1.16世紀(jì)前是常量數(shù)學(xué)，中學(xué)教授的除解析幾何外沒(méi)有變量，特點(diǎn)有二，一是研究對(duì)象是常 量，二是運(yùn)算次數(shù)是有限的。

　　2.17世紀(jì)，笛卡爾開(kāi)創(chuàng)代數(shù)方法，引進(jìn)坐標(biāo)，研究變量，研究運(yùn)動(dòng)，17世紀(jì)下半葉，微積 分為主的變量數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)，微積分占統(tǒng)治地位，并且解決了許多問(wèn)題，特別是天體力學(xué) 和光學(xué)方面的問(wèn)題。如觀察月球軌道，探照燈，望遠(yuǎn)鏡、慧星預(yù)測(cè)都是與之直接關(guān)連的。

　　18世紀(jì)很多學(xué)科蓬勃興起。

　　3.近代數(shù)學(xué)，從19世紀(jì)到二戰(zhàn)，隨著物理學(xué)的深入，熱光等看不見(jiàn)摸不著的東西為數(shù)學(xué)提出 了新的要求，而且微積分也需要嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。有三大特點(diǎn)：1 分析數(shù)學(xué)，實(shí)無(wú)限，潛無(wú) 限概念。自然數(shù)，實(shí)數(shù)作為實(shí)體引進(jìn)到數(shù)學(xué)。自然數(shù)集的個(gè)數(shù)等于偶數(shù)集元素個(gè)數(shù)，而偶數(shù) 集的元素是自然數(shù)集元素的部分，那么整體大于局部就不對(duì)了。

　　2 幾何：非歐幾何的發(fā)展 ，三角形三內(nèi)角和不等于180度 。

　　3 代數(shù)，與過(guò)去的解方程求根不同，提出了代數(shù)結(jié)構(gòu)。

同時(shí)這一時(shí)期出現(xiàn)大學(xué)，突破了沙龍，推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展。

　　4.現(xiàn)代數(shù)學(xué)：二戰(zhàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，主要表現(xiàn)在以下幾方面：

　　a計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的沖擊，算盤可看作是手的延長(zhǎng)，計(jì)算機(jī)是思維的延長(zhǎng)，利用計(jì)算機(jī)提出數(shù) 學(xué)問(wèn)題，檢驗(yàn)證明。

　　b 邊緣科學(xué)的發(fā)展 3 全方法滲透

　　二、分類

　　1 分析、幾體、代數(shù)是19世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大支柱

　　2 確定性數(shù)學(xué)和隨機(jī)性數(shù)學(xué)

　　3 本世紀(jì)30年代法國(guó)數(shù)學(xué)家提出結(jié)構(gòu)方法，代數(shù)、拓補(bǔ)和序結(jié)構(gòu)，這種分類是做出來(lái)的數(shù)學(xué) ，不可能包括全部數(shù)學(xué)，非結(jié)構(gòu)性數(shù)學(xué)研究可能性，是自在的數(shù)學(xué)。

　　三、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力：

　　1 實(shí)踐推動(dòng)數(shù)學(xué)

　　2 內(nèi)部矛盾推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，連續(xù)與離散。光的波粒二重性，利用直線認(rèn)識(shí)曲線周長(zhǎng)等。

　　3 追求美、追求完美推動(dòng)數(shù)學(xué)。希臘時(shí)代就提出了二次曲線，到17世紀(jì)才用上，因?yàn)橛辛送暾?的體系，并且在求根公式里加進(jìn)了虛數(shù)。

　　4 智力游戲的挑戰(zhàn)，如著名的一筆劃問(wèn)題。

5 推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次革命性行為。

1。無(wú)理數(shù)打破有理數(shù)統(tǒng)治世界的局面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)是有理數(shù)可描述一切，有人提 出正方形對(duì)角線是非有理數(shù)。

　　2 微積分的邏輯不清楚，牛頓的一個(gè)方式為s(t)=t*t

　　那么(s(t+△t-s(t)))/△t=2t+△t 其中△t為無(wú)窮小

　　可以忽略，可是如果 為0， 那么前面的被除數(shù)就是0， 這是無(wú)意義的，對(duì)于△t也引起了一場(chǎng)危機(jī)。

　　3 集合論 集合論的祖先康德，集合是把滿足一定條件性質(zhì)的對(duì)象放在一起，康德提出 了三個(gè)性質(zhì)，概括性，外延性，選擇性。羅素說(shuō)到，有一個(gè)集合，凡是包括了個(gè)以上元素的 集合是這集合的元素，那么這一集合有沒(méi)有屬于自己的元素呢，如果屬于，可以推出不屬于 ，如果不屬于，可以推出屬于這就是一個(gè)悖論。

右腳鞋是一個(gè)集合，右腳襪呢?因?yàn)橐m不分左右。

還有無(wú)窮個(gè)數(shù)的比較，全體實(shí)數(shù)大于自然數(shù)，那么中間是否有數(shù)。

一個(gè)圓分成有限塊后可以組成長(zhǎng)方形，一個(gè)球可以分為兩個(gè)同體積的球。

　　6 三大主義

　　1 直覺(jué)主義：以荷蘭數(shù)學(xué)家為首，數(shù)學(xué)的真理要靠直覺(jué)，不承認(rèn)存在性定理，證明存在卻無(wú) 法求知是不可靠的。

　　2 邏輯定義：以羅素為代表，邏輯是數(shù)學(xué)青年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的壯年時(shí)代，邏輯公理化。

　　3 形式主義；
認(rèn)為概念沒(méi)有意義，形式才重要，提出了一套高度抽象的符號(hào)系統(tǒng)，把幾何關(guān)系 合理化，合理系統(tǒng)是互相獨(dú)立的。有相容性，完全性，但有人指出，這是矛盾的，任何相容 的體系都不完全，實(shí)際上是相容性本來(lái)不能判定。

　　有人希望借助一種方法來(lái)判定一個(gè)命題是可判定還是不可判定，否則還會(huì)有很多精力浪廢 在不可判定的命題上。

　　四、數(shù)學(xué)的特征

　　1 高度抽象性：直接研究對(duì)象是思維，沒(méi)有背景。比如圓，研究的不是圓的東西，而是抽象 出來(lái)的圓的概念。

　　2 嚴(yán)密的邏輯性

　　3 應(yīng)用的個(gè)體性和統(tǒng)一性

　　五、數(shù)學(xué)的真理觀

　　1 客觀性：不同的地方可以有相同的結(jié)論。如中國(guó)和西方在沒(méi)有聯(lián)系的情況下相互獨(dú)立地得 勾股定理。

　　2 實(shí)踐性：數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物，又適用于實(shí)踐，時(shí)代的發(fā)展也推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)是時(shí)代的 產(chǎn)物。

　　3 第 五公式：過(guò)直線外一點(diǎn)只能作一條平行線，由于這一公理無(wú)法以實(shí)踐來(lái)判定，所以歐 幾里德避免使用，許多數(shù)學(xué)家為了證明這一公耗廢了大量精力。

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