積分歷史篇一：微積分的歷史

微積分的歷史

趙子番 PB07210204

我們學(xué)習(xí)了一年的微積分學(xué)了，對整個(gè)微積分的框架已經(jīng)了一定的掌握，首先學(xué)習(xí)函數(shù)的極限，進(jìn)而學(xué)習(xí)了單變量與多變量函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué)，場論，級數(shù)，傅立葉分析，最后學(xué)習(xí)了解微分方程。當(dāng)我們再回首時(shí)，感覺自己學(xué)到了很多東西，很有一種成就感。可是細(xì)細(xì)想來，總覺得缺點(diǎn)什么。猛然發(fā)現(xiàn)，我們對數(shù)學(xué)或者說微積分史了解得太少了，書上的大部分定理、公式均冠以創(chuàng)立者之名，但均不加以注釋，以至于我們不知其為何許人也。

所以筆者認(rèn)為，只有對微積分發(fā)展歷史有所了解，才會(huì)對這個(gè)學(xué)科有更深入更全面的認(rèn)識。知道千百年來先輩們是怎樣經(jīng)過艱苦卓絕的奮才取得的今天的成果，必然會(huì)對他們肅然起敬。

經(jīng)各種途徑的搜集整理，現(xiàn)向同學(xué)們介紹幾位在微積分史上有過豐功偉績的幾位數(shù)學(xué)大家。

首先介紹一下笛卡爾。恩格斯曾這樣評價(jià)過笛卡爾：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了數(shù)學(xué)，微分和積分也就立刻成為必要的了。可以這樣說，笛卡爾是微積分學(xué)的開山鼻祖。

笛卡爾是法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家、生理學(xué)家。1596年3月31日生于圖倫省埃拉；1650年2月11日卒于瑞典斯德哥爾摩。笛卡爾自幼養(yǎng)成了寧靜好思的習(xí)慣，他對周圍的世界充滿了好奇心。笛卡爾對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)比其他科

學(xué)更符合理性的要求。他是以下列三種身份的結(jié)合來研究數(shù)學(xué)的。作為哲學(xué)家、作為自然界的探索者，作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)用途的人。它的基本思想是建立起一種普遍的數(shù)學(xué)，使算數(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他曾經(jīng)說過：“我決心放棄那種僅僅是抽象的幾何，這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思維的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于揭示自然現(xiàn)象的幾何�！钡芽�爾在幾何學(xué)所闡發(fā)的思想，被MILL稱作“精密科學(xué)進(jìn)步中最偉大的一步”。

笛卡爾的理論以兩個(gè)觀念為基礎(chǔ)：坐標(biāo)觀念和利用坐標(biāo)方法把帶有兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。笛卡爾的功績是把數(shù)學(xué)中的兩個(gè)研究對象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來，并在數(shù)學(xué)中引入變量，完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革。正是基于此，也就有了恩格斯上述對笛卡爾的評價(jià)。

應(yīng)當(dāng)指出，笛卡爾的坐標(biāo)系是不完備的，他未曾引入第二條坐標(biāo)軸，即y軸。另外，笛卡爾也沒考慮橫坐標(biāo)的負(fù)值。當(dāng)然，我們不能苛求過多，任何事物都是在不斷發(fā)展中逐步完善的。

笛卡爾孜孜不倦，勤于思考，他不喜歡讀帶有詳細(xì)解釋的科學(xué)論著。他讀書的方法是把書拿來后，先弄清作者的主要意圖，他只讀完開頭部分，而那些應(yīng)由作者得出的結(jié)論，他總是力求自己得出。

不僅僅在自然科學(xué)上笛卡爾取得的成就令我們欽佩，在感情上笛卡爾做到了禁欲，終身未娶。

笛卡爾有句名言：天下之理，非見之極明，勿遽下斷言。他還強(qiáng)調(diào)：沒有正確的方法，即使有眼睛的博學(xué)者也會(huì)向瞎子一樣盲目探索。

笛卡爾之后，又出現(xiàn)了一批偉大的數(shù)學(xué)家，比如費(fèi)馬，托里拆利、帕斯卡、惠更斯，還有對微積分學(xué)做出巨大貢獻(xiàn)的牛頓、萊布尼茨。牛頓-萊布尼茨公式?b

a由于對這兩f(x)dx?F(x)|a貫穿了整個(gè)微積分學(xué)。b

人大家耳熟能詳，故不作過多介紹。

牛頓、萊布尼茨之后，歷史迎來了偉大的泰勒。克萊因曾評價(jià)泰勒說：“泰勒實(shí)際上是用無窮小量進(jìn)行運(yùn)算，同萊布尼茨一樣認(rèn)為其中沒有什么問題�！边@實(shí)際上是在評價(jià)泰勒的偉大貢獻(xiàn)之一—泰勒級數(shù)。 泰勒1685年生于英國埃德蒙頓；1731年12月29日卒于倫敦。泰勒幼年之青年一段時(shí)間的求學(xué)這路很平坦順利。泰勒和牛頓、哈雷都是親密的朋友，也是牛頓流數(shù)法的一位擁護(hù)者和推廣者。

泰勒1715年出版了《增量法及其逆》，在本書中“他力圖搞清微積分的思想，但他把自己局限于代數(shù)函數(shù)和代數(shù)微分方程�！钡�他沒有意識到，在處理無窮級數(shù)時(shí)，必須先考慮他的收斂性。開始，泰勒級數(shù)的重要性并未引起人們的注意，直到1755年歐拉把泰勒級數(shù)用于他的微分學(xué)時(shí)才認(rèn)識到其價(jià)值；稍后拉格朗日用帶余項(xiàng)的級數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎(chǔ)，從而進(jìn)一步確定泰勒級數(shù)的重要地位。1880年，維爾斯特拉斯又把泰勒級數(shù)引進(jìn)為一個(gè)基本概念，用現(xiàn)代術(shù)語來講，泰勒級數(shù)是解析函數(shù)芽。

泰勒對科學(xué)的貢獻(xiàn)本質(zhì)上要比那個(gè)以他的姓氏命名的級數(shù)大得多。他在《皇家社會(huì)報(bào)》上發(fā)表過關(guān)于物理學(xué)、動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、磁學(xué)和熱學(xué)方面的論文。他還是一位多才多藝，富有才華的音樂家和畫家。

但成年之后的泰勒人生病不如意，一聲深受疾病即悲劇事件的困擾。第一個(gè)妻子因出身貧寒而遭到具有門閥觀念的父親的冷遇，導(dǎo)致父子之間激烈的爭吵與不合，妻子不久死于分娩。第二個(gè)妻子后來亦死于分娩。愛妻的不幸逝世、父子的不和、疾病的折磨使他痛苦不堪。到了晚年，為了解脫，便把精力與愛好轉(zhuǎn)向了宗教與神學(xué)。

在這種困難異常的情況下，泰勒仍然取得如此巨大的成就，實(shí)在令我們這些花前月下的大學(xué)生們感到慚愧。

泰勒之后，又出現(xiàn)了斯特林、邁克勞林、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等一大批對數(shù)學(xué)產(chǎn)生過深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)家。可以說，是他們，推動(dòng)了整個(gè)世界、整個(gè)人類的發(fā)展與進(jìn)步。

其實(shí)我們很有必要去了解一下微積分的歷史，龐加萊曾說：如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)在。的確，只有了解了微積分的歷史，了解了那些偉大數(shù)學(xué)家們的鉆研精神，我們才能夠以一種更為闊達(dá)的心態(tài)去學(xué)習(xí)微積分，去學(xué)好微積分。

積分歷史篇二：微積分的歷史

微積分的歷史

從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣�！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。

十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題，一個(gè)是求積問題。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。

牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

德國的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響�，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。

牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。

直到１９世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。

積分歷史篇三：微積分產(chǎn)生的歷史背景

微積分產(chǎn)生的歷史背景

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成(來自:www.newchangjing.com 蒲公 英文 摘:積分歷史)為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。

恩格斯

從15世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代，宗教改革與對教會(huì)思想禁錮的懷疑，東方先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻(xiàn)的流入歐洲，在當(dāng)時(shí)的知識階層面前呈現(xiàn)出一個(gè)完全斬新的面貌。而十六世紀(jì)的歐洲，正處在資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動(dòng)的數(shù)學(xué)的發(fā)展�？茖W(xué)對數(shù)學(xué)提出的種種要求，最后匯總成車個(gè)核心問題：

（1） 運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題（幾何演示）

即，已知物體移動(dòng)的距離S表為時(shí)間的函數(shù)的公式S=S（t）,求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。這類問題是研究運(yùn)動(dòng)時(shí)直接出現(xiàn)的，困難在于，所研究的速度和加速度是每時(shí)每刻都在變化的。比如，計(jì)算物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離，因?yàn)樵诮o定的瞬間，物體移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間是0，而0/0是無意義的。但是，根據(jù)物理，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，這也是無疑的。已知速度公式求移動(dòng)距離的問題，也遇到同樣的困難。因?yàn)樗俣让繒r(shí)每刻都在變化，所以不能用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間乘任意時(shí)刻的速度，來得到物體移動(dòng)的距離。

（2） 求曲線的切線問題（幾何演示）

這個(gè)問題本身是純幾何的，而且對于科學(xué)應(yīng)用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學(xué)是時(shí)十七世紀(jì)的一門較重要的科學(xué)研究，透鏡的設(shè)計(jì)者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線；另一個(gè)涉及到曲線的切線的科學(xué)問題出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)的研究中，求運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)方向，即軌跡的切線方向。

（3） 求長度、面積、體積、與重心問題等（幾何演示）

這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時(shí)期移動(dòng)的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個(gè)相當(dāng)大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力。實(shí)際上，關(guān)于計(jì)算橢圓的長度的問題，就難住數(shù)學(xué)家們，以致有一段時(shí)期數(shù)學(xué)家們對這個(gè)問題的進(jìn)一步工作失敗了，直到下一世紀(jì)才得到新的結(jié)果。又如求面積問題，早古希臘時(shí)期人們就

用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線y?x2在區(qū)間[0，1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S，他們就采用了窮竭法。當(dāng)n越來截越小時(shí)，右端的結(jié)果就越來越接近所求的面積的精確值。但是，應(yīng)用窮竭法，必須添上許多技藝，并且缺乏一般性，常常得不到數(shù)字解。當(dāng)Archimedes的工作在歐洲聞名時(shí)，求長度、面積、體積和重心的興趣復(fù)活了。窮竭法先是逐漸地被修改，后來由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。

（4） 求最大值和最小值問題（幾何演示）

炮彈在炮筒里射出，它運(yùn)行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個(gè)“實(shí)際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀(jì)初期，Galileo斷定（在真空中）最大射程在發(fā)射角是45?時(shí)達(dá)到；他還得出炮彈從各個(gè)不同角度發(fā)射后所達(dá)到的不同的最大高度。研究行星的運(yùn)動(dòng)也涉及到最大值和最小值的問題，例如求行星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離。

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