(nèi)外域兩套方程的任務(wù)就交給了他。開始我向他推薦了巴切勒在1979年傳質(zhì)問題中用過的方法，這方法更多地依靠物理上的直觀，并不是嚴(yán)格的匹配漸近展開法，然而它卻可較為容易地找到答案。但是很快我們發(fā)現(xiàn)這問題美國學(xué)者福格勒（Fogler）已經(jīng)在1984年做過，他得到這問題的兩項(xiàng)漸近展開式，而用巴切勒的物理直觀方法，也只能得到兩項(xiàng)漸近展式。這樣，福格勒無形之中向我們提出了挑戰(zhàn)，除非我們能夠得到比他更精確的三項(xiàng)或四項(xiàng)展式，否則這工作就只好放棄了。

在這危機(jī)面前，王永光顯示出他非比一般的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)天賦。他經(jīng)過了一段較長時(shí)間的艱苦努力，終于戰(zhàn)勝了福格勒的無形挑戰(zhàn)，得到這個(gè)問題的四項(xiàng)展式，比福格勒的精確得多，而且他還發(fā)現(xiàn)了福格勒論文中的一個(gè)錯(cuò)誤。原來兩粒子之間的范德瓦爾斯分子引力勢，大家都采用1937年的哈馬克（Hamaker ）公式，這公式前兩項(xiàng)比較簡單，基本上是距離的-2次方衰減，第三項(xiàng)卻比較復(fù)雜，是距離的二次多項(xiàng)式式分式，然后再取對數(shù)。福格勒沒有仔細(xì)分析這一項(xiàng)，而簡單地從前兩項(xiàng)推斷出范德瓦爾斯分子引力在遠(yuǎn)場按距離的-3次方衰減。王永光仔細(xì)分析第三項(xiàng)以后，發(fā)現(xiàn)它們不是0，而是可以把前兩項(xiàng)的-3次項(xiàng)消掉，剩下的是按距離的-7次方衰減。王永光的發(fā)現(xiàn)有其充分的物理根據(jù)，因?yàn)閺倪h(yuǎn)場看一個(gè)球時(shí)，這個(gè)球應(yīng)就是一點(diǎn)分子，其分子引力衰減規(guī)律就應(yīng)該和原來的分子引力衰減規(guī)律相同。王永光的分析還證明，福格勒的這一錯(cuò)誤并不會(huì)影響到他的兩項(xiàng)展式，但如果福格勒也求到四項(xiàng)展式的話，那他的第三項(xiàng)和第四項(xiàng)就必然都錯(cuò)。因?yàn)檫@時(shí)范德瓦爾斯分子引力的遠(yuǎn)場公式就要起作用了。王永光之所以能克服困難求到第四項(xiàng)，主要原因是他對范戴克的《流體力學(xué)中的微擾方法》一書學(xué)得很透徹，能夠掌握住匹配漸近展開法的精髓，對那方法所含有的一套相當(dāng)復(fù)雜的逐級(jí)逼近程序，已經(jīng)能達(dá)到運(yùn)用自如的程度。第二個(gè)原因是他發(fā)現(xiàn)了一篇�？死镂炙乖�1962年發(fā)表的低皮克列特?cái)?shù)下傳質(zhì)的論文，那論文也用奇異擾動(dòng)中的匹配漸近展開法求出了傳質(zhì)的四項(xiàng)展式。王永光發(fā)現(xiàn)�？死镂炙�1962年的工作里所包含的外域方程，在數(shù)學(xué)上與我們的碰并方程十分相似。因此可以借鑒他 1962年的方法和結(jié)果，于是他就能比較快地求得了第三項(xiàng)展式。雖然這第三項(xiàng)解的形式已相當(dāng)復(fù)雜了，再以此為基礎(chǔ)去求第四項(xiàng)似乎不大可能。因?yàn)檫@方法每前進(jìn)一步，方程的非齊次項(xiàng)就會(huì)像滾雪球一樣，越滾越大，求解難度也越來越高。其難度不是線性地增加，而是非線性地急速增加。所以乍一看時(shí)第四項(xiàng)似乎已不可能再求出其解析解。然而王永光所求出的第三項(xiàng)展式含有對數(shù)冪，從嚴(yán)格匹配漸近展開法我們知道當(dāng)出現(xiàn)對數(shù)冪時(shí)，說明這一項(xiàng)還沒有真正完成，只有求到下一項(xiàng)不含對數(shù)冪了，這才算得到完整的解答。王永光開始時(shí)表示為難，第四項(xiàng)所面對的方程實(shí)在太復(fù)雜了，他已無能為力。對此，我給他打氣，鼓勵(lì)他再接再厲，拿下這第四項(xiàng)，我堅(jiān)持要求他一定攻克這一難關(guān)，否則仍然會(huì)前功盡棄。他接受了我的鼓勵(lì)和對他的要求，又過了一段時(shí)間，他終于攻克這一個(gè)難關(guān)，取得了最后的勝利。福格勒的無形挑戰(zhàn)就這樣被克服。當(dāng)然他也付出了代價(jià)，開了很多夜車。當(dāng)他交給我他運(yùn)算的一疊草稿紙，以讓我審查時(shí)，我在那疊稿紙的每一頁上都聞到了很濃的香煙味道，這是一段相當(dāng)艱苦的戰(zhàn)斗啊，顯然他開了不少夜車。在完成他這篇學(xué)位論文過程中，王永光表現(xiàn)出非常突出的創(chuàng)造性，雖然他當(dāng)時(shí)還是一個(gè)碩士生，但實(shí)際上他這篇論文已達(dá)到博士論文水平，而且是一篇優(yōu)秀的博士論文。所以，我決定這篇論文的第一作者應(yīng)署上他的名字，而我應(yīng)退居第二位，并決定把這篇論文送往巴切勒創(chuàng)辦并主編的，世界第一流的流體力學(xué)刊物《JFM》（《流體力學(xué)雜志(J.Fluid Mech.) 》的縮寫）上去發(fā)表。

　　3．2．3 發(fā)表在巴切勒的《JFM》 上

　　巴切勒一生中有兩本書、兩個(gè)事業(yè)，兩個(gè)理論在世界上產(chǎn)生了很大影響。兩個(gè)理論就是前面第一章中已經(jīng)講過的單分散與多分散的沉降理論，后面第四章還要講到它們。兩本書就是一本《均勻各向同性湍流理論》，后面第七章中還要提到它。另一本就是《流體力學(xué)導(dǎo)論》我們在第一章中已經(jīng)講到。這兩本書分別確立了他在湍流研究和流體力學(xué)事業(yè)中的地位。兩個(gè)事業(yè)其一就是劍橋大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)和理論物理系，它的前身是劍橋著名的凱文迪什實(shí)驗(yàn)室中的理論組。50年代巴切勒成功地把它分離出來，組建成系，是這個(gè)系的創(chuàng)始人和系主任一直到他退休。另一事業(yè)就是這里將要介紹的刊物 《JFM》 。這刊物也是巴切勒在50年代創(chuàng)辦，并且任主編，一直到他退休。是巴切勒把這刊物從無到有一手辦到現(xiàn)在已是流體力學(xué)中世界第一流的刊物，在國際上享有崇高的聲譽(yù)。我在劍橋時(shí)，曾聽到一位來自中國科學(xué)院力學(xué)所的朋友講起的一個(gè)故事。是關(guān)于美國的一位著名流體力學(xué)家朗（ Long）的故事。這人是巴切勒的朋友，當(dāng)年在創(chuàng)辦《JFM》之初，曾得到朗的幫助。后來朗在流體力學(xué)上有一個(gè)創(chuàng)新理論成果，這個(gè)理論在國際上已經(jīng)有相當(dāng)大的影響，一些國際會(huì)議請朗到會(huì)就他這個(gè)理論向大會(huì)做特邀報(bào)告，但是朗還不甘心，他一定要把這個(gè)理論拿到巴切勒的《JFM》上發(fā)表才算數(shù)。沒想到《JFM》 的審稿人審出了這個(gè)理論中存在一些問題而沒有通過。朗向《JFM》投過幾次，都被《JFM》退了回來，因?yàn)槟切﹩栴}仍沒有解決。到最后，有人做成了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與朗 的理論預(yù)測一致。朗十分高興，就把這實(shí)驗(yàn)寫進(jìn)了他的論文以證明他的理論正確，沒想到巴切勒這次直接給朗去了電話，在電話中巴切勒告訴朗這一次稿件較前確有很大進(jìn)步，可以考慮在《JFM》上發(fā)表。不過 巴切勒告訴朗，要想在《JFM》上發(fā)表，稿件還得做修改，那就是要把稿件中的理論部分刪掉，因?yàn)樵摾碚撝写嬖诘膯栴}，在稿件中仍然沒有解決。這就把朗氣得要命，放下電話后，他大罵巴切勒不夠朋友。從這故事中可見《JFM》在國際流體力學(xué)界中影響之大，地位之高。要想在《JFM》發(fā)表一篇論文多么不易。

我感到巴切勒不是不夠朋友，從第一章的“第四境界”看，他對自己要求更為嚴(yán)格。無論對人還是對己，他都是一位鐵面無私的“判官” ，為了維護(hù)科學(xué)的純潔性我們需要這樣鐵面無私的“判官”。

　　由于王永光的工作已經(jīng)表現(xiàn)出相當(dāng)高的流體力學(xué)和數(shù)學(xué)水平。我決定把他的論文送交《JFM》去審查，看看有沒有達(dá)到《JFM》的高度，能不能在《JFM》上發(fā)表。果然很不容易，巴切勒先是不大相信，在范德瓦爾斯分子引力勢的遠(yuǎn)場表達(dá)式上福格勒會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)把證明寫給他看后，他又問會(huì)不會(huì)影響到已發(fā)表的福格勒兩項(xiàng)展式。當(dāng)我們證明這不會(huì)影響到他的兩項(xiàng)展式，但對更高的三階乃至四階展式肯定會(huì)有影響。巴切勒于是就把問題轉(zhuǎn)向了我們的論文本身。他審查得很仔細(xì)，提出了不少問題，以致我們的論文修改了三遍直到1990年才發(fā)表在《JFM》上。距離1988 年王永光結(jié)束他的學(xué)位論文則又過了兩年。然而這兩年的時(shí)間花得值，它使我們的工作又提高了不少。更重要的是，這是我們這些非流體力學(xué)出身的人在我們自己的國土上，第一次憑借自己的力量攀登上國際流體力學(xué)的《JFM》高峰。

想到這里心中確感十分高興。至于王永光本人，1988年畢業(yè)后則轉(zhuǎn)到中國科學(xué)院大氣物理所工作。兩年后，1990年�？死镂炙菇邮芰怂�攻讀博士學(xué)位申請，到美國發(fā)展去了。當(dāng)時(shí)�？死镂炙挂褟乃固垢４髮W(xué)化學(xué)工程系系主任職位上，轉(zhuǎn)到紐約任紐約的列維奇物理化學(xué)流體力學(xué)研究所所長。而王永光也就追隨他去了紐約。

　　3．2．4 檢驗(yàn)弗瑞德蘭德假設(shè)

　　我們從嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論出發(fā)所得到的四項(xiàng)展式，和1964年弗瑞德蘭德與斯維夫特的可加性假設(shè)有很大不同。從 弗瑞德蘭德的可加性假設(shè)出發(fā)只能得到碰并率的二項(xiàng)展式，不可能得到四項(xiàng)。更重要的是，就我們四項(xiàng)展式的前兩項(xiàng)和弗瑞德蘭德 兩項(xiàng)展式比較，它們之間仍有很大不同。第一項(xiàng)相同都是純布朗碰并率，第二項(xiàng)則是弱重力對純布朗碰并修正的主導(dǎo)項(xiàng)。這項(xiàng)都是正的，都和皮克列特?cái)?shù)的一次方成正比，然而比例系數(shù)卻完全相反。我們的系數(shù)是Cj, 即布朗碰并中的勢力訂正因子。因子Cj 越大，修正越大。而弗瑞德蘭德的第二項(xiàng)之系數(shù)卻和Cj 成反比，因子Cj 越大，修正越小。問題在于當(dāng)出現(xiàn)弱的重力對流以后，按照嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論奇異擾動(dòng)法分析，弱重力不能在全部區(qū)域中出現(xiàn)，特別是在內(nèi)域，由于皮克列特?cái)?shù)小于1，在內(nèi)域它仍應(yīng)被忽略，只是由于弱重力輸送項(xiàng)衰減得較之布朗輸送項(xiàng)要慢，所以當(dāng)過了臨界距離以后，弱重力對流輸送項(xiàng)才可以而且僅僅 可以在外域起作用。因此，它不可能像可加性假設(shè)所設(shè)想的那樣獨(dú)立地在內(nèi)域使粒子和參考粒子產(chǎn)生重力碰并，弱重力的作用僅僅在于外域，它會(huì)使球形的j粒子從無窮遠(yuǎn)處濃度不改變地輸送到臨界距離，從而加大了內(nèi)域j粒子的濃度梯度，在內(nèi)域則仍然是布朗擴(kuò)散輸送起作用，但此時(shí)它不再按無重力對流時(shí)那樣地輸送j粒子，而是按已被弱重力對流所加大了的濃度梯度來輸送，總的j粒子和i粒子碰并率之所以能增加，完全是由于布朗輸送本身的加強(qiáng)，而不是另外又增加了重力碰并。因此，這項(xiàng)修正必然會(huì)因布朗碰并的勢力訂正因子Cj之加強(qiáng)而增加，決不會(huì)與此相反。弗瑞德蘭德可加性假設(shè)在 此例中被證明沒有理論根據(jù)。

　　1977年加拿大著名的膠體科學(xué)家S.G.梅森(S.G.Mason)和他的合作者范德文對低皮克列特?cái)?shù)下，弱剪切流場和強(qiáng)布朗運(yùn)動(dòng)耦合碰并做了研究，他們同樣從嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論奇異擾動(dòng)法進(jìn)行分析，所得公式與弗瑞德蘭德 可加性假設(shè)甚至有規(guī)律上的不同，第二項(xiàng)弱剪切流場對布朗碰并修正的主導(dǎo)項(xiàng)和皮克列特?cái)?shù)的1/2 次方成正比，而不是像可加性假設(shè)那樣和皮克列特?cái)?shù)的1次方成正比。問題在于此時(shí)臨界距離和皮克列特?cái)?shù)的1/2 次方成反比，而不再和距離的1次方成反比。所以才和可加性假設(shè)有規(guī)律上的不同。梅森因而同時(shí)就糾正了他自己曾在1959年，較之弗瑞德蘭德早5年做出的可加性假設(shè)的錯(cuò)誤。

在他1977年的論文中他因此而聲明，可加性假設(shè)沒有理論根據(jù)。為要突破斯莫魯霍夫斯基兩種極限碰并的局限，建立起耦合碰并理論，只有從嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論出發(fā)，從求解完整的粒子對統(tǒng)計(jì)對分布方程入手。

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