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　　迷人心智的德布羅意波譚天榮青島大學 物理系青島 266071ttr359@126.com

　　內容提要：本文通過兩種途徑從經(jīng)典物理學導出德布羅意波。一種途徑是通過電子模型，另一種途徑是借助于相對論。此外，還在相對論的框架下討論電子自旋的問題。

　　關鍵詞：德布羅意波；
電子模型；
相對論；
電子自旋；
狄拉克方程

　　1 引言

　　在量子物理學家們看來，普朗克的“輻射量子論”與德布羅意的“物質波假說”是量子物理學發(fā)展史上的兩個里程碑，前者顯示了一向被看作波動的光具有粒子性，后者則預言了一向被看作粒子的電子具有波動性。

　　按照我們的觀點，作為量子現(xiàn)象，光的量子性和電子衍射現(xiàn)象都是電子在不同的外部條件下的行為的表現(xiàn)方式。在《震驚世界的光量子》一文中我們已經(jīng)證明，“光電效應”與“康普頓效應”乃是電子與光波相互作用的表現(xiàn)；
而輻射的量子性則是原子論的必然結論。另一方面，在《奇異的電子》一文中，我們已經(jīng)初步闡明什么是“電子的波動性”，把“德布羅意波”作為一個推論納入經(jīng)典物理學的框架。本文對該文關于“電子的衛(wèi)星模型”的論述作一點補充，并從如下角度進一步考察德布羅意波：電子束通過小孔時的行為是一個特殊的洛侖茲問題，而電子的小孔衍射實驗則是大自然對這一問題的回答。

　　2 經(jīng)典的氫原子模型

　　在《奇異的電子》一文中我們在塑造“電子的衛(wèi)星模型”時，只是徑直給出最終的結論，回避了一些相關的問題，例如，怎樣從宏觀電動力學向微觀電動力學過渡。在這里，我們將把這一問題當作頭等重要的問題來考察。

　　為了實現(xiàn)從宏觀電動力學向微觀電動力學過渡，我們必須擺脫某些根深蒂固的思維習慣，例如，一個宏觀的偶極子作電磁震蕩時，不言而喻地有某種外部能源向它源源不斷地供給能量，只有這樣它才能連續(xù)地發(fā)射電磁波。但對于微觀物體，我們應該隨時記住它們是沒有外部能源的。還有，對于宏觀的帶電粒子我們可以任意加上某種約束條件，例如我們可以限制它在特定的曲線或曲面上運動。但對于一個電子，我們卻不能賦予它這樣的約束。

　　下面，我們從一個既有外部能源又有約束的宏觀電動力學的系統(tǒng)出發(fā)，逐步擺脫外部能源與約束，使它變成微觀電動力學的系統(tǒng)。

　　設想由兩個金屬小球，一個帶正電，另一個帶相等的負電,用一根很輕的小棍連接著，形成一個有固定電矩的“電偶極子”。固定正電小球，讓負電小球以某一角速度繞它旋轉。按照麥克斯韋方程的推遲解，這個旋轉著的電偶極子將發(fā)射一個向外發(fā)散的球面電磁波。我們將這一過程記作I。

　　發(fā)射電磁波將帶走能量，為了維持偶極子以恒定的角速度旋轉，必須由外部能源向它源源不斷地供給能量。我們假定這個能源是一個下降的重物，它通過一個機械裝置推動偶極子旋轉。這是一個恒定的發(fā)射過程。

　　把這一過程拍成電影，然后倒過來放映，銀幕上的過程將是過程I的時間反演。它可描述如下：

　　一個球面電磁波從無窮遠向旋轉著的偶極子會聚；
偶極子不斷吸收著向它會聚的電磁波，并且通過機械裝置推動重物上升。這是一個恒定的吸收過程。這一過程中的偶極子的旋轉方向與過程I的相反，如果在銀幕前置一面鏡子，則鏡中的過程也是一個恒定的吸收過程，而且其中的偶極子的旋轉方向與過程I的相同，我們把這一過程記作II。

　　過程II在技術上是不能實現(xiàn)的，因為我們不能在實驗室造成一個向里會聚的球面電磁波，再說，機械裝置的摩擦和空氣阻尼也會使重物的下降過程變成不可逆的。因此II只是一個理想過程。但它對應麥克斯韋方程的超前解，從而是一個滿足麥克斯韋方程的理想過程。

　　推遲解與超前解的算術平均值也是麥克斯韋方程的一個解，它在所謂“波場區(qū)”表示一個球面駐波場，我們稱它“駐波解”。它描寫如下過程：旋轉著的偶極子既發(fā)射又吸收，發(fā)射與吸收達到平衡，形成駐波。重物則既不上升也不下降，于是重物連同傳動的機械裝置不再起作用。在這一過程中去掉重物與機械裝置，就剩下偶極子與自身的駐波場在相互作用中永恒地旋轉。

　　在偶極子旋轉時，由于向心力的反作用，小棍受到一個拉力；
由于兩個小球的庫侖吸引，小棍又受到一個壓力。當旋轉的角速度適中時，拉力與壓力達到平衡，小棍就不再起作用。如果正電小球的質量遠比負電小球的質量大。則在我們去掉小棍，并解除對正電小球的約束之后，正電小球照樣靜止，負電小球照樣以原來的角速度繞它旋轉。

　　這樣一個旋轉著的偶極子既擺脫了外部能源，又擺脫了約束，這是從宏觀電動力學向微觀電動力學過渡的關鍵的一步。

　　在這個旋轉著的偶極子中，將正電小球換成一個質子，負電小球換成一個電子，它就成了一個氫原子的模型，這個模型遵循經(jīng)典物理學的規(guī)律，我們稱它為“經(jīng)典的氫原子模型”。

　　誰也不會否認大量原子組成的物質處于平衡狀態(tài)時，其發(fā)射與吸收必須達到平衡。但從這個原子模型我們看到，單個原子處于平衡狀態(tài)時，它的發(fā)射與吸收也必須達到平衡。

　　一般地說，發(fā)射與吸收達到平衡是任何物體的狀態(tài)經(jīng)久不變的必要條件。這一觀點可以追溯到古希臘的伊壁鳩魯。他說過：“從物的表面放出一股連續(xù)不斷的流，而這股流是感覺所不能察覺到的，這是因為有逆向的補充，因為物體本身依然保持充盈，這種補充使得固體中的原子的排列和位置長久地保持著�！闭\然，我們不能說伊壁鳩魯?shù)倪B續(xù)不斷的流就是現(xiàn)代物理學中的電磁波，再說，伊壁鳩魯所說的“長久地保持著”是原子的排列和位置，而不是原子的內部運動。但有一點是肯定的：伊壁鳩魯用“逆向的補充”來消除“從物的表面放出一股連續(xù)不斷的流”與“物體本身依然保持充盈”之間的矛盾，這一基本思路和我們是一致的。

　　人們或許會這樣責難我們的原子模型：駐波解中有一個向里會聚的球面電磁波，這個波在技術上是不能實現(xiàn)的，既然如此，駐波解就不可能實現(xiàn)，因此，麥克斯韋方程找不到一個“可以實現(xiàn)的特解”來表示“保持經(jīng)久不變的原子有核模型”。

　　對于這種責難，我們的回答是：

　　第一，至少我們已經(jīng)肯定，麥克斯韋方程的駐波解表示保持經(jīng)久不變的原子有核模型，至于這個解所表示的過程怎么實現(xiàn)，則是進一步的問題，我們不能要求一個新的理論一步到位，一開始就解決每一個潛在的問題。

　　第二，把駐波分解成兩個相反方向的進行波的合成，只是一個數(shù)學過程。這個數(shù)學過程很容易使人們這樣設想：要使得駐波解得以實現(xiàn)，原子應該先激發(fā)一個由推遲解表示的一個向外發(fā)散的電磁波，然后有一個由超前解表示的向里會聚的電磁波與它相互迭加。只有這樣才能形成一個駐波場。不幸的是，由超前解表示的向里會聚的電磁波沒有來由，因此駐波解不能實現(xiàn)。這種想法把觀念上的合成過程強加于自然界了。從原子激發(fā)的電磁場滿可以一開始就是一個駐波場，并沒有經(jīng)過與兩個解相互迭加的過程。這就像一條現(xiàn)實中的直線，不一定是由一個點的運動形成的一樣。

　　第三，人們采用推遲解而放棄超前解的理由是：“超前解違背因果律。”這是一個普遍的誤解，我們不得不在這里稍稍停留一下。

　　3 波動方程的推遲解與超前解

　　有人說：波動方程在理論上是可逆的：如果時間坐標t換成-t，波動方程的形式不變。但是考慮到因果律，波動方程實際上卻是不可逆的，因為只有這個方程的推遲解能夠實現(xiàn)，而超前解則不能實現(xiàn)。例如，扔一個石頭到水面平靜的池塘里，在水面激起一個向外發(fā)散的波紋，這一過程滿足一個波動方程，它必須由該方程的推遲解來描述。而超前解則是這一過程的時間反演，從而描寫的是“石頭還沒有扔出去，水面就已經(jīng)有了波紋的過程”，這就違背因果律了。人們還說，自然界為什么有這種不可逆性，是二十世紀的世界難題之一。

　　在這里，人們實在太不動腦子了，竟然把一個因疏忽引起的錯誤結論當作一個世界難題。實際上，波動方程的超前解并不違背因果律。

　　誠然，扔一個石頭到平靜的池塘里，肯定會在池塘的水面激起一個向外發(fā)散的波紋，這一過程，記作A，確實是由推遲解來描述的。但是，A的時間反演卻并不是“石頭還沒有扔出去水面就已經(jīng)有了波紋”，而是如下過程：開始時，水面有一個波紋向里會聚，當會聚到波紋中心時，一塊石頭從水中冒出，飛向那個扔石頭的人的手中，在這以后，水面恢復平靜。

　　這里有一個問題：“石頭冒出水面飛向那個扔石頭的人的手中”的過程違背力學規(guī)律，因為石頭入水的過程是不可逆的。對于我們的推理，這是一個節(jié)外生枝的麻煩。幸運的是，這個麻煩與我們討論的問題無關。通過一個簡單的數(shù)學運算我們可以得出結論：一個波動方程的推遲解的時間反演并不是該波動方程的超前解，而是另一個波動方程的超前解。我們考察的過程是“把石頭扔到水中”而不是“石頭從水中冒出”，描寫該過程的波動方程的超前解表示：開始時，水面有一個波紋向里會聚，當會聚到波紋中心時，一塊石頭進入水中，在這以后，水面恢復平靜，我們把這一過程記作B。

　　B雖然十分離奇，但并不違背因果律。為了證明這一點，讓我們把表示這一過程的超前解表成兩項之和，第一項就是推遲解，表示過程A；
第二項滿足一個齊次波動方程，描述如下過程：初始的波紋會聚到中心點以后，反過來向外發(fā)散，把這一過程記作C。為了理解過程C，你可以用臉盆打一盆水，然后敲一下盆邊，你將看到一個波紋從臉盆的邊沿開始向里會聚的，波紋會聚到臉盆中心以后會反過來向外發(fā)散。如果你更細心一點，還會發(fā)現(xiàn)，會聚的波紋原來凸出的部分到達中心后，會變成了凹陷的部分，反之亦然。我想這個實驗能夠使你相信過程C也不違背因果律。B作為A和C兩個過程的迭加可描寫如下：開始時，初始的波紋向里會聚，當會聚到中心時，初始的波紋反過來向外發(fā)散，與此同時，一塊石頭入水激發(fā)另一個向外發(fā)散的波紋，這兩個向外發(fā)散的波紋恰好相互抵消，因此，水面平靜下來。既然A和C都不違背因果律，B作為A和C的迭加也不違背因果律。因此，對于我們所考察的例子，超前解并不違背因果律。

　　再考察另一個例子。

　　從靜電學我們知道，一個點電荷會激發(fā)一個球對稱的靜電場，這個靜電場從無窮遙遠的過去直到無窮遙遠的將來一直保持不變，我們把這一過程記作D。根據(jù)電動力學，D滿足一個波動方程，并且由該波動方程的一個特解來表示。從來沒有人懷疑這個解是可以實現(xiàn)的。該波動方程還有其它的解。如果我們加上如下初始條件：在t = 0時，全空間沒有電場，也沒有電場的變化，則從該波動方程得到另一特解，它表示：在t = 0之后，點電荷激發(fā)一個球面對稱的靜電場，在一個以光速膨脹的球面內有電場，而在球面外則沒有電場。在t = 0之前，空間的電場分布更為離奇：在一個在以光速收縮的球面內有電場，而在球面外則沒有電場。我們把這一過程記作E。

　　表示D的解與表示E的解之差是一個齊次波動方程的特解，它表示：第一，空間始終沒有電荷。第二，在t = 0之前，在一個在以光速收縮的球面內有電場，而在球面外則沒有電場；
在t = 0時，這個球面收縮到中心點，整個空間沒有電場；
而在t = 0之后，一個球面對稱的靜電場向外發(fā)散：在以光速膨脹的球面內有電場，而在球面外則沒有電場。我們把這一過程記作F。

　　沒有人懷疑D是可以實現(xiàn)的，但是，我們可以把表示D的特解表成E和F兩項之和，而其中至少F在技術上是不能實現(xiàn)的。由此可見，如果把一個特解表成兩項之和，其中有一項在技術上不能實現(xiàn)，并不能得出這個特解不能實現(xiàn)的結論�？墒俏覀冇浀�，人們對波動方程的駐波解的非難正是因為它可以表成兩項之和，其中的一項在技術上不能實現(xiàn)哩！

　　為了與上面的兩個例子一致，我們以另一種方式把氫原子模型的駐波解表成兩項之和，第一項是同一方程的推遲解，第二項則是對應的齊次波動方程的解，表示如下過程：在觀察到的空間沒有氫原子，卻有一個球面波向里會聚，該球面波會聚到中心點以后反過來向外發(fā)散，這樣一個向里一個向外的兩個波迭加起來也形成駐波。

　　從上面的考察我們看到，波動方程的推遲解和超前解之間的區(qū)別僅僅是初始條件的不同，并不涉及“因果律”這樣高深的哲學問題。我們還看到：波動方程的解對初始條件的改變是極為敏感的。由于推遲解只是波動方程無窮多個特解中的一個，它對初始條件的要求極為苛刻，因此推遲解在諸特解中并沒有特別優(yōu)越的地位。對于宏觀過程，我們原則上可以創(chuàng)造適當?shù)臈l件，使得推遲解得以實現(xiàn)。而對于微觀過程，初始條件就不能人為地“創(chuàng)造”了，這時再糊里胡涂應用推遲解，就難免要“創(chuàng)造新穎觀念”了。

　　順便說一句，當前人們對“黑洞”的一些細致入微的描寫，(點擊此處閱讀下一頁)

　　恐怕也是某種“新穎觀念”。例如，人們說，光線不能離開黑洞，但外界卻能檢測到黑洞的電荷。我們看到，靜電作用也是以光速傳播的，而且靜電場還具有質量，因此，如果光線不能離開黑洞，則靜電作用也不能離開黑洞，這樣，黑洞中的電荷又怎能在黑洞之外被探測到呢？進一步，引力作用能否離開黑洞也成為問題了。

　　4 從原子模型到電子模型

　　現(xiàn)在我們看到，電子論從經(jīng)典電動力學引出“原子中的電子將因發(fā)射電磁波而落于核”的結論原是可以預期的：在計算電子的固有電磁場時，電子論用了推遲解，這個解是描寫發(fā)射過程的，而在盧瑟福的原子模型中又沒有外部能源供給原子以補充發(fā)射的消耗，原子中的電子自然不能保持恒定的繞核旋轉運動。由此我們本來應該得出結論：“麥克斯韋方程的推遲解不適用于原子過程�！笨墒遣�爾卻從這一事實得出“經(jīng)典電動力學不適用于原子過程”的結論。物理學有過多次重大失足，這是其中最關鍵的一次。

　　我們看到，關于電子在原子中的行為有三種意見：首先的電子論的意見，電子在原子中繞核旋轉時，只能發(fā)射，不能吸收，因此電子將因發(fā)射而落于核。這一結論與事實不符。其次是玻爾的意見，電子在原子中繞核旋轉時，既不發(fā)射，也不吸收，這一結論不對應麥克斯韋方程的任何解，因而違背經(jīng)典電動力學。最后是我們的意見，電子在原子中繞核旋轉時，既發(fā)射，又吸收，發(fā)射與吸收達到平衡，形成駐波，這一結論既不違背原子經(jīng)久不變的事實，又滿足麥克斯韋方程。如果這一原子模型得到了物理學家們的認可，則物理學經(jīng)過曲折的道路，到底得出了“物理學的理論基礎同原子的有核模型相適應”的結論。

　　給出“經(jīng)典的氫原子模型”的那個“旋轉著的偶極子”也可以用來得到我們在《奇異的電子》一文中給出的“電子的衛(wèi)星模型”。有了這個模型，我們就得到德布羅意波的雙重含義：既是單個電子的特征波，又是單色電子束的固有電磁波。

　　在《震驚世界的光量子》一文中我們曾經(jīng)證明：電子的“粒子”與“波包”它們在相互作用中達到雙重的平衡：“力學平衡”與“電學平衡”，它們組成電子內部運動的“電動平衡”。電子的自我調節(jié)機制的任務就是在任何外部條件下都力求保持電子的電動平衡。這種機制使得電子具有“穩(wěn)定性”。這種穩(wěn)定性意味著電子能夠對外部作用作出“能動的”反應。外界不能像支配力學粒子那樣支配電子，只能通過電子的這種內部機制對電子起作用。

　　如果電子能夠永遠保持自己的電動平衡，則只要加上電子的自旋角動量固定不變這一硬性規(guī)定，電子的行為就完全和力學粒子一樣了。然而事實并非如此，電子保持電動平衡要求一定的條件，而且在某些條件下電子的電動平衡可能被破壞。這就使得電子的行為和力學粒子不一樣，電子的這種與力學粒子不一樣的反常行為，就是所謂“量子現(xiàn)象”。

　　早期的電子射線實驗表明電子束中的單個電子中的粒子在外電磁場中和點電荷一樣運動，這就表明，在這些實驗中，電子始終保持著電動平衡，其中力學平衡表現(xiàn)為：波包對粒子既沒有阻滯、也沒有推動；
而電學平衡則表現(xiàn)為：從外部觀察者看來，粒子既沒有發(fā)射、也沒有吸收。

　　后來德布羅意發(fā)現(xiàn)，在玻爾原子理論中，繞原子核旋轉的單個電子達到電動平衡的條件是其特征波在軌道上形成駐波。這一條件使原子具有穩(wěn)定性。在這里，原子穩(wěn)定性也是原子有保持自身的達到平衡的內部機制。于是我們看到，是電子的穩(wěn)定性使得原子具有穩(wěn)定性。我們把這種機制稱為“穩(wěn)定性的涌現(xiàn)”。

　　電子有磁矩，它在外磁場中將作“進動”，實驗證明，當電子在外電磁場中達到電動平衡時，它的角動量在外電磁場中的投影只有兩個可能的取值，換句話說，電子的進動只有兩種可能的穩(wěn)定狀態(tài)。這種性質，稱為電子的“空間量子化”。由于穩(wěn)定性的涌現(xiàn)，原子也具有相應的空間量子化的性質：原子的角動量在外磁場中也取分立的值。

　　那么電子的穩(wěn)定性又是什么一種穩(wěn)定性的涌現(xiàn)呢？這是一個還有待探討的問題。

　　5 電子束與德布羅意波

　　如果我們一開始就考察電子束而不是考察單個電子，則可以繞過塑造電子模型的問題，根據(jù)某些已知的物理學原理，導出德布羅意波。首先，讓我們考察一個有關的宏觀現(xiàn)象——金屬的表面波。

　　當電子在導線中運動時，電場的電力對它作用的平均效果表現(xiàn)為歐姆定律。如果金屬中的電子在交變的外電場作用下，則根據(jù)微分形式的歐姆定律，在金屬表面會形成交變的電流。另一方面，這一交變的電流又按照麥克斯韋方程激發(fā)一個交變的電磁場，迭加在外電場之上，合成一個總的交變電磁場。這個合成的電磁場仍然滿足的麥克斯韋方程。再將金屬表面的交變電流所滿足的微分歐姆定律代入這一方程，就得到一個“表面波”方程。如果說麥克斯韋方程表現(xiàn)電流激發(fā)電磁場，歐姆定律表現(xiàn)電磁場對電流的作用力，那么，這個“表面波”方程就表現(xiàn)了電流與電磁場的相互作用。

　　在普通物理學中我們經(jīng)常遇到兩種電流，一是導線中的“導線電流”，一是介質中的“分子電流”，這兩種電流都是由電子的運動形成的。但還有一種常見的電流我們似乎很少注意到，一束電子射線（例如，陰極射線）也形成電流，我們不妨稱這種電流為“射線電流”。和導線電流一樣，射線電流本來也由一個一個分立的電子形成，相應地，通過麥克斯韋方程給出的射線電流所激發(fā)的電磁場也是一個在空間和時間上都急劇變化的電磁場。如果我們對這個麥克斯韋方程的兩端取平均值，則射線電流被看作連續(xù)分布的電流，而它所激發(fā)的電磁場也相應地成了一個緩慢變化的電磁場了。

　　對于射線電流，有待解決的關鍵問題是：當電子束在電磁場中運動時，諸電子受到洛侖茲力的作用的平均效果表現(xiàn)為一個什么樣的方程？由于這個方程對應于導線電流的歐姆定律，我們暫時稱它為“射線電流的歐姆定律”。

　　對于射線電流，只要對麥克斯韋方程兩邊取平均值，就得到表示射線電流激發(fā)電磁場的平均效果的方程。人們自然會想，對洛侖茲力方程兩邊取平均值，能不能得到射線電流的歐姆定律呢？回答是否定的，因為洛侖茲力方程中的洛侖茲力涉及微觀物理量的乘積，例如電流密度與電場強度的乘積，我們從麥克斯韋方程只能得到電流密度的平均值與電場強度的平均值，而給出洛侖茲力的平均效果的卻是電流密度與電場強度的乘積的平均值。不幸的是，兩個微觀物理量的平均值的乘積不等于它們的乘積的平均值。因此，為了得到表示射線電流的歐姆定律的方程，我們還得另想辦法。

　　當電子在導線中運動時，由于不斷與金屬的晶格點陣碰撞，在靜電場作用下，平均地說，保持等速運動，因此導線電流與電場強度成正比（這是歐姆定律的微分形式）。反之，當電子自由運動時，它的電荷在靜電場作用下的運動卻是等加速運動。因此，對于射線電流的歐姆定律，與電場強度成正比的不是電流（密度）本身，而是電流對時間的導數(shù)。這樣，我們已經(jīng)有了一個已知條件。但是，要建立射線電流的歐姆定律，這個已知條件是遠遠不夠的。

　　人們說，物理學是一門實驗的科學，既然已知條件不夠，我們還得求助于更多的實驗事實。但在物理學中，不同的新理論的建立過程對實驗事實的依賴程度是極為不同的，在建立量子力學的過程中，每一步都得依賴“大量事實”，可是愛因斯坦建立廣義相對論卻沒有考慮任何實驗事實，他的立足點只是“等效原理”這一“思想實驗”。甚至當廣義相對論已經(jīng)建立以后，證實這一新理論的實驗事實也不多，當時只有光線彎曲、水星的反常進動和光譜的引力紅移三個實驗事實。但廣義相對論并沒有因為沒有“大量事實”的支持而受到懷疑，相反，物理學家一致盛贊愛因斯坦這一新理論，例如，波恩稱廣義相對論是：“認識自然的人類思維最偉大的成就，哲學的深奧、物理學的洞察力和數(shù)學的技巧最驚人的結合�！�

　　還有一個例子也表明相對論有巨大的擴展能力，人們僅僅從靜電學的庫倫定律出發(fā)，借助于相對論導出了經(jīng)典電動力學的全部內容。

　　在這里，我們借助于相對論的這種擴展能力，僅僅從射線電流對時間的導數(shù)與電場強度成正比這一前提出發(fā)，建立射線電流的歐姆定律。

　　對于導線中的電流，導線本身就給出一個特殊的參照系，歐姆定律僅對這個參照系才成立。而當電子在真空中自由運動時，卻沒有一個特殊的參照系，因此，射線電流的歐姆定律應該對一切參照系成立，即具有“洛侖茲不變性”。

　　有了上面兩個已知條件，可以得出結論：如果射線電流的歐姆定律不是復雜得難以想象，它就應該是如下張量方程：“電荷電流向量”的“四維旋度”（這個用語只不過是一種比擬）與“電磁場張量”成正比。

　　麥克斯韋方程可以表成兩個張量方程，一個是“電磁場張量”的“四維散度”與電荷電流向量成正比；
另一個是“電磁場張量”的“四維旋度”為零。而麥克斯韋的洛侖茲形式，則可以表成“電磁場張量”在“四維拉普拉斯算符”作用下，與“電荷電流向量”的“四維旋度”成正比。借助于射線電流的歐姆定律，我們可以把這種形式的麥克斯韋方程轉化成如下廣義的波動方程：“電磁場張量”在“四維拉普拉斯算符”作用下，與“電磁場張量”自身成正比，現(xiàn)在這個廣義的波動方程被稱為克萊因-戈登方程�！半姶艌鰪埩俊钡拿恳粋�分量，以及“電荷電流向量”的每一個分量都滿足這個方程�！暗虏剂_意波”的“波函數(shù)”就是這個方程的一個特解�？巳R因-戈登方程的特解未必有周期性，但德布羅意波這一特解卻有周期性，它反映電子內部運動的周期性。

　　光波所滿足的微分方程是波動方程，如果所考察的地區(qū)沒有光波的波源，則這個波動方程的齊次的，如果該地區(qū)有光波的波源，則這個波動方程的非齊次的，可見光波是離開了波源的電磁波；
而德布羅意波所滿足的克萊因-戈登含有一個由未知函數(shù)自身構成的“非齊次項”，這個“非齊次項”相當于波源，只要所考察的地區(qū)有德布羅意波，該地區(qū)就有德布羅意波的波源，可見德布羅意波是伴隨著波源（電子）的電磁波。而電子衍射過程則是這個伴隨著波源的電磁波的衍射過程。我們知道，德布羅意波原來就是電子束的固有電磁場，它是一個“波場”，從而它是電子束的“固有電磁波”。光波的衍射圖形通過光波的能量分布表現(xiàn)出來，而德布羅意波的衍射圖形則通過電子束的數(shù)密度分布表現(xiàn)出來，這就是電子衍射實驗的結果。

　　現(xiàn)在，我們已經(jīng)從洛侖茲問題出發(fā)，對電子衍射現(xiàn)象作了一個初步的“經(jīng)典描述”，從而給出了第一個論據(jù)，證明“量子現(xiàn)象”正是大自然對洛侖茲問題的回答；
而量子力學則是對這種回答的數(shù)學表述。

　　6 自旋量與狄拉克方程

　　有了克萊因-戈登方程我們還不能描述單個電子的行為（例如，電子在氫原子中的行為）。下一步該怎么走呢？在回答這個問題之前，先談一談我們對相對論的認識。

　　102年以前，愛因斯坦發(fā)表了他劃時代的論文“運動物體的電動力學”，提出許多極為新奇的觀點。例如，質量并不是一個物體的固有屬性，同一物體的質量從不同的（慣性）參照系看來是不同的。同樣，距離、時間間隔等物理量，也是隨參照系的變化而變化的。在這種意義下，空間與時間等物理學范疇成了相對的，對比之下，牛頓的空間與時間則是絕對的。在這里“絕對”與“相對”的對立有確切的特殊含義：在參照系的變換下保持不變的東西稱為“絕對”的；
隨參照系的變化而變化的東西稱為“相對”的。

　　按照相對論，一切嚴格的物理學規(guī)律在參照系的變換下保持不變，用數(shù)學的語言來表達，就是物理學規(guī)律的數(shù)學表達式在洛侖茲變換下保持不變，“洛侖茲不變性”就是指物理學方程的這種性質。相對論應用一種稱為“張量分析”的特殊的數(shù)學工具來表達物理學的規(guī)律。嚴格的物理學規(guī)律，例如牛頓定律，麥克斯韋方程等，都表現(xiàn)為某種張量方程，從而具有洛侖茲不變性。另一方面，方程中涉及的物理量：質量、力、電流、電磁場強度等則成為某一張量的分量，在洛侖茲變換下，一個張量的諸分量是會改變的，但這種改變正是為了保證張量方程的形式保持不變。因此，愛因斯坦的新理論具有兩重性，一方面是“物理量”具有相對性，另一方面則是“物理學規(guī)律”具有絕對性，這是同一件事的兩個方面，其中物理學規(guī)律的絕對性倒是其主要的方面。由此，“相對論”這個名稱僅表現(xiàn)了愛因斯坦的新理論的一個方面，而且還是其次要的一個方面。當然，沒有人說因此就得改變“相對論”這一名稱。

　　按照相對論，在嚴格的物理學規(guī)律中，空間坐標、時間坐標；
能量、動量；
電場強度、磁場強度等物理量都是某一張量的分量，那么，德布羅意波的波函數(shù)又是什么張量的分量呢？

　　我們看到，電荷密度以及電流密度的每一個分量，還有電場強度與磁場強度的每一個分量，都滿足克萊因-戈登方程，(點擊此處閱讀下一頁)

　　而這些量在洛侖茲變換下的協(xié)變性是十分不同的。因此，僅僅根據(jù)克萊因-戈登方程，我們不能確定德布羅意波的波函數(shù)隨參照系變化的協(xié)變特征。

　　為了確定這種特征，我們換一種方式對射線電流中的電荷密度等物理量求平均值：不考慮電子的內部運動，僅僅把電子看作點電荷。這樣，射線電流的電荷密度與電子的數(shù)密度成正比，根據(jù)電子衍射實驗我們知道，電子的數(shù)密度與德布羅意波的波函數(shù)的模方成正比。而根據(jù)相對論，電荷密度與電流密度組成一個四維向量，即洛侖茲群的一階張量。于是，波函數(shù)的模方構成洛侖茲群的一個一階張量。

　　另一方面，根據(jù)張量理論，如果一個n階張量A的某個分量的平方是另一個張量B的分量，那么，張量B將是一個2n階張量。由此可見，如果德布羅意波的波函數(shù)是洛侖茲群的n階張量的一個分量，則電荷密度與電流密度應當組成一個洛侖茲群的2n階張量，現(xiàn)在這個2n階張量是一階張量，從而有2n = 1, n = 1/2，即德布羅意波的波函數(shù)應該是洛侖茲群的半階張量�？墒�，在張量代數(shù)中卻沒有半階張量。

　　根據(jù)群論，除了張量以外，洛侖茲群還有另一種數(shù)學對象，稱為“自旋張量”�！白孕龔埩俊迸c“張量”有一種對應關系：2n階“自旋張量”對應于n階張量，在這種意義下，“自旋量”，即一階的自旋張量，恰好相當于半階張量。因此，德布羅意波的波函數(shù)正是一個“自旋量”。

　　在物理學史上，人們認識“自旋量”經(jīng)歷了一個極為曲折的過程。最初，德布羅意是根據(jù)相對論提出德布羅意波的，當薛定諤試圖建立德布羅意波所滿足的方程時，自然也從相對論出發(fā)，但他這方面的工作沒有成功。后來薛定諤退而求其次，建立了一個非相對論的方程，就是現(xiàn)在的“薛定諤方程”，這個薛定諤方程不具有洛侖茲不變性，從而不是一個嚴格的物理學方程。不僅如此，它還有一種與相對論格格不入的非對稱性：對于時間坐標來說，它是一個一階方程；
而對于空間坐標來說，它卻是一個二階方程。后來，為了表現(xiàn)“電子自旋”，泡利對描寫電子的薛定諤方程進行加工，得到一個2×2的矩陣形式的薛定諤方程。1928年，狄拉克為了把克萊因-戈登方程（它是時間坐標的二階方程）改成對于時間坐標的一階方程，建立了描寫電子的狄拉克方程。他意外地發(fā)現(xiàn)，這個狄拉克方程自然而然地表現(xiàn)了電子自旋。有了群論以后，人們終于認識到：狄拉克方程是一個關于洛侖茲群的自旋量的方程，它是德布羅意波的波函數(shù)應該滿足的相對論方程。

　　這樣，我們就剝去了狄拉克方程的神秘的外衣，但是要“說明”這個方程，我們還有一段很長的路要走。

　　* * * * * *

　　上面，我們用非數(shù)學的語言表達數(shù)學公式的推演，這種表達方式并不能幫助不掌握數(shù)學語言的讀者理解其中的內容，而對于掌握數(shù)學語言的讀者，這種刻意回避“方程式語言”的做法又只有增加理解的困難，實在是兩邊都費力不討好。從下一篇文章開始，我們將放棄這種做法。

　　7 小結

　　綜上所述，我們看到，電子的波粒二象性與光的波粒二象性完全是兩回事。盡管有輻射的量子性，光還是一種波，只不過由于作為光源的物質具有原子性，光才在“光與物質的相互作用”的過程中顯示出量子性。一言以蔽之：“光的量子性源于光源的原子性。”但是電子的波粒二象性卻不是起源于電子以外的某種東西，而是起源于電子自身的如下性質：電子除了有一個帶電粒子之外，還有一個固有電磁場，而在這個固有電磁場中包括一個波場。

　　量子力學的初學者聽到“電子既是粒子又是波”或者“既不是粒子又不是波”之類的說法時，無論他是茫然不解還是心領神會，關于電子他不會有任何新的認識。我們的看法沒有那么神妙，說白了就是：“電子既有粒子也有波�！倍鴮τ诠獾念愃频恼f法，我們的看法更干脆：“光僅僅是一種波動過程，在任何情況下它都不是粒子�！�

　　因此，光與電子并沒有德布羅意設想的那種對稱性，德布羅意從這種對稱性出發(fā)成功地預言了電子衍射實驗只能說是僥幸。量子物理學的進一步發(fā)展所遭受的種種挫折表明：人們已經(jīng)為這一僥幸的成功付出了昂貴的代價。

　　從輻射量子論的提出到電子衍射實驗證實德布羅意波的存在，物理學經(jīng)歷了一個狂飆般的發(fā)展過程，在這一過程中物理學日新月異，新理論新人物層出不窮，人們至今還津津樂道。但正是在這一過程中，物理學從“樸素實在論的大本營”變成了“主觀主義哲學的堡壘”，如果說過去人們相信自然界有著優(yōu)美而簡單的規(guī)律，人們通過理性的探索，一定能逐步掌握這些規(guī)律；
那么，經(jīng)過這一過程之后，人們卻相信自然界是瘋狂的，只有瘋狂的腦袋才能窺探其中的奧秘，物理學就這樣走上了“極端的幻想、盲從與迷信”的不歸路。不論德布羅意本人的哲學傾向如何，他的“物質波”觀念在物理學的發(fā)展過程中起著“迷人心智”的作用。

　　在結束本文時，關于德布羅意波，我們再次重復如下主要結論：光波與德布羅意波都是由電子激發(fā)的電磁波，光波是離開了波源的電磁波，而德布羅意波則是伴隨著波源的電磁波。

　　A Kind of Illusive wavesTAN Tianrong(Department of Physics, Qingdao University, Qingdao 266071, P. R. China.)ttr359@126.comAbstract: Two ways to derive de Broglie waves from classical physics are given. One is through an electron model and the other by means of relativity. Also, the problem about electron spin is discussed.Key words: de Broglie waves; electron model; relativity; electron spin; Dirac function

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