摘要：幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力，這類題目出法相當(dāng)靈活。安徽省中考數(shù)學(xué)卷，連續(xù)四年用此類型問(wèn)題壓軸。掌握一定的分析、解決問(wèn)題的方法，總結(jié)一些相對(duì)固定的幾何模型，能讓學(xué)生真正做到舉一反三，提高學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力。
　　關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；壓軸題；解題方法
　　中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）12-0117
　　幾何證明的主要方法有綜合法和分析法。綜合法是指由因?qū)Ч�，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；分析法是指執(zhí)果索因，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)或命題條件為止。而在實(shí)際解題過(guò)程中，往往要將這兩種方法結(jié)合起來(lái)綜合運(yùn)用。下面就以2016年安徽中考數(shù)學(xué)卷壓軸題解題指導(dǎo)為例，談?wù)勅绾斡行�求解幾何證明題。
　　一、原題呈現(xiàn)
　�。�2016·安徽）如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)。
　　（1）求證：△PCE≌△EDQ；
　　（2）延長(zhǎng)PC，QD交于點(diǎn)R。
　�、偃鐖D1，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；
　　②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和■的值。
　　二、解題指導(dǎo)
　　在解決幾何問(wèn)題時(shí)，審題尤為重要。讀題時(shí)，要能將已知條件融于圖形中，了解圖形的建構(gòu)過(guò)程，然后從復(fù)雜的圖形中抽象出簡(jiǎn)單的幾何模型。本題的條件較為簡(jiǎn)單，但圖形結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。分析已知條件：根據(jù)△OAP、△OBQ為等腰直角三角形，點(diǎn)C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，我們可以從圖形中得到“由等腰直角三角形及底邊中線”構(gòu)成的第一個(gè)簡(jiǎn)單幾何模型。在這一模型中，有我們熟悉的“等腰三角形三線合一”及“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”兩個(gè)重要的定理。由此，可得出：PC垂直平分OA；QD垂直平分OB；PC=■OA；QD=■OB等結(jié)論。此外，根據(jù)點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)這一條件，我們可從圖形中得到“由三角形的中位線構(gòu)造的平行四邊形”模型。在這一模型中，有我們熟識(shí)的“中位線定理”及“平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)”。由此，可得出：CE∥■OB；DE∥■OA及平行四邊形CODE的有關(guān)性質(zhì)。審題至此，問(wèn)題（1）“求證：△PCE≌△EDQ”的求解便水到渠成。
　　三、解題反思
　　幾何問(wèn)題的解決，要求學(xué)生必須在牢固掌握概念、法則、定理的幾何圖形基礎(chǔ)上，能準(zhǔn)確運(yùn)用幾何語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。在具體的解題過(guò)程中，能從復(fù)雜的幾何圖形中抽象出簡(jiǎn)單基本的幾何模型，進(jìn)而豐富已知條件，為利用綜合法解決問(wèn)題提供保證。
　　問(wèn)題（2）的第①問(wèn)“求證：△ABR為等邊三角形”，可從分析法入手。證明一個(gè)三角形為等邊三角形，常用方法有四種：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形。結(jié)合問(wèn)題（1）的證明過(guò)程，認(rèn)識(shí)到直線PR、QR分別為線段OA、OB的中垂線。此時(shí)，聯(lián)想到中垂線的性質(zhì)定理，可嘗試連接RO，簡(jiǎn)單推理后，可得到RA=RB。接下來(lái)，結(jié)合本題補(bǔ)充條件∠MON=150°，解決問(wèn)題的的思路便基本明確。接下來(lái)，需要在等腰△ABR中尋找出一個(gè)60°的角。當(dāng)我們將已知角（包括垂直產(chǎn)生的角）在圖中逐一標(biāo)注后，便能發(fā)現(xiàn)一個(gè)四邊形RCOD，它的四個(gè)內(nèi)角中已知三個(gè)內(nèi)角，由此可得，∠CRD=30°。在此基礎(chǔ)上，說(shuō)明∠ARB=60°時(shí)，圖形中包含一個(gè)有關(guān)角平分線定義的典例模型：在∠ARB內(nèi)部引一條射線RO，分別作∠ARO與∠BRO的角平分線。至此，便可證得△ABR為等邊三角形。
　　問(wèn)題解決的突破口在于輔助線RO的連接。在幾何問(wèn)題的解決過(guò)程中，往往會(huì)遇到不完整的定理模型，此時(shí)需要根據(jù)定理的內(nèi)容添加一些必要的輔助線。此外，解題時(shí)，還要注意補(bǔ)充條件的價(jià)值。補(bǔ)充條件往往對(duì)于問(wèn)題的解決具有很強(qiáng)的指向性，這可以讓我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，少走彎路。另外，在平時(shí)的習(xí)題演練中，對(duì)于一些典例模型的熟悉和掌握也是必要的。
　　接下來(lái)探究第②個(gè)問(wèn)題時(shí)，一上來(lái)很難找到頭緒。在第3幅圖中，當(dāng)△ARB∽△PEQ時(shí)，兩個(gè)三角形都像是等腰直角三角形�；仡^觀察第2幅圖，當(dāng)我們嘗試連接PQ，會(huì)發(fā)現(xiàn)△PEQ依然保持直角三角形的形狀。在第1幅圖中，∠PEQ任保持直角形狀。此時(shí)，經(jīng)過(guò)推理，可得出∠PEQ恒為直角的結(jié)論。這時(shí)，通過(guò)前面問(wèn)題的解決，想到∠MON大小可以通過(guò)180°-∠CRD得到，而∠CRD又等于∠ARB的一半。至此，∠MON的度數(shù)便可迎刃而解。通過(guò)這一問(wèn)題的解決，我們可從圖中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全新的Rt△：Rt△APB和Rt△AQB，并且PE、QE分別為兩直角三角形斜邊上的中線，由此可得，AB=2QE。在等腰直角三角形PEQ中，PQ=■QE。至此，便可求出■的值。
　　我們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)時(shí)，當(dāng)解完一個(gè)幾何綜合題后，還要做進(jìn)一步探究：解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是什么，圖形中包含有哪些簡(jiǎn)單幾何模型，解題時(shí)用到了哪些定理，圖形中還可以尋找出哪些結(jié)論，問(wèn)題還可以怎樣進(jìn)行延伸。學(xué)無(wú)止境中有法。這樣的解題反思，可以讓我們熟悉一般問(wèn)題的建構(gòu)過(guò)程，掌握解決常見(jiàn)問(wèn)題的基本策略，從而提高我們的解題能力。
　�。ㄗ髡邌挝唬喊不帐�寧國(guó)市汪溪初中 242300）

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