第三章

　消費者選擇 第一部分

　教材配套習題本習題詳解

�。保�已知一件襯衫的價格為８０元，一份肯德基快餐的價格為２０元，在某消費者關于這兩種商品的效用最大化的均衡點上，一份肯德基快餐去替代襯衫的邊際替代率 ＭＲＳ是多少？

　解答：用 Ｘ

　表示肯德基快餐的份數(shù)； Ｙ

　表示襯衫的件數(shù)； ＭＲＳ ＸＹ

　表示在 維持效用水平不變的前提下，消費者增加一份肯德基快餐消費時所需要放棄的襯衫的消費數(shù)量。在該消費者實現(xiàn)關于這兩種商品的效用最大化時，在均衡點上有邊際替代率等于價格比，則有：

　20 180 4XXYYP YMRSX P?? ? ? ? ?? 它表明，在效用最大化的均衡點上，該消費者關于一份肯德基快餐對襯衫 的邊際替代率 ＭＲＳ 為 0.25。

�。玻�假設某消費者的均衡如圖３—2１所示。其中，橫軸 ＯＸ １ 和縱軸 ＯＸ ２ 分別表示商品１和商品２的數(shù)量，線段 ＡＢ 為消費者的預算線，曲線 Ｕ

　為消費者的無差異曲線， Ｅ 點為效用最大化的均衡點。已知商品１的價格 Ｐ １ ＝２元。求: （１）求消費者的收入；

�。ǎ玻┣笊唐罚驳膬r格 Ｐ ２ ；

�。ǎ常�寫出預算線方程；

�。ǎ矗┣箢A算線的斜率；

�。ǎ担┣螅劈c的ＭＲＳ 1２ 的值。

　 圖３—2１ 某消費者的均衡

　解答：（１）橫軸截距表示消費者的收入全部購買商品１的數(shù)量為３０單位，且已知 Ｐ １＝２元，所以，消費者的收入

�。� ＝２×３０＝６０元。

�。ǎ玻﹫D３—１中縱軸截距表示消費者的收入全部購買商品２的數(shù)量為２０單位，且由（１）已知收入 Ｍ ＝６０元，所以，商品２的價格 P 2 ＝M20 ＝6020 ＝3（元）。

�。ǎ常┯捎陬A算線方程的一般形式為 P 1 X 1 ＋ P 2 X 2 ＝ M, 所以本題預算線方程具體寫為：2 X 1 ＋3 X 2 ＝60。

�。ǎ矗�(4)將(3)中的預算線方程進一步整理為 X 2 ＝－ 23 X1 ＋20。所以，預算線的斜率為－ 23 。

　(5)在消費者效用最大化的均衡點 E 上，有2 1121 2X PMRSX P?? ? ??，即無差異曲線斜率的絕對值即 MRS 等于預算線斜率的絕對值 P1P 2 。因此， MRS12 ＝ P1P 2 ＝23 。

　 3．對消費者實行補助有兩種方法：一種是發(fā)給消費者一定數(shù)量的實物補助，另一種是發(fā)給消費者一筆現(xiàn)金補助，這筆現(xiàn)金額等于按實物補助折算的貨幣量。試用無差異曲線分析法，說明哪一種補助方法能給消費者帶來更大的效用。

　解答：一般說來，發(fā)給消費者現(xiàn)金補助會使消費者獲得更大的效用。其原因在于：在現(xiàn)金補助的情況下，消費者可以按照自己的偏好來購買商品，以獲得盡可能大的效用。如 圖３—３所示。

　圖 ３ — ３ 實物補貼和貨幣補貼

　 在圖中， ＡＢ

　是按實物補助折算的貨幣量等于現(xiàn)金補助情況下的預算線。在現(xiàn)金補助 的預算線 ＡＢ

　上，消費者根據自己的偏好選擇商品 １ 和商品 ２ 的購買量分別為*1X

　 和*2X ，從而實現(xiàn)了最大的效用水平 Ｕ ２ ，即在圖３—３中表現(xiàn)為預算線 ＡＢ

　和無差異曲線 Ｕ ２ 相切的 均衡點 Ｅ 。

　在實物補助的情況下，則通常不會達到最大的效用水平 Ｕ ２ 。因為，譬如，當實物補助兩商品數(shù)量分別為 ｘ １１ 、 ｘ ２１ 的 Ｆ 點，或者為兩商品數(shù)量分別為 ｘ １２和 ｘ ２２ 的 Ｇ 點時，則消 費者獲得無差異曲線 Ｕ １ 所表示的效用水平，顯然， Ｕ １＜ Ｕ ２。

　4. 假設某商品市場上只有 A 、 B 兩個消費者，他們的需求函數(shù)各自為 QdA ＝20－4P 和 QdB ＝30－5P。

　(1)列出這兩個消費者的需求表和市場需求表。

　(2)根據(1)，畫出這兩個消費者的需求曲線和市場需求曲線。

　解答：(1)由消費者 A 和 B 的需求函數(shù)可編制消費 A 和 B 的需求表。至于市場的需求表的編制可以使用兩種方法，一種方法是利用已得到消費者 A 、 B 的需求表，將每一價格水平上兩個消費者的需求數(shù)量加總來編制市場需求表；另一種方法是先將消費者 A 和 B 的需求函數(shù)加總求得市場需求函數(shù)，即市場需求函數(shù) Qd ＝ Q dA ＋ QdB ＝(20－4 P )＋(30－5 P )＝50－9 P ， 然后運用所得到的市場需求函數(shù) Qd ＝50－9 P來編制市場需求表。按以上方法編制的需求表如下所示。

　P A A 的需求量 QdA

　A A 的需求量 QdB

　市場需求量 QdA + QdB

　0 20 30 50 1 16 25 41 2 12 20 32 3 8 15 23 4 4 10 14 5 0 5 5 6

　0 0

　(2)由(1)中的需求表，所畫出的消費者 A 和 B 各自的需求曲線以及市場的需求曲線如圖 3—4 所示。

　圖 3-4 消費者 A 和 B 各自的需求曲線以及市場的需求曲線 在此，需要特別指出的是，市場需求曲線有一個折點，該點發(fā)生在價格 P＝5 和需求量 Qd ＝5 的坐標點位置。關于市場需求曲線的這一特征解釋如下：市場需求曲線是市場上單個消費者需求曲線的水平加總，即在 P≤5 的范圍，市場需求曲線由兩個消費者需求曲線水平加總得到，在P≤5 的范圍，市場需求函數(shù) Qd ＝ Q dA ＋ QdB ＝(20－4 P )＋(30－5 P )＝50－9P 成立；；而當 P＞5 時，消費者 A 的需求量為 0，只有消費者 B 的需求曲線發(fā)生作用，所以，P＞5 時， B 的需求曲線就是市場需求曲線。當 P＞6 時，只有消費者 B 的需求也為 0。

　市場需求函數(shù)是：

　Q =

　 市場需求曲線為折線，在折點左，只有 B 消費者的需求量；在折點右邊，是 AB 兩個消費者的需求量的和。

　5.已知某消費者關于 X 、 Y

　兩商品的效用函數(shù)為 U = xy

　 其中 x 、 y

　分別為對商品 X 、 Y 的消費量。

　 (1)求該效用函數(shù)關于 X 、 Y

　兩商品的邊際替代率表達式。

　(2)在總效用水平為 6 的無差異曲線上,若 x =3,求相應的邊際替代率 MRS XY 。

　0

　P＞6 30－5P

　5≤ P≤6 50－9P

　0≤ P≤5

　(3)在總效用水平為 6 的無差異曲線上,若 x =4,求相應的邊際替代率 MRS XY 。

　(4)該無差異曲線的邊際替代率是遞減的嗎? 解答：(1) XMU =U＇(X)=1 12 212X Y? ,YMU =U＇(Y)=1 12 212X Y? XXYYMU YMRSX MU?? ? ??=1 12 21 12 212X YX Y?? =YX

　 (2)

　6 = xy ，XY=36; 若 x =3，y=12 XYMRS = YX =12=43 (3)

　6 = xy ，XY=36; 若 x =4，y=9 XYMRS = YX =9=2.254 (4)當 x =3 時，XYMRS =4；當 x =4 時，XYMRS =2.25，所以該無差異曲線的邊際替代率是遞減的。

　 6.已知某消費者每年用于商品 1 和商品 2 的收入為 540 元，兩商品的價格分別為 P 1 =20 元和P 2 =30 元，該消費者的效用函數(shù)為 U=3X 1 X22 ，該消費者每年購買這兩種商品的數(shù)量各應是多少？每年從中獲得總效用是多少？ 解答：

　21 1 212 2 1 22( ) 3( ) 6UMU U X XXUMU U X X XX?? ? ? ???? ? ? ?? 把已知條件和1 2MU MU ， 值帶入下面均衡條件1 21 21 1 2 2MU MUP PPX P X M?????? ??

　得方程組：22 1 21 23 620 3020 30 540X X XX X?? ???? ?? 解方程得，X 1 =9，X 2 =12,

　 U=3X 1 X 2 2 =3 × 9 × 122=3888

　7.假定某消費者關于商品 1 和商品 2 的效用函數(shù)為852831X X U ? ，商品 1 和商品 2 的價格分別為 P 1 、P 2 ，消費者的收入為 M。分別求該消費者關于商品 1 和商品 2 的需求函數(shù)。

�。�

　解：根據消費者效用最大化的均衡條件：21211PPMUMU? ，其中，由已知的效用函數(shù)852831X X U ?可得：8528511183X XdXdTUMU?? ? ，8328312285?? ? X XdXdTUMU

　于是，整理得：

　,532112PPXX? 即有21 1235PX PX ?

�。�1）

　把（1）式代入約束條件 M X P X P ? ?2 2 1 1，有， MPX PP X P ? ?21 12 1 135 解得：1183PMX ? ，代入（1）式得2285PMX ?

　所以，該消費者關于兩商品的需求函數(shù)為1183PMX ? ，2285PMX ?

　 8. 設某消費者的效用函數(shù)為柯布-道格拉斯類型的，即? ?y x U ? ，商品 x 和商品 y 的價格分別為 Px 和 Py，消費者的收入為 M， ? 和 ? 為常數(shù)，且 1 ? ? ? ? 。

�。�1）求該消費者關于商品 x 和商品 y 的需求函數(shù)。

�。�2）證明當商品 x 和商品 y 的價格以及消費者的收入均以相同的比例變化時，消費者對兩商品的需求量維持不變。

　（3）證明消費者效用函數(shù)中的參數(shù) ? 和 ? 分別為商品 x 和商品 y 的消費支出占消費者收入的份額。

　解：（1）由消費者的效用函數(shù)? ?y x U ? ，解得：11??????????? ?? ???y xyUMUyy xxUMU x 消費者的預算約束方程為 M y P x Py X? ?

　根據消費者效用最大化的均衡條件?????? ??M y P x PPPMUyMUy xyX x，代入已知條件，解方程組得消費者關于商品 x 和商品 y 的需求函數(shù)分別為：

　ax=XMP , yy=MP? （2）商品 x 和商品 y 的價格以及消費者的收入同時變動一個比例，相當于消費者的預算線變?yōu)?M y P x Py x? ? ? ? ? ，其中 ? 為一非零常數(shù)。

　此時消費者效用最大化的均衡條件為?????? ??M y P x PPPMUyMUy xyX x? ? ?，由于 0 ? ? ，故該方程組化為?????? ??M y P x PPPMUyMUy xyX x，顯然，當商品 x 和商品 y 的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品的需求關系維持不變。

�。�3）由消費者的需求函數(shù)可得：yxP yP xM M? ? ? ? ， ，式中參數(shù) ? 為商品 x 的消費支出占消費者收入的份額和參數(shù) ? 為商品 y 的消費支出占消費者收入的份額。

　9.已知某消費者關于商品 1 和商品 2 的效用函數(shù)為 U ＝ X 1 X 2 ，商品 1 和商品 2 的價格分別為P 1 ＝4， P 2 ＝2，消費者的收入為 M ＝80�，F(xiàn)在假定商品 1 的價格下降為 P 1 ＝2。

　(1)由商品1 的價格 P 1 下降所導致的總效應，使得該消費者對商品1 的購買量發(fā)生多少變化？ (2)由商品 1 的價格 P 1 下降所導致的替代效應，使得該消費者對商品 1 的購買量發(fā)生多少變化？

　 (3)由商品 1 的價格 P 1 下降所導致的收入效應，使得該消費者對商品 1 的購買量發(fā)生多少變化？

　解答：利用圖解答此題。在圖 3-6 中，當 P 1 ＝4， P 2 ＝2 時，消費者的預算線為 AB ，效用最大化的均衡點為 a 。當 P 1 ＝2， P 2 ＝2 時，消費者的預算線為 AB ′，效用最大化的均衡點為 b 。

　 圖 3 3 —6 6 （1）先考慮均衡點 a。根據效用最大化的均衡條件1 21 21 1 2 2MU MUP PPX P X M?????? ??

　得：2 11 24 24 2 80X XX X?????? ??

　 解得: X 2 ＝20 ,X 1 ＝10

　最優(yōu)效用水平為

　U 1 ＝X 1 X 2 ＝10×20＝200 再考慮均衡點 b。當商品 1 的價格下降為 P 1 ＝2 時，與上面同理，根據效用最大化的均衡條件得：2 11 22 22 2 80X XX X?????? ??

　 解得: X 2 =X 1 ＝20 從 a 點到 b 點商品 1 的數(shù)量變化為 Δ X 1 ＝20－10＝10，這就是 P 1 變化引起的商品 1 消費量變化的總效應。

　(2)為了分析替代效應，作一條平行于預算線AB′且相切于無差異曲線U 1 的補償預算線FG，切點為 c 點。

　在均衡點 c，總效用保持不變，同時滿足邊際效用均等法則，X 1 ，X 2 滿足1 21 21 2200MU MUP PTU X X?????? ??

　即

　 1 21 22 2200X XTU X X?????? ??

　解得 X 1 ＝X 2 。將 X 1 ＝X 2 代入效用約束等式 U 1 ＝X 1 X 2 ＝200，解得 X 1 ＝X 2 ＝10√2 ≈14，

　從 a 點到 c 點的商品 1 的數(shù)量變化為 Δ X 1 ＝10√2－10≈4，這就是 P 1 變化引起的商品 1 消費量變化的替代效應。

　(3)至此可得，從 c 點到 b 點的商品 1 的數(shù)量變化為 Δ X 1 ＝20－10√2 ≈6，這就是 P 1 變化引起的商品 1 消費量變化的收入效應。

　10.某消費者消費兩種商品 X

　和 Y , 假定無差異曲線在各點的斜率的絕對值均為yx， x 、 y 為商品 X 和 Y 的數(shù)量。

　(1)說明每一種商品的需求數(shù)量均不取決于另一種商品的價格。

　(2)證明每一種商品的需求的價格彈性均等于 1。

　(3)證明每一種商品的需求的收入彈性均等于 1。

　(4)每一種商品的恩格爾曲線的形狀如何?

　 解答：（1）根據題意可得，該消費者在效用最大化均衡點滿足無差異曲線的斜率等于預算線斜率，預算線斜率絕對值等于xypp ，所以可得：

　yx=xypp。整理得：y=xyppx。

　把 y=xyppx 代入預算約束等式 xP x ＋yP y =M，解得 x=2XMP

　把 x=2XMP代入預算約束等式 xP x ＋yP y =M，得 y=y2MP 由此可見，X 商品的需求教量與 Y 商品的價檔 P y 無關，Y 商品的需求數(shù)量與 x 商品的價格 P x 無關 （2）X 商品和 Y 商品的需求的價格彈性分別為

　e dx =-2d1d 22X XX XXP P X MMP X PP?? ? ? ? ? （ ）

　e xy =ddPYYP YY? ?2122YYYP MMPP?? ? ? （ ）

　所以，每一種雨品的需求的價格彈性均等于 1 3）X 商品和 y 商品的收入彈性分別為 E mx =-d 11d 22XXX M MMM X PP? ? ? g

　E my =ddPYYP YY? ?1122YYMMPP? ?

　所以，每一種品的需求的收入彈性均等于 1。

�。�4）由 X 商品的需求函數(shù) X=2XMP求 x 商品的恩格爾曲線的斜率為dx 1d 2XM P? 。

　由 Y 商品的需求函數(shù) Y=2YMP求 Y 商品的恩格爾曲線的斜率為dY 1d 2YM P? 。

　所以，兩商品的恩格爾曲線的斜率均為正的常數(shù)。而且，當收入為零時，兩商品的需求數(shù)量均為零，由此可見，X 和 Y 商品的恩格爾曲線均為一條從原點出發(fā)且斜率為正的直線。

　11. 基數(shù)效用論者是如何推導需求曲線的？ 答：

　基數(shù)效用論通過邊際效用遞減規(guī)律、根據消費者效用最大化的均衡條件得來的邊際效用決定商品的價格的結論來推導需求曲線�；鶖�(shù)效用論認為，消費者對某種商品愿意支付的需求價格取決于其邊際效用。商品的邊際效用越大，消費者為購買一單位該商品所愿意支付的價格就越高，反之就越低。由于邊際效應遞減規(guī)律的作用，隨著消費者對同一件商品消費量的連續(xù)增加，該商品的邊際效用是遞減的。相應地，消費者消費商品數(shù)量越多，消費的商品邊際效用越低，愿意支付的價格也隨之降低。即 Q ? ， MU ? ，P ? ,或者 Q ? ， MU ? ，P ? ，因此，商品價格和其需求量之間呈反方向變動關系，即需求曲線是向右下方傾斜的。

　根據消費者均衡條件分析。消費者均衡條件為：ii=MUP? 。它表示消費者最優(yōu)購買選擇應使最后一元貨幣購買商品所帶來的邊際效用應和一元貨幣的邊際效用相等。該等式表明，隨著

　同一種商品購買量的增加，由于其邊際效用 MU 是遞減的，在貨幣的邊際效用λ不變的前提下，商品需求價格 P 同比例于 MU 的遞減而下降，MU 遞減對應 Q 增加。

　12.用圖說明序數(shù)效用論者對消費者均衡條件的分析，以及在此基礎上對需求曲線的推導。

　解答：要點如下：

　(1) 序數(shù)效用論用無差異曲線和預算線分析消費者均衡。無差異曲線是用來表示消費者偏好相同的兩種商品的全部組合點的軌跡，其斜率的絕對值可以用商品的邊際替代率MRS 來表示。如圖，若用橫軸表示 X 1 ，縱軸表示 X 2 ，MRS=21XX??，預算線表示在消費者收入和商品價格給定的條件下，消費者全部收入所能購買到的兩種商品的全部組合，其斜率為12PP? 。

　消費者效用最大化的均衡點發(fā)生在一條給定的預算線與無數(shù)條無差異曲線中的一條相切的切點上，于是，消費者效用最大化的均衡條件為：均衡點在預算線上，商品數(shù)量組合滿足預算線方程、無差異曲線和預算線斜率相等，即：序數(shù)效用論消費者均衡條件是：2 11 21 1 2 2X PMRSX PPX P X M? ?? ? ?????? ?? (2) 序數(shù)效用論使用價格—消費曲線推導需求曲線，價格—消費曲線是在其他條件不變的前提下，與某一種商品的不同價格水平相聯(lián)系的消費者效用最大化的均衡點的軌跡。令一種商品的價格發(fā)生變化，預算線發(fā)生變化，形成一系列新的消費者消費的均衡點，把這些均衡的鏈接成線，便可以得到該商品的價格—消費曲線。

　在得到價格—消費曲線的基礎上，將一種商品的不同價格水平和相應的最優(yōu)需求量之間的一一對應關系描繪在同一坐標平面上，就可以得到需求曲線。顯然，需求曲線一般斜率為負，向右下方傾斜,表示商品的價格和需求量成反方向變化；而且，在需求曲線上與每一價格水平相對應的需求量都是在該價格水平上給消費者帶來最大效用的最優(yōu)消費數(shù)量。

　第四章生產技術

　 第一部分

　教材配套習題本習題詳解

　1. 如何準確區(qū)分生產的短期和長期這兩個基本概念? 生產的短期：指生產者來不及調整全部生產要素的數(shù)量，至少有一種生產要素的數(shù)量是固定不變的時間周期。短期不可調整的生產要素稱不變生產要素，一般包括廠房、大型設備、高級管理者、長期貸款等，可調整的生產要素成為可變生產要素，一般包括原材料、燃料、輔助材料、普通勞動者等。生產的長期：指生產者可以調整全部生產要素的數(shù)量的時間周期。生產的短期和長期是相對的時間概念,不是絕對的時間概念，其與企業(yè)所屬行業(yè)、所用技術設備和規(guī)模等因素有關。

　2.下面是一張一種可變生產要素的短期生產函數(shù)的產量表 （表 4-2）：

�。ǎ保┰诒碇刑羁�。

�。ǎ玻┰撋�產函數(shù)是否表現(xiàn)出邊際報酬遞減？如果是，是從第幾單位的可變要素投入量開始的？ 表 4-2 可變要素的數(shù)量

　可變要素的總產量

　可變要素的平均產量

　可變要素的邊際產量

�。�

　 ２

　 ２

�。保�

�。�

�。玻�

�。�

　 １２

　 ５

　６０

�。�

　６

�。�

　７０

�。�

�。�

　９

�。叮�

　解答：（１）在表４—2 中填空得到表４—3。

　表４—3 可變要素的數(shù)量

　可變要素的總產量

　可變要素的平均產量

　可變要素的邊際產量

�。�

�。�

�。�

　 ０

�。�

　１２

�。�

�。保�

　 ３

　２４

　 ８

�。保�

�。�

�。矗�

　１２

　 ２４

�。�

�。叮�

　 １２

　１２

　６

�。叮�

　１１

�。�

　 ７

　７０

　 １０

�。�

　８

�。罚�

　8.75

�。�

　 ９

�。叮�

　 ７

�。�７

　 3．區(qū)分邊際報酬遞增、不變和遞減的情況與規(guī)模報酬遞增、不變和遞減的情況。

　解答：邊際報酬變化是指在生產過程中一種可變要素投入量每增加一個單位時所引起的總產量的變化量，即邊際產量的變化，而其他生產要素均為固定生產要素，固定要素的 投入數(shù)量是保持不變的。邊際報酬變化一般包括邊際報酬遞增、不變和遞減三個階段。很顯 然，邊際報酬分析可視為短期生產分析。

　規(guī)模報酬分析方法是描述在生產過程中全部生產要素的投入數(shù)量均同比例變化時所引 起的產量變化特征，當產量的變化比例分別大于、等于、小于全部生產要素投入量變化比 例時，則分別為規(guī)模報酬遞增、不變、遞減。很顯然，規(guī)模報酬分析可視為長期生產的分 析視角。

　區(qū)別：①前提條件不同，邊際報酬變化生產要素分為不變和可變生產要素，生產要素比例發(fā)生變化；規(guī)模報酬分析研究生產要素同比例變動。②考察時間長短不同。邊際報酬 變化分析的是短期生產規(guī)律；規(guī)模報酬研究長期生產規(guī)律。③指導意義不同。邊際報酬變 化指出要按比例配置生產要素；規(guī)模報酬指出要保持企業(yè)的適度規(guī)模。④由于前提條件不 同，兩規(guī)律獨立發(fā)揮作用，不存在互為前提，互為影響關系。

　聯(lián)系：隨著投入要素增加，產量一般都經歷遞增、不變和遞減三個階段。

　4.假設生產函數(shù) Q＝ min {5L,2K}。

　 (1)作出 Q＝50 時的等產量曲線。

　(3)分析該生產函數(shù)的規(guī)模報酬情況。

　解答：(1)生產函數(shù) Q＝min{5 L, 2 K }是固定投入比例生產函數(shù)，其等產量曲線如圖所示為直角形狀，且在直角點兩要素的固定投入比例為 K:L=5：2。

　當產量 Q＝50 時，有 5L＝2K＝50，即 L＝10，K＝25。相應的 Q＝50 的等產量曲線如圖所示。

　(2) 因為 Q＝f(L，K)＝ min {5L,2K} f(λL，λK)＝ min {5λL,2λK}＝λ min {5L,2K}，所以該生產函數(shù)呈現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。

　5.已知柯布道格拉斯生產函數(shù)為 Q＝ALα K β 。其中α、β>0。請討論該生產函數(shù)的規(guī)模報酬情況。

　解答：因為 Q＝f(L，K)＝ALα K β

　f(λL，λK)＝A(λL)α (λK) β ＝λ α＋β AL α K β

　所以當α＋β>1 時，該生產函數(shù)為規(guī)模報酬遞增；當α＋β＝1 時，該生產函數(shù)為規(guī)模報酬不變；當α＋β<1 時，該生產函數(shù)為規(guī)模報酬遞減。

　6.已知生產函數(shù) Q＝f(L，K)=2KL- 0.5L2 -0.5K 2 ，假定廠商目前處于短期生產，且 K＝10. (1)寫出在短期生產中該廠商關于勞動的總產量 TP L 函數(shù)、關于勞動的平均產量 AP L 函數(shù)和關于勞動的邊際產量 MP L 函數(shù)。

　(2)分別計算當勞動的總產量 TP L 、勞動的平均產量 AP L 和勞動邊際產量 MP L 各自達到最大值 (3)何時有 AP L ＝MP L ？它的值又是多少？

　 解答：（1）把 K=10 代入生產函數(shù)得短期關于勞動的總產量函數(shù)為：

　? ?2 2, 2 10 0.5 0.5 10LTP f L K L L ? ? ? ? ? ?220 0.5 50 L L ? ? ?

　勞動的平均產量函數(shù)為：220 0.5 50 5020 0.5LLTP L LAP LL L L? ?? ? ? ? ?

　勞動的邊際產量函數(shù)為：

　? ? ? ?220 0.5 50 20L LMP TP L L L??? ? ? ? ? ?

　（2）當 0LMP ? 時，即 20 L=0 L=20 ? ? 時，LTP 達到極大值 。

　當L LAP MP ? 時，即5020 0.5L 20 LL? ? ? ? ， L=10 時，LAP 達到極大值。

　? ? ? ?LMP 20-L 1? ?? ? ? ，說明LMP

　始終處于遞減階段，所以 L=0 時，MP 最大。

�。�3）L LAP MP L 10 ? ? ? ，把 L 10 ?

　代入 AP 和 MP 函數(shù)得：

　5020 0.5 =20 5 5=10LAP LL? ? ? ? ?

　 ， 20 =20 10=10LMP L ? ? ?

　，即 L=10 時，LAP 達到極大值，L LAP MP ? 。

　 7.已知生產函數(shù)為 Q ＝min( K L 3 , 2 )。求：

　（1）當產量 Q ＝36 時， L 與 K 值分別是多少？ （2）如果生產要素的價格分別為LP = 2 ，KP = 5 ，則生產 480 單位產量時的最小成本是多少？ ：

　解：（1）生產函數(shù)為 Q ＝min( K L 3 , 2 )表示該函數(shù)是一個固定投入比例的生產函數(shù)，所以，廠商進行生產時，總有 Q＝2L＝3K。

　因為已知產量 Q＝36,則 2L＝3K=36 ，所以，L＝18，K＝12。

�。�2）由 Q＝2L＝3K=480，可得：L＝240，K＝160。

　又因為 P L ＝2，P K ＝5，所以有：TC＝P L L＋P K K＝2×240＋5×160＝1280。即生產 480 單位產量最小成本為 1280。

　8.假設某廠商的短期生產函數(shù)為 Q＝35L＋8L2 －L 3 。求：

　(1)求該企業(yè)的平均產量函數(shù)和邊際產量函數(shù)。

　(2)如果企業(yè)使用的生產要素的數(shù)量為 L＝6，是否處于短期生產的要素合理投入區(qū)間？為什么？ 解答：(1)平均產量函數(shù)：AP(L)＝L＝35＋8L－L2

　邊際產量函數(shù)：MP(L)＝Q′(L)＝35＋16L－3L2

　(2)首先需要確定生產要素 L 投入量的合理區(qū)間。

　在生產要素 L 投入量的合理區(qū)間的左端，有 AP＝MP，于是，有 35＋8L－L2 ＝35＋16L－3L 2 。解得 L＝0 和 L＝4。L＝0 不合理，舍去，故取 L＝4。

　在生產要素L投入量的合理區(qū)間的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2 ＝0。(5+3L)(7-L)=0，

　解得 L＝－5/3 和 L＝7。L＝－5/3 不合理，舍去，故取 L＝7。

　由此可得，生產要素 L 投入量的合理區(qū)間為[4,7]。因此，企業(yè)對生產要素 L 的使用量為 6是處于短期生產的合理區(qū)間的。

　9.已知生產函數(shù)為1 23 3Q AL K ? 。

　判斷：（1）在長期生產中，該生產函數(shù)的規(guī)模報酬屬于哪一種類型？ （2）在短期生產中，該生產函數(shù)是否受邊際報酬遞減規(guī)律的支配？

　 解：（1）

　? ?1 23 3, Q f L K AL K ? ?

　 ? ? ? ? ? ? ? ?1 21 23 33 3, , f L K A L K AL K f L K ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　,所以，在長期生產中，該生產函數(shù)屬于規(guī)模報酬不變。

�。�2）假定資本的投入量不變，用 K 表示， L 投入量可變， 所以，生產函數(shù)1 23 3Q AL K ? ，這時，勞動的邊際產量為2 23 313LMP AL K??

　5 23 3209LdMPAL KdL?? ? ? ，說明：當資本使用量即定時，隨著使用的勞動量的增加，勞動的邊際產量遞減。

　同理，1 13 323KMP AL K?? ，4 13 3209KdMPAL KdK?? ? ? ，說明：當勞動使用量即定時，隨著使用的資本量的增加，資本的邊際產量遞減。

　綜上，該生產函數(shù)受邊際報酬遞減規(guī)律的作用。

　10. 令生產函數(shù) L K LK K L 3 2 ) 1 021? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ）

　， （ ,其中

　 0,1,2,3. i 1 0 i ? ? ? ， ?

�。�1）當滿足什么條件時，該生產函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征？ （2）證明：在規(guī)模報酬不變的情況下，相應的邊際產量是遞減的。

　11.用圖說明短期生產函數(shù) Q＝f(L， k )的 TP L 曲線，AP L 曲線和 MP L 曲線的特征及其相互之間的關系。

　(1)總產量線 TP、邊際產量線 MP 和平均產量線 AP 都是先呈上升趨勢，達到本身的最大值以后，再呈下降趨勢。見圖 4-1。

　(2) 首先，總產量與邊際產量的關系：

�、� MP=TP′(L, K)，TP(L， k )= ∫MP L dL ②MP 等于 TP 對應點的斜率，邊際產量線是總產量線上各點的斜率值曲線。

�、跰P＝0 時， TP 最大；邊際產量線與橫軸相交。MP >0 時， TP 遞增； MP <0 時， TP 遞減。

　其次，平均產量與邊際產量關系。

�、偃� MP＞AP，則 AP 遞增；邊際產量大于平均產量時，平均產量上升。

�、谌� MP＜AP，則 AP 遞減；邊際產量小于平均產量時，平均產量下降。

�、廴� MP＝AP，則 AP 最大。MP 交 AP 的最高點。

　最后，總產量與平均產量的關系。

　①AP=TPL

�、谠�點與 TP 上一點的連線的斜率值等于該點的 AP。

�、蹚脑�點出發(fā),與 TP 相切的射線，切點對應 AP 最大。

　 圖４—１

　短期生產函數(shù)三條產量曲線的關系 21( ) ( ) ( )TP TPL TPAP L MP APL L L? ?? ? ? ? ? ?Q

　D

　 C

　TP L

　第Ⅰ階段

　第Ⅱ階段

　 第Ⅲ階段

　B B′ C′

　 AP L

　O

　L 2

　 L 3

　L 4

　 MP L

　L

　 12.假定某廠商的生產技術給定,在該生產技術下可以采用四種生產方法來生產 2000 單位產量,如表 4-3 所示。

　表 4-3

　生產方法 勞動使用量 資本使用量

　方法 A 100 600

　方法 B 160 500

　方法 C 165 700

　方法 D 90 700

　 (1)請?zhí)蕹��?4-3 中無效率的生產方法。

　(2)“生產方法 B 是有效率的。因為它所使用的資源總量最少,只有 660 單位。” 你認為這種說法正確嗎? 為什么?

　(3)在 (1)中剔除了無效率的生產方法后,你能在余下的生產方法中找出有效率的生產方法嗎? 請說明理由。

　解答：（1）方法 C 在技術上是無效率的，與方法 B 相比，它使用本與勞動的數(shù)量都要較方法 A 多，而產量相同；同樣，與方法 D 相比，它使用的資本相等，但使用勞動較多且產量相同，所以廠商不會選擇 C 這種生產方法。

　（2）這種說法不對，與方法 A 和方法 D 相比，方法 B 耗用的資本數(shù)較高，而勞動數(shù)較少。判斷技術上的效率不能以耗用資源的總數(shù)為尺度。

�。�3）要判斷哪種生產方法在經濟上是有效率的，必須知道勞動及資本的價格，根據 TC＝LP L ＋KP K 分別計算其耗用總成本，成本最低者就是在經濟上有效率的生產方法。

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