懸浮體，膠體，氣溶膠，云

　　《創(chuàng)新話舊》第2章（2）

　　2．2 一些ABC的問題

　　2．2．1 懸浮體，膠體，氣溶膠和云

　　在講述創(chuàng)新點(diǎn)（1）之前，按照我們在“緣起”中的約定，先講一點(diǎn)有關(guān)的基本概念。這里先講和懸浮體有關(guān)的概念。微小的粒子懸浮在流體之中，這體系叫懸浮體，或叫膠體。被懸浮的粒子叫懸浮粒子。粒子懸浮在水中的叫水溶膠，懸浮在其他液體中的叫液溶膠。當(dāng)粒子懸浮在空氣中時，這體系就叫氣溶膠。在環(huán)境保護(hù)工作中，把氣溶膠粒子叫做可吸入顆粒物。在膠體科學(xué)中，常常只講水溶膠和液溶膠，而不講氣溶膠。這不妥當(dāng)。廣義的膠體應(yīng)該也包括氣溶膠。當(dāng)然現(xiàn)在氣溶膠科學(xué)發(fā)展很快，它已成為一門獨(dú)立的學(xué)科了。即使如此當(dāng)我們說到膠體時，應(yīng)該同時是指兩者。云霧則是一種特殊的氣溶膠。它與一般的氣溶膠有些不同。首先云的粒子大。拿夏天的對流云講，它的云滴平均大小是10微米。比典型的氣溶膠粒子大了一個數(shù)量級。于是有云時就必然有上升氣流，這才能把云滴托住。而一般氣溶膠粒子太小了，無須乎上升氣流就可懸浮在空氣中。第三云體中有相變，水汽可以凝結(jié)成云滴，云滴又可以凍結(jié)成冰晶。水氣還可以直接凝結(jié)在冰晶上，叫凝華。相變的形成同樣需要有上升氣流。而這也是一般氣溶膠所沒有的。盡管如此，云滴的動力學(xué)規(guī)律和氣溶膠粒子的動力學(xué)規(guī)律基本相同。這就可以理解為什么巴切勒會認(rèn)為他可以通過我的云物理研究，把他的懸浮體動力學(xué)推廣到氣溶膠力學(xué)中去。

　　 懸浮體或膠體廣泛地存在于自然界和各種工程領(lǐng)域。整個大氣就是一個氣溶膠系統(tǒng)，江河湖泊和海洋就是水溶膠系統(tǒng)。人體內(nèi)的呼吸系統(tǒng)則是氣溶膠系統(tǒng)，血液循環(huán)系統(tǒng)則是水溶膠系統(tǒng)�；瘜W(xué)工程管道中的則是水溶膠，液溶膠或氣溶膠。煤礦工程中的水煤漿系統(tǒng)，水利工程中的水庫中的都是水溶膠。粉塵車間中的，和煙筒中冒出來的濃煙，是高濃度的氣溶膠。在高科技工業(yè)中制造大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路的超凈工作間里，則是超低濃度的氣溶膠�？梢姂腋◇w是個很重要的研究對象。愛因斯坦，斯莫魯霍夫斯基和巴切勒這樣一些大科學(xué)家把懸浮體或膠體選擇為自己的研究對象，是一種很明智，很有遠(yuǎn)見的選擇。當(dāng)然，人類對懸浮體的研究還要更早，它起自18，19世紀(jì)，至今已有幾百年的歷史。其中最著名的是19世紀(jì)初期，在1827年，由英國的植物學(xué)家布朗（Brown）發(fā)現(xiàn)的懸浮粒子的無規(guī)運(yùn)動，后來就被人們稱做是布朗運(yùn)動。這個運(yùn)動引起了物理學(xué)家的極大興趣，因為它證實了物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)。原來這種無規(guī)的布朗運(yùn)動來源于粒子周圍的流體中分子的無規(guī)熱運(yùn)動，對懸浮粒子的無規(guī)撞擊。因為懸浮粒子很小，這種無規(guī)撞擊的效應(yīng)才顯現(xiàn)得出來。否則當(dāng)物體比較大時，這種效應(yīng)就被平滑掉了。于是懸浮粒子的無規(guī)的布朗運(yùn)動就成為當(dāng)時物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)最有力的證明。然而布朗粒子無規(guī)運(yùn)動本身還有其規(guī)律性，這個規(guī)律性則是到了20世紀(jì)初期，由愛因斯坦，朗之萬和斯莫魯霍夫斯基等物理學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的。后來的進(jìn)一步發(fā)展就形成了懸浮體力學(xué)，膠體動力學(xué)，乃至膠體科學(xué)。這更加證明了愛因斯坦和斯莫魯霍夫斯基等人選擇的遠(yuǎn)見卓識。當(dāng)然就膠體科學(xué)而言，光有物理學(xué)家的努力還不行，這是一個多學(xué)科交叉的產(chǎn)物。其中，化學(xué)家和化學(xué)工程學(xué)家的貢獻(xiàn)也非常重要。美國的膠體科學(xué)家大部分都工作在各大學(xué)的化學(xué)工程系。我因為在美國的《膠體和界面科學(xué)雜志（J.Colloid and Interface Sci.）》發(fā)表了一些論文，美國化學(xué)學(xué)會就幾次來函邀請我為該學(xué)會的會員。20世紀(jì)里幾個重大的交叉學(xué)科的產(chǎn)生，都有類似的情況。如我所從事的大氣科學(xué)，原來叫氣象學(xué)，后來物理學(xué)滲透進(jìn)來了，就有了大氣物理。接著化學(xué)又滲透進(jìn)來，就有了大氣化學(xué)，最后多學(xué)科交叉結(jié)果就是現(xiàn)在的大氣科學(xué)。又如生命科學(xué)。原來叫生物學(xué)，后來產(chǎn)生了生物物理，還有生物化學(xué)，最后多學(xué)科交叉結(jié)果就形成了生命科學(xué)。不過總的來說，在多學(xué)科交叉的過程中，物理學(xué)起著主導(dǎo)作用。

　　2．2．2 單分散（Monodisperse）

　　和多分散(Polydisperse)體系

　　在懸浮體或膠體的研究中，經(jīng)常把它分成兩大類，即單分散和多分散體系。這是在懸浮粒子球形模型下的兩個概念。所謂單分散即指該體系中所有的粒子半徑和組成的成分相同。它們的粒徑譜和成分譜都是單譜。而多分散則是指系統(tǒng)中粒子的半徑或組成成分有一個不同。它們的粒徑譜或成分譜有一個是多譜。單分散體系在自然界和工程領(lǐng)域極為罕見。富克斯曾在他的名著《氣溶膠力學(xué)》中講到，La Mer 發(fā)生器和某些植物花粉或孢子所形成的氣溶膠，相對而言是單分散的。例如，三葉草花粉粒子半徑在24.8─26.9微米范圍內(nèi)。當(dāng)然嚴(yán)格講，這仍然不是單分散體系。嚴(yán)格的單分散體系其粒徑譜應(yīng)為真正的單譜，譜寬度應(yīng)為0。那為甚麼人們還要研究它呢。這是因為單分散體系是最簡單的懸浮體。在這種體系中，粒子的沉降速度相同，他們之間的相對沉降速度為0，彼此之間的距離不會改變。雖然他們具有絕對沉降速度，它們和地面的距離會越來越小。在這種條件下，對理論研究特別有利，有可能找到嚴(yán)格的解析解，實驗室中也可以驗證，從而對該問題的物理機(jī)制得到一個初步的了解。例如，巴切勒的單分散沉降理論。當(dāng)然，單分散沉降理論存在著明顯的局限性，這也就是為什麼在1982年巴切勒和我要把它推廣到多分散體系中去的原因。顯然多分散比單分散問題復(fù)雜得多，因為此時粒子之間的相對沉降速度不再是0。這問題我們會在第四章中更詳盡地談到它。

　　2．2．3 懸浮粒子的碰并和膠體的穩(wěn)定性

　　懸浮粒子在各種力的作用下產(chǎn)生了相對運(yùn)動，最后發(fā)生粒子之間的碰撞，在有利的條件下，特別是當(dāng)粒子間的 范德瓦爾斯分子引力勢比較強(qiáng)的時候，兩個粒子就會粘連在一起，形成一個聚合體。如果是兩個水滴，就會合并成一個新的大水滴，這種現(xiàn)象叫碰并，或叫聚集，或凝聚，或聚沉，或凝并。都是一個意思，英文原文是一個字 Coagulation, 現(xiàn)在還沒有統(tǒng)一的翻譯方法， 不同的學(xué)科和不同的人有不同的譯法。云物理中譯為碰并，因為云滴和云滴之間的Coagulation，會使兩個云滴合并成為一個新的體積為原來兩個云滴體積之和的大云滴。我出身于云物理，按照我的老習(xí)慣，還是譯為碰并。當(dāng)然，在云物理中有時也使用Coalesence,那就不會發(fā)生混淆。可是在云物理中，確實也常用Coagulation 這個字，講的是一回事。

　　碰并過程發(fā)展的結(jié)果，在懸浮體或膠體中粒子的數(shù)密度會越來越少，而比原來粒子大的聚合體的數(shù)目也就會從無到有且越來越多，粒子的平均半徑越來越大，粒子的平均沉降速度也必然會越來越快，越來越多的大粒子就從膠體中分離出來，沉淀到膠體的底部，而把純凈的流體留在了上部，膠體就不穩(wěn)定了，這種膠體就叫做不穩(wěn)定膠體。相反的情況，當(dāng)粒子間的范德瓦爾斯分子引力勢被屏蔽掉，而有很強(qiáng)的庫侖靜電斥力勢的時候，粒子相碰后就不會發(fā)生并合或粘連，而會使粒子反彈回去，不會產(chǎn)生聚合體。這種膠體就可以長時間維持下去，叫穩(wěn)定的膠體。更為嚴(yán)重的是，當(dāng)粒子有碰并現(xiàn)象發(fā)生時，膠體會由原來的分散狀態(tài)，轉(zhuǎn)化為聚集狀態(tài)，此時幾乎所有的膠體性質(zhì)，都要發(fā)生變化，所以膠體的穩(wěn)定性問題，就成為膠體科學(xué)的核心問題。又由以上的論述中可以看出，決定膠體穩(wěn)定度大小的正是懸浮粒子的碰并率。膠體科學(xué)中所定義的膠體穩(wěn)定度，正是和懸浮粒子的碰并率成反比。碰并率為0時，穩(wěn)定度為無窮大，膠體絕對穩(wěn)定。碰并率為無窮大時，穩(wěn)定度為0，膠體絕對不穩(wěn)定。很明顯對懸浮粒子碰并率的研究，就必然成為膠體科學(xué)中的核心問題 。斯莫魯霍夫斯基選擇碰并問題作為他的研究膠體的切入點(diǎn)，確是非常英明的選擇，這使他不但成為膠體動力學(xué)的奠基人之一，而且也成為現(xiàn)代膠體科學(xué)的奠基人之一。從而再一次證明選題在科學(xué)研究事業(yè)中的極端重要性。

　　2．2．4 對分布方程和皮克列特數(shù)

　　2．2．4．1 雙球模型

　　本書第一章中談到巴切勒在研究懸浮粒子的動力學(xué)問題時，把他的研究對象規(guī)定為稀釋的懸浮體。也就是說這種懸浮體的體積濃度必須遠(yuǎn)小于1。此時懸浮體中多粒子之間的各種相互作用，就可簡化為兩個粒子之間的相互作用。對于球形粒子而言，就可以用雙球模型來近似這種多粒子的懸浮體。問題就簡單多了，是目前人類還有辦法處理的事。體積濃度和數(shù)密度是兩個不同的概念。后者講的是單位空間體積中有多少個粒子，它是一個有量綱量，數(shù)值可以遠(yuǎn)大于1。而體積濃度講的是單位空間體積中粒子本身的總體積是多少，顯然這是一個無量綱量，數(shù)值不可能大于1。理論上只有粒子完全充滿空間時，粒子的體積濃度其數(shù)值才會等于1。而這實際上不可能。對于球形粒子而言，當(dāng)體積濃度達(dá)到0 .5以上時，其動力學(xué)上的效應(yīng)，就已和粒子充滿空間相近了。實驗表明當(dāng)粒子的體積濃度小于0.02時，這種懸浮體就可以用雙球模型的稀釋懸浮體來近似。這要求并不算高，大氣氣溶膠就滿足此條件。雖然大氣氣溶膠的數(shù)密度非常大，每立方厘米中可以有幾千到幾萬，甚至更大。但是由于粒子的典型大小只有1微米，還有大量更小的粒子，所以大氣氣溶膠的體積濃度不僅遠(yuǎn)小于1，而且遠(yuǎn)小于0. 02，都可以用雙球模型的稀釋懸浮體來近似。還要補(bǔ)充一點(diǎn)，雙球模型的稀釋懸浮體并不是巴切勒的發(fā)明，早在20世紀(jì)初，從斯莫魯霍夫斯基開始，就使用了這種雙球模型的稀釋懸浮體。因為直到現(xiàn)在，三體以上的多體相互作用問題，還是人們處理不了的事，這一點(diǎn)本書第四章還要進(jìn)一步談到它。盡管如此，就稀釋體系的雙球模型而言，卻仍然是十分復(fù)雜的問題，在20世紀(jì)里，雙球的各種相互作用，使人們花費(fèi)了不少腦筋。例如雙球的范德瓦爾斯分子引力勢，雙球荷電以后他們之間的庫侖靜電斥力或引力勢，雙球之間的流體動力相互作用等等。自從斯莫魯霍夫斯基以后，一代一代的科學(xué)家們對這些問題絞盡了腦汁，正好在我到達(dá)劍橋時，才有了一些比較好的答案。我們才能在這些人工作的基礎(chǔ)上，繼續(xù)前進(jìn)。在求解雙球各種相互作用下的對分布方程中，取得了一批較好的結(jié)果，使懸浮粒子碰并問題以及沉降問題都得到了一些突破性進(jìn)展。應(yīng)該承認(rèn)我到達(dá)劍橋師從巴切勒的時機(jī)，真是非常巧非常難得的機(jī)遇。機(jī)會難得，我真是太幸運(yùn)了。

　　2．2．4．2 對分布函數(shù)

　　懸浮體力學(xué)認(rèn)為粒子的隨機(jī)的布朗運(yùn)動，是懸浮粒子運(yùn)動最基本的特征。因此原則上對粒子運(yùn)動位置的描寫，應(yīng)該用概率論的方法，而不應(yīng)用確定論型的軌跡分析方法。一般情況下，人們無法確知在某一時刻，某一布朗粒子運(yùn)動到了何處，而只能談它到達(dá)某一位置的概率是多少。所謂對分布函數(shù)就是在粒子的雙球模型中，描述某一代表性的球在某一時刻，發(fā)現(xiàn)它的中心處在，相對于參考球中心的向量距離為r 的位置上，其概率密度是多少。這里所謂概率密度又是指單位空間體積中，發(fā)現(xiàn)該代表性球的概率。我們對這兩個球加上標(biāo)號。代表性球叫j球，參考球叫i球。一個是j球，另一個是i球，這兩個球形粒子構(gòu)成了一個球形粒子對，所以上述概率密度函數(shù)就叫做對分布函數(shù)。它是時刻t和向量距離r的函數(shù)。本質(zhì)上它就是j球的概率密度。不過是以i球中心為參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)罷了。它的運(yùn)動速度都是指它相對于i球中心的運(yùn)動速度。不是相對于地面的絕對運(yùn)動速度。當(dāng)已知對分布函數(shù)時，把它和j球的數(shù)密度相乘，就得到了j球的數(shù)密度分布函數(shù)，再乘以粒子的相對速度，就會得到j(luò)球相對于i球中心的輸送量。把這個量在兩個球相碰的碰撞面上積分，就可得到j(luò)球和i球的碰并率。所以關(guān)鍵問題是要得到對分布函數(shù)的解。這就要求我們?nèi)デ蠼鈱Ψ植挤匠獭?/p>

　　2．2．4．3 進(jìn)入正題

　　支配對分布函數(shù)變化的方程叫對分布方程。這方程是一種守恒型的方程。該方程是說，當(dāng)空間中沒有j球的源地，也沒有吸收掉j球的匯時，j球的對分布函數(shù)的局地變化就決定于，總的j球的對分布函數(shù)輸送通量的負(fù)散度�？偟膉球的對分布函數(shù)輸送通量是重力對流輸送通量，粒子間勢力輸送通量和布朗擴(kuò)散輸送通量，三個通量的和。散度是對這總通量的一種向量運(yùn)算。所得結(jié)果的物理意義是指，在運(yùn)算地點(diǎn)上單位時間和單位空間體積中，j球輸送出去的量值。輸送出去的量對當(dāng)?shù)氐膉球而言是減少了，所以在散度前面要加一個負(fù)號。

　　對分布方程是一個二階的，線性的，時空四維的偏微分方程。方程雖是線性的，好像比非線性的方程容易求解，其實不然。由于它的三個輸送項的系數(shù)，在雙球間的流體動力相互作用下，(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁)

　　都不是常數(shù)，而和j球距i球的距離和方位有關(guān)。所以它們是三個非均勻場，當(dāng)然是三個已知的非均勻場。這就是問題的困難所在。大家知道，求解以非均勻場為系數(shù)的線性二階偏微分方程，它的難度其實和求解非線性的二階偏微分方程相同。例如到現(xiàn)在人們還無法求出其嚴(yán)格解的黏性流體力學(xué)的納維－斯托克斯方程。盡管如此，20世紀(jì)中的流體力學(xué)家已經(jīng)做了大量工作，發(fā)明出一整套的微擾方法，包括奇異擾動法和規(guī)則擾動法，從而求出了許多納維－斯托克斯方程的近似解，解決了許多工程上的難題。借用這些方法，我們也已求出一些對分布方程的近似解，從而把懸浮粒子的碰并和沉降理論推向前進(jìn)。本章要講的創(chuàng)新點(diǎn)（1）就是其之一。

　　在用微擾方法求解對分布方程中，最常用的微擾參數(shù)就是我們在前面已經(jīng)講過多次的皮克列特數(shù)。實際上，它是從對分布方程無量綱化后得到的。所以它的確切的定義是，j球相對于i球的重力對流輸送項和布朗擴(kuò)散輸送項的比。對分布方程無量綱化后還得到另一個無量綱參數(shù)，就是Qij數(shù)。它的定義是，j球相對于i球的重力對流輸送項和粒子間的勢力輸送項的比。這兩個無量綱數(shù)彼此不相互獨(dú)立，而是成正比，比例系數(shù)已知。所以，歸根結(jié)底，對分布方程的解主要決定于皮克列特數(shù)。當(dāng)它小于1時，我們就把它本身當(dāng)作微擾參數(shù)。當(dāng)它大于1時，我們就把它的倒數(shù)當(dāng)作微擾參數(shù)。這和求解納維－斯托克斯方程時，把雷諾數(shù)當(dāng)作是微擾參數(shù)相似。這里我們再把皮克列特數(shù)和前面講的單分散和多分散體的關(guān)系講一下。因為皮克列特數(shù)和兩粒子間的相對重力沉降速度成正比，所以單分散體系的皮克列特數(shù)是0，而多分散體系的皮克列特數(shù)就不為0。由于皮克列特數(shù)和粒子半徑的4次方成正比，所以當(dāng)粒子的半徑從亞微米過度到微米量級時，它們的皮克列特數(shù)可以從遠(yuǎn)小于1的量值過度到遠(yuǎn)大于1的量值，從而使對分布函數(shù)的解發(fā)生質(zhì)的變化。

　　2．2．5 斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法

　　2．2．5．1 軌跡法的成功之處

　　創(chuàng)新點(diǎn)（1）是對斯莫魯霍夫斯基軌跡分析法的突破。在講這次突破之前，還有必要對這個方法加以分析。我們在第一章中已經(jīng)談到斯莫魯霍夫斯基憑借他的兩個大膽的假定，開辟出現(xiàn)代懸浮粒子碰并問題的研究道路。其中第一個假定是人們可以用懸浮粒子兩種極限碰并的研究取代耦合碰并研究，這包括可完全忽略在高皮克列特數(shù)下弱一些的布朗運(yùn)動。這樣他就成功地避開了一個難題，即：在高皮克列特數(shù)條件下，懸浮粒子強(qiáng)對流和弱布朗兩種性質(zhì)不同的運(yùn)動耦合碰并難題。而把該過程轉(zhuǎn)化為純確定論型的對流碰并問題。對此，人們就可以用軌跡分析法處理，其中j球相對于i球的相對運(yùn)動軌跡完全可以計算出來，進(jìn)一步找到兩個球形粒子的相切軌跡后，就可得到對流碰并率。非隨機(jī)的對流運(yùn)動又分兩大類，一類是由重力造成的，叫重力碰并率。一類是由背景流場造成的，叫背景流場碰并率。背景流場又有不同形式，比如剪切流場，就成剪切碰并率；
又比如軸對稱純變形流場，就成軸對稱純變形場碰并率等等。當(dāng)然，僅僅憑這個假定，斯莫魯霍夫斯基在20世紀(jì)初還不能得到上述各種對流碰并的具體答案。為此，他還必須補(bǔ)充以第二個大膽假定，即忽略掉粒子間的各種相互作用，這樣他才能成功地在20世紀(jì)初得到了上述各種對流碰并一級近似解。

　　軌跡分析法不僅使斯莫魯霍夫斯基在20世紀(jì)初得到上述的成功。而且，以后人們在研究各種粒子間的相互作用對于對流碰并的影響時，繼續(xù)得到成功的應(yīng)用。這包括粒子間的流體動力相互作用；
粒子間范德瓦爾斯 分子引力勢相互作用；
還有粒子荷電以后，帶電粒子之間的各種庫侖靜電勢相互作用。就水溶膠而言，帶電粒子均荷同號電，庫侖靜電勢是斥力勢。就氣溶膠而言，則同號電和異號電荷均有，故此在氣溶膠中既有庫侖靜電斥力勢，也有庫侖靜電引力勢。這些相互作用也都是確定論型的。因此，在研究它們對于對流碰并的影響時，也都可以繼續(xù)使用斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法。直到現(xiàn)在，人們對于在各種粒子間的相互作用下的對流碰并過程已有了一個相當(dāng)全面相當(dāng)深入的理解。對于斯莫魯霍夫斯基對流碰并率的一級近似解，得到各種各樣的修正系數(shù)。這是軌跡分析法的又一次成功。

　　2．2．5．2 軌跡分析法的局限性

　　正像本書第一章“西風(fēng)凋碧樹”一節(jié)里講的那樣，一切理論都有它的局限性。斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法這顆大樹也不例外，也有它的局限性。軌跡分析法的第一個也是最主要的局限性，就是人們無法在此方法的基礎(chǔ)上去研究弱布朗運(yùn)動對于對流碰并的影響，從而得到對流碰并的二級近似解。因為只要有一點(diǎn)點(diǎn)布朗運(yùn)動存在，粒子運(yùn)動的軌跡就無法計算出來。有弱布朗運(yùn)動影響的對流碰并二級近似解就無法找到。

　　軌跡分析法的第二個局限性在于，粒子運(yùn)動的軌跡一般都要用數(shù)值計算方法求出。不僅如此，當(dāng)人們使用軌跡分析法來計算碰并率，在找出兩粒子之間的相切軌跡時，還必須進(jìn)行數(shù)值試驗。只有通過數(shù)值試驗，才能找出相應(yīng)的相切軌跡。于是用這種方法得到的碰并率一般只能是數(shù)值解。不可能得到解析解。大家知道人們很難通過數(shù)值解，了解到過程的真實物理，為要發(fā)現(xiàn)過程的真實物理，只有得到解析解才行。而這是軌跡分析法所難以做到的。

　　2．2．5．3 我們的想法

　　為克服軌跡分析法上述的局限性，出路在于要放棄軌跡分析法，轉(zhuǎn)而使用概率論方法。具體到我們的問題而言，就是要使用統(tǒng)計理論方法。對于稀釋懸浮體而言就是要使用粒子對的統(tǒng)計對分布方程法。因為在統(tǒng)計對分布方程中，與描述隨機(jī)的布朗運(yùn)動的布朗擴(kuò)散項同時，還包含了描述非隨機(jī)的對流運(yùn)動貢獻(xiàn)的對流輸送項。因此，統(tǒng)計理論原則上可以解決兩類不同性質(zhì)同時存在時的耦合碰并問題，并有可能得到解析解。但統(tǒng)計理論還存在一個重要問題，那就是它能否解決完全忽略掉布朗運(yùn)動的純對流碰并問題。因為在完全忽略了布朗運(yùn)動以后，問題就轉(zhuǎn)化為純確定論型。而統(tǒng)計理論卻屬于概率論型范疇。對于這問題，我們的答案是肯定的。因為實際上，我們認(rèn)為確定論型的問題與概率論型并不完全矛盾、相互排斥。前者只不過是后者的一個特例。當(dāng)概率趨于1時，隨機(jī)事件就應(yīng)轉(zhuǎn)化為必然事件。對于統(tǒng)計理論對分布方程而言，當(dāng)皮克列特數(shù)趨于無窮大時，它的解就應(yīng)該轉(zhuǎn)化為確定論型的解，從而必定會和軌跡分析法一致。因此，完全可以突破斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法限制，在對流碰并的范圍里建立統(tǒng)計理論。

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