第 一 章習題 答案 1、 參數(shù) 1 / ? ? ? 的指數(shù)分布 2、48 3、0.00888889 4、34.29，72.83 5、 99499 6、49980.76

　7、97.5 8、3996,5605 9、974.567 10、（1）1X趨于有比2X更多的正數(shù)階矩。

�。�2）兩個概率密度函數(shù)的比值1 2/ f f 會趨于無窮。

�。�3）1X 的危險力函數(shù)比2X 的危險力函數(shù)增長速度更快。

�。�4）

　的平均剩余壽命比 的平均剩余壽命增長更快 11、Loglogistic 分布只有正數(shù)階矩，而伽馬分布都有，所以 Loglogistic 分布與伽馬分布有更厚的尾部。。

　Paralogistic 分布只有正數(shù)階矩，而對數(shù)正態(tài)分布都有，所以 Paralogistic 分布比對數(shù)正態(tài)分布有更厚的尾部。

　逆指數(shù)分布沒有 1 k ? 的 k 階矩，而指數(shù)分布都有，所以逆指數(shù)分布與指數(shù)分布有更厚的尾部。。

　12、 證明：單參數(shù)帕累托分布的危險力函數(shù)用下面的公式很容易計算， ? ?? ?ln d S xh xdx? ?

　即， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?ln ln lnln2S x xd S xdx x 這是一個遞減的函數(shù)。

　對于伽馬分布，注意到 ? ?? ?? ?? ?? ?01xf t dt f x y dyh x f x f x? ??? ?? ?， 因此當 y 給定時，若 ? ? ? ? / f x y f x ? 對于 x 遞增，則 ? ? 1/h x 對于 x 遞增，也就是說，隨機變量的危險率函數(shù)是遞減的。對于參數(shù) 2 ? ? ， 500 ? ? 的伽馬分布， 1X2X

　? ?? ?? ?? ?1//5001 /1x yyxf x y x y e yef x x e x??? ??? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?， 因此 ? ? h x 對于 x 是嚴格遞增的,這是一個薄尾分布。

　第 一 章習題解答 1. X 服從一個參數(shù)為 ? 和 ? 的雙參數(shù)帕累托分布，已知：

　ln 1XY?? ?? ?? ?? ?

　求 Y 的分布。

　解：

　? ?? ? ? ? ? ?? ?ln 11111111yyyY Xyyyxyxex eF y F eeee????????? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?

　 所以 Y 的分布是一個參數(shù) 1 / ? ? ? 的指數(shù)分布 2. 已知：（1）

　X 服從均值為 2 的指數(shù)分布；（2）1.5Y X ? ；計算2[Y ] E

　解:使用2 3Y X ? 的代換來計算指數(shù)分布的三階距更為簡單。

　? ?3 3 33! 6 2 48 E X ? ?? ?? ?? ? 3. X 服從一個參數(shù)為 2.5 ? ? 和 10 ? ? 的伽馬分布。

　1 / Y X ? ，計算 ? ? Var Y

　解：我們來計算 E Y ? ?? ? 和2E Y ? ?? ?，或者1E X?? ?? ?和2E X?? ?? ?，注意到 TABLE 中用于伽馬分布整數(shù)階距計算的公式 ? ? 1k kE X k ? ? ? ?? ?? ?? ?。這個公式值提供了當 k 是一個正整數(shù)的情況，所以不能夠用來計算-1 和-2 階矩。由此，我們必須使用 TABLE 中更為一般化的公式， ? ?? ?kkkE X? ??? ??? ?? ?? 對于 1 k ? ? ，即為

　? ?? ? ? ?1111kE X? ?? ? ??? ??? ??? ?? ? 因為 ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ，對于 2 k ? ? ， ? ?? ?2211 2E X? ? ???? ?? ?? ? 所以， ? ?? ? ? ?221 10.0088888910 1.5 10 1.5 0.5Var Y? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 4. 損失服從一個均值為 10 和方差為 300 的帕累托分布。計算風險水平為 95%和 99%時的VaR。

　解：設 X 為損失變量，我們通過他的兩階矩來計算參數(shù) ? 和 ? ， E X 101??? ? ? ?? ??

　? ?? ?222E 4001 2X?? ??? ??? ?? ?

　用第一個公式除以第二個，得 ? ?2 14, 32????? ?? 將上述結果帶入一階矩的式子，得 20 ? ? ，帕累托分布的 95%分位數(shù)滿足 ? ? S x 0.05 ?

　? ?3S x 0.05x??? ?? ?? ??? ?

　0.9534.29 VaR x ? ?

　 類似的，99%的分位數(shù)滿足 ? ? S x 0.01 ?

　0.9972.83 VaR x ? ?

　5. 損失服從一個 1000 ? ? 的指數(shù)分布，計算 99%的在險價值 解：我們設 99%分位數(shù)的在險價值為 x ，則， 1000/0.99, 99499xe x?? ?

　6. 某家保險公司的理賠損失服從一個由兩個占同樣比重的帕累托分布組成的混合分布，第一個帕累托分布的參數(shù) 1 ? ? 、 1000 ? ? ，第二個帕累托分布的參數(shù) 2 ? ? 、1000 ? ? ，計算這個混合分布 99%分位數(shù)的在險價值。

　解：我們需要計算 99%的在險價值，這個混合分布的生存函數(shù)是兩個生存函數(shù)的加權平均數(shù)，

　在分布函數(shù)為 0.99 是生存函數(shù)為 0.01，設 x 為 99%的分位數(shù)， ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?21000 1000S 0.5 0.5 0.011000 1000xx x 為了方便，設 ? ? y 1000 / 1000 x ? ? ， 20.5 0.5 0.01 y y ? ?

　1 1 0.08y 0.019615242? ? ?? ?

　因為 y 必須為正數(shù)，所以我們拒絕了方程的負數(shù)解。

　10000.019615241000 x?? 1000x 1000 49980.760.01961524? ? ?

　7. X 是一個在0,100 ? ?? ? 上的均勻分布，計算? ?0.95TVaR X 解：我們通過方程的方式來解決，對于 X ，100 p th 的分位數(shù)為 100 p， 所以，

　? ?10.950.95100 ?50 45.12597.51 0.95 0.05ydyTVaR X?? ? ??? 然而，這個結果是很直觀的，對于在一個給定的均勻分布 95 和 100 之間的條件期望就是它的中間點。

　8. X 服從一個均值為 1000 的指數(shù)分布，計算 ? ?0.95TVaR X 和 ? ?0.99TVaR X 。

　解：使用公式， ? ?0.951000 1 ln 0.05 3996 TVaR ? ? ?

　? ?0.951000 1 ln 0.01 5605 TVaR ? ? ?

　9. X 是一個用來表示損失的隨機變量。

　X 服從一個參數(shù)為1000 ? ? ，2 a ? ,1 b ?的貝塔分布。計算 ? ?0.90TVaR X 。

　解：這個貝塔分布的密度函數(shù)為 ? ?22 / 1000 ,0 1000 f x x x ? ? ? 。首先我們計算 90%的分位數(shù)， ? ?22020.9, 1000 0.91000 1000xudu xF x x? ?? ? ? ?? ?? ?? 超出 1000 0.9 x ? 的部分為，

　? ? ? ?100020.90 221 97.45671000xu dup TVaR X ? ? ?? 除以 1 0.1 p ? ? ，我們得到 974.567。

　同樣的結果可以通過方程解出， ? ?2, 10001000xF x p x p? ?? ? ?? ?? ? 整合可得， ? ? ? ?? ?3/210.90.92000 1 0.91 10003p TVaR X ydy?? ? ?? 10. 對于服從分布1F，概率密度函數(shù)為1f的隨機變量1X與服從分布2F，概率密度函數(shù)為2f的隨機變量2X，如何判斷兩種分布的尾部。

　解：（1）1X趨于有比2X更多的正數(shù)階矩。

　（2）兩個概率密度函數(shù)的比值1 2/ f f 會趨于無窮。

�。�3）1X 的危險力函數(shù)比2X 的危險力函數(shù)增長速度更快。

�。�4）

　的平均剩余壽命比 的平均剩余壽命增長更快 11. 使用合適的指標比較下列分布的尾部：（1）Loglogistic 分布與伽馬分布； （2）Paralogistic 分布與對數(shù)正態(tài)分布（3）逆指數(shù)分布與指數(shù)分布 解：Loglogistic 分布只有正數(shù)階矩，而伽馬分布都有，所以 Loglogistic 分布與伽馬分布有更厚的尾部。。

　Paralogistic 分布只有正數(shù)階矩，而對數(shù)正態(tài)分布都有，所以 Paralogistic 分布比對數(shù)正態(tài)分布有更厚的尾部。

　逆指數(shù)分布沒有 1 k ? 的 k 階矩，而指數(shù)分布都有，所以逆指數(shù)分布與指數(shù)分布有更厚的尾部。。

　12. 已知 X 的密度函數(shù)為 ? ? f x ， ? ?3500000 / f x x ? ， 500 x ? （參數(shù) 2 ? ? 的單參數(shù)帕累托分布）， Y 的密度函數(shù)為 ? ? g y ， ? ?/500/ 250000yg y ye ? ? （參數(shù)2 ? ? ， 500 ? ? 的伽馬分布）。證明基于危險力檢驗， X 比 Y 厚尾。

　解：單參數(shù)帕累托分布的危險力函數(shù)用下面的公式很容易計算， ? ?? ?ln d S xh xdx? ?

　即， 1X2X

　? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?ln ln lnln2S x xd S xdx x 這是一個遞減的函數(shù)。

　對于伽馬分布，注意到 ? ?? ?? ?? ?? ?01xf t dt f x y dyh x f x f x? ??? ?? ?， 因此當 y 給定時，若 ? ? ? ? / f x y f x ? 對于 x 遞增，則 ? ? 1/h x 對于 x 遞增，也就是說，隨機變量的危險率函數(shù)是遞減的。對于參數(shù) 2 ? ? ， 500 ? ? 的伽馬分布， ? ?? ?? ?? ?1//5001 /1x yyxf x y x y e yef x x e x??? ??? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?， 因此 ? ? h x 對于 x 是嚴格遞增的,這是一個薄尾分布。

　第 二 章習題 答案 1、4% 2、0.099 3、12.5 4、35，50%，52.5 5、1.435 6、119.71 7、1.115 8、58.3 9、324, 5.82% 10、1.94 11、0.436 12、0.8 13、6 14、0 15、990944 16、0.13 17、2000 18、0.625 19、175 20、 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?( 40) 0.25[ ( 60)] 0.75[ ( 80)] X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.75( 80) 0.25( 60) ( 40) X X X ? ? ? ? ? ?

　第 二 章習題解答 1、 假設某險種在 2019 年的實際損失額服從離散分布， ( 1000 ) 1/6, 1, ,6 P X k k ? ? ? 。保單上規(guī)定每次損失的免賠額為 1500 元。假設 2019-2020 年的通貨膨脹率為 5％，2020年的免賠額提高為 1600 元，求 2020 年的每次賠償?shù)睦碣r額期望是多少。與 2019 年相比，增長率是多少？ 解答：由 X 的分布計算得到：

　? ?1(1 2 3 4 5 6) 1000 35006E X ? ? ? ? ? ? ? ?

　? ?1 51500 1000 1500 1416.6676 6E X ? ? ? ? ? ?

　1600 1 5 16001000 1436.5081.05 6 6 1.05E X? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 2019 年的每次事故的理賠額期望為 ? ?? ?? ? ? ?? ?20091500 3500 1416.667250011 150016XE X E XE YF? ? ?? ? ??? 2020 年的每次事故的理賠額期望為

　? ?? ?? ?? ?201016001.051.05 3500 1436.508 1.0526001 16001 16 1.05XE X E XE YF? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?2010200926001.042500E YE Y? ?

　故增長率為 4%

　2、 假設某險種的實際損失額 X 的分布函數(shù)為0.2( ) 0.04xf x xe ? ? ， 0 x ? 。已知免賠額為 30，求每次損失事故中的平均賠付額??(?? ?? )。

　解答：

　【方法一】

　由 X 的密度函數(shù)知，X 服從參數(shù) 2, 5 ? ? ? ? 的伽馬分布。

　? ? 5 2 10 E X ? ? ? 由伽馬分布的性質知

　? ? ? ? ? ? 30 2 5 3;6 30 1 2;6 E X ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?

　其中 ? ?626063;6 1 1 25!jjeej???? ? ? ? ?? ? ? ? ?6 62;6 1 1 6 1 7 e e? ?? ? ? ? ? ?

　故 ? ? ? ? ? ?630 2 5 3;6 30 1 2;6 10 40 E X e ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 又 ? ? ? ?630 2;6 1 7XF e ? ?? ? ?

　故每次損失事件賠付額的期望為 ? ? ? ? ? ?* 6 630 10 (10 40 ) 40 0.099 E Y E X E X e e? ?? ? ? ? ? ? ? ?

　【 方法二】

　若不熟悉伽馬函數(shù)的性質，則先計算 0.2 0.20( ) 0.04 1 (0.2 1)xx xF x xe dx x e? ?? ? ? ?? 30 30 300.2 0.2 60 0 0( 30) (1 ( )) 0.2 10 40x xE X F x dx xe dx e dx e? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故每次損失事件賠付額的期望為 ? ? ? ? ? ?* 6 630 10 (10 40 ) 40 0.099 E Y E X E X e e? ?? ? ? ? ? ? ? ?

　 3、 設某險種的實際損失額為 X ， ( ) 500 E X ? 。當免賠額為 d 時，投保人的損失消失率為: [ ]( )[ ]E X dLER dE X??

　當 d＝200 時，已知 (200) 25% LER ? 且 ( 200) 0.4 P X ? ? 。求 ( | 200) E X X ? 。

　解答：

　由 ? ?? ?? ?200200E XLERE X?? ，及 ? ? 500 E X ? 得 ? ? 200 125 E X ? ? 又因為

　[ 200] [ 200| 200] ( 200) [ 200| 200] ( 200)0.6 [ 200| 200] 0.4 [ 200| 200]0.6 200 0.4 ( | 200)125E X E X X P X E X X P XE X X E X XE X X? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??

　 故 ( | 200) E X X ? ＝12.5

　4、 假設某險種的實際損失額的分布滿足下面的性質: x

　( ) F x

　( ) E X x ?

　5 0.5 3 10 0.6 6 15 0.7 7.7 22.5 0.8 9.5 32.5 0.9 11 ?

　1 20 （1）已知免賠額為 10，求理賠額的期望。

�。�2）現(xiàn)將免賠額提高到使得 ( ) 0.5 ( 10) P X d P X ? ? ? ? ，求理賠額提高的比例。

　（3）若明年的通貨膨脹率為 50％，免賠額為 15，求理賠額的期望。

　：

　解答：（1）由表中的數(shù)據(jù)得 ? ? ? ? 20 E X E X ? ?? ? ? ? 10 6 E X ? ? ? ? 10 0.6XF ?

　故理賠額的期望為 ? ?? ? ? ?? ?10 14351 10 0.4XE X E XE YF? ?? ? ?? （2）因 ? ? 10 0.4 P X ? ? ，故 ? ? 0.2 P X d ? ?，即 22.5 d ?

　? ?? ? ? ?? ?"22.5 20 9.552.51 22.5 1 0.8XE X E XE YF? ? ?? ? ?? ?

　理賠額提高比例：52.51 50%35? ?

�。�3）若明年的通貨膨脹率為 50％，則明年理賠額的期望等于

　? ? ? ?? ?1520 ( )10 141.5( ) 1.5 1.5 1.5 52.5151 10 0.41 ( )1.5XE XE X E XE YFF? ?? ?? ? ? ? ???

　5、 已知某險種的實際損失額的分布為對數(shù)正態(tài)分布, 5 ? ? 和 2 ? ? ，每年平均有 10 起損失事件發(fā)生。已知今年免賠額為 1500 元。若明年的通貨膨脹為 20％，免賠額保持不變。明年平均將會有多少起理賠事件發(fā)生？ 解答：

　由題意知? ?2ln ~ 5,2 X N ，則 ? ? ? ?? ?? ?1.2 1500 ln ln1500 ln1.2ln 5 ln1500 ln1.2 52 2[ 0,1 1.065]1 1.0650.1435P X P XXPP N? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 故 ? ? 0.1435 10 1.435 E N ? ? ?

　6、 假設某保險的損失額服從指數(shù)分布：

　1501( )150xXf x e??

　保單規(guī)定免賠額為 100 元，賠償限額為 1000 元，比例分擔系數(shù)為 0.8。計算 ( ) E Y 和*( ) E Y

　解答：

　X 的分布函數(shù)為150( ) 1xF x e?? ? ，由公式 1500( ) (1 ( )) 150(1 )xdE X d F x dx e?? ? ? ? ?? 得 ? ?? ?100 150100 150 1 72.987 E X e?? ? ? ?

　? ?? ?1000 1501000 150 1 149.809 E X e?? ? ? ?

　故每次損失事件的實際平均賠付額 ? ? ? ? ? ? ? ?*1000 100 0.8 149.809 72.987 61.46 E Y E X E X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 每次賠償事件的實際平均理賠額

　? ?? ?? ?*100 15061.46119.711 100XE YE YFe?? ? ??

　7、 某險種保單在 2019 年的損失額 X 滿足下面的分布性質：

　2( ) 0.025 1.475 2.25, 10,11,12,...,26 E X d d d d ? ? ? ? ? ?

　假設 2020 的保單損失額比 2019 年提高 10％。保單規(guī)定賠償高于免賠額 11 的全部損失，最高的賠償金額為 11。計算 2020 年的平均理賠額與 2019 年平均理賠額之比。

　解答：

　設 X 表示 2019 年的損失額，Y 表示 2020 年的每張保單的賠付額。由保單規(guī)定賠償高于免賠額 11 的全部損失，最高的賠償金額為 11 知 0, 1111, 11 22 ( 22) ( 11)11, 22XY X X X XX? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 則 2 2( ) ( 22) ( 11)( 0.025 22 1.475 22 2.25) ( 0.025 11 1.475 11 2.25)(18.10 10.95)7.15E Y E X E X ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 在 2020 年，由于 2020 的保單損失額比 2019 年提高 10％，但免賠額和最高賠償金額沒有變化，因此 2020 年的保單賠付額可以表示為 0, 1.1 11" 1.1 11, 11 1.1 22 1.1[( 20) ( 10)]11, 1.1 22XY X X X XX? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 2 2( ") 1.1[ ( 20) ( 10)]1.1[( 0.025 20 1.475 20 2.25) (0.025 10 1.475 10 2.25)]1.1(17.25 10)7.975E Y E X E X ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 因此，2020 年的每張保單的平均賠付額與 2019 年的平均賠付額之比為 7.7957.15= 1.115

　 8、 設某險種一張保單的實際損失的分布函數(shù)為：

　0.02( ) 0.02(1 0.02 ) , 0xf x q q x e x?? ? ? ? ?

　假設保單規(guī)定免賠額為 100，則理賠額的期望為 200。若免賠額提高到 200，理賠額的期望等于多少？ 解答：

　由損失的分布密度函數(shù)知，X 的分布由指數(shù)分布和伽馬分布混合而成的分布，即

　0.02 2 0.02( ) (1 )(0.02 ) (0.02 )x xf x q e q xe? ?? ? ?

　X 的分布函數(shù)為 0.02 0.020( ) ( ) 1 (1 ) (0.02 1)xx xF x f y dy q e q x e? ?? ? ? ? ? ?? 對于免賠額 d，理賠額 Y＝ | X d X d ? ? 的分布密度函數(shù)為

　 0.02( )0.02 0.020.020.02 2 0.02( )( )1 ( )0.02(1 0.02( )) , 0(1 ) (0.02 1)0.02(1 0.02( ))(1 ) (0.02 1)1 0.020.02 (0.02)(1 ) (0.02 1) (1 ) (0.02 1)Yx dd dxx xf x df xF dq q x d e xq e q d eq q x d eq q dq qd qe xeq q d q q d? ?? ??? ????? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? Y 的分布由指數(shù)分布和伽馬分布混合而成的分布。當 d＝100 時， 160 50 1001 1qq q? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 解得 1/4 q ?

　當 d＝100 時，有 1 0.02( ) 50 100(1 ) (0.02 1) (1 ) (0.02 1)1 250 1001 2 1 235058.36q qd qE Yq q d q q dq q qq q? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ＝

　9、 設某險種在 2019 年的每份保單損失為 X，對 0 1000 d ? ? ，有下列關系式成立：

　2[ ] (2000 )/2000 E X d d d ? ? ?

　若保單規(guī)定保險人支付損失超過 100 元部分的 80％，保單限額為 1000 元。

�。�1）每張保單的平均賠付額是多少。

�。�2）假設 2020 年該險種的每份保單損失提高 5％，每份保單的平均支付額相應提高多大比例。

　解答：

�。�1）設*Y 表示保單的賠付額，由題意得，

　? ?*0 1000.8 100 100 10000.8 900 720 1000xY x xx? ??? ? ? ???? ? ?? 故 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?*0.8 1000 1000.8 1000 1000.8 500 95324E Y E x xE x E x? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? （2）2020 年賠付額的期望為 ? ?? ? ? ?? ?*20100.8 1000 1.05 1.05 1001000 1000.8 1.051.05 1.050.84 498.866 90.703342.857E Y E x xE x E x? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??

　與 2019 年相比提高的比例為 342.857 324100% 5.82%324?? ?

　 10、已知如下條件：

　（1）損失服從對數(shù)正態(tài)分布，參數(shù)為 5, 2 ? ? ? ? ； （2）免賠額為 1000； （3）每年預計的損失次數(shù)為 10 次； （4）損失次數(shù)與個體損失額互相獨立。

　如果所有的個體損失額都提高 20%而免賠額不變，求每年超過免賠額的平均損失次數(shù)。

　解答：設損失額為 X，則 lnX 服從參數(shù) 5, 2 ? ? ? ? 的正態(tài)分布。故 ? ? ? ?? ?? ?1.2 1000 ln ln1.2 ln1000ln ln1000 ln1.2ln 5 ln1000 ln1.2 52 2ln1000 ln1.2 5121 0.8630.194P x P xP xxP? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ??? ?? ??? 故每年超過免賠額的平均損失次數(shù)為

　( ) 0.194 10 1.94 E N ? ? ?

　 11、損失額服從威布爾分布，參數(shù) 2 ? ? ， ? 未知。一個保險人設定保險限額為 100 元。已知 50%的損失事件的損失低于限額 100 元。但由于通貨膨脹，所有損失額上升 10%，求損失額仍低于 100 元的損失事件的百分比。

　解答：2(100/ )(100) 1 0.5 120xF e???? ? ? ? ?

　經過 10%的通漲， Y =1.1 X ，2(100/132)100(100) ( ) 1 0.4361.1y xF F e ? ? ? ? ? 。

　 我們可知道經過比例變換， Y 仍服從參數(shù) 2 ? ? ， ? =132 的威布爾分布。

　12、已知（1）損失服從指數(shù)分布；（2）今年的損失消失率 LER 為 70%；（3）明年的免賠額是今年的免賠額的 4/3，求明年的損失消失率 LER 。

　解答：假設 ? ? E X = ? .根據(jù)指數(shù)分布的分布可知 ? ? E X d ? = ? (/1de? ?? ).則今年的 LER=//[ ] (1 )1[ ]ddE X d eeE X??????? ?? ? ? ，因此/ de? ?=0.3 明年免賠額為 4d/3,但 X 的分布不變，因此明年的 LER=4 /34 /3 4/3[ 4 /3] (1 )1 1 (0.3) 0.8[ ]ddE X d eeE X??????? ?? ? ? ? ? ?

　 13、已知隨機變量 X ：

　P ( X =3)= P ( X =12)=0.5 和 [ ( )]dE I X =3，求 d 。

　解答：已知 X 的取值都 ? 3,于是 0 , 0.5( ) [ ( )] (12 )(0.5) 3 612 , 0.5d dX d pI X E I X d dd X d p? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?

　14、損失服從均值為 100 的指數(shù)分布，一個保險人正考慮以下兩種保險：

�。�1）免賠額為 20； （2）免賠額為 50； 保險人對每一種保險分別計算了理賠額的偏度系數(shù)，分別為1c 和2c ，則2c 比1c 低百分之多少？ 解答：已知指數(shù)分布/1( )xxf x e???? ，以及分布/( ) 1xxF x e? ?? ? 。因此pY 的密度為 ( )///1( )( )1 ( ) 1 (1 )py dyxYdxef y df y eF d e?????? ????? ? ?? ? ?，可以看出pY 也是均值為 ? 的指數(shù)分布，和

　免賠額無關，因此1c =2c ，答案為 0.

　15、損失服從均值為 1000 的指數(shù)分布，某保險公司設免賠額為 100。求賠付額LY 的方差。

　解答：要求 ( 100)LY X?? ? 的方差，即2 2 2[ ] ( [ ])L LE Y E Y ? 。對于一個指數(shù)分布，由于無記憶性，理賠額pY 也是服從均值為 ? =1000 的指數(shù)分布。同時我們也知道 [( ) ][ ] [ | ]( )LE X dE Y E X d X dP X d??? ? ? ?? 和22 2[( ) ][ ] [( ) | ]( )pE X dE Y E X d X dP X d??? ? ? ?? 因此，由 [ ]pE Y ? ? 和2 2[ ] 2pE Y ? ? 可得 [ ]LE Y = [( ) ] E X d?? = [ ]pE Y * P （X>d）=/ de??? 2[ ]LE Y ?2[( ) ] E X d?? * P （X>d）=22 / de???。由題中 ? =1000 和 d=100，我們有Var (LY )=2 2 2[ ] ( [ ])L LE Y E Y ? =22(1000)100/1000e ? -100/1000 2(1000 ) e ? =990944

　16、假設損失隨機變量 X 服從均勻分布 U [0，80]，現(xiàn)有兩種類型的保險單: （1）免賠額為 10，收取保費為每份保單平均賠付額加上 14.6； （2）全額賠付，收取保費為（1+ k ）。

　兩個險種所收保費相同，求 k 。

　解答：8010( 10)(1/80) 14.6 45.225 40(1 ) 0.13 x dx k k ? ? ? ? ? ? ??

　 17、一位保險人發(fā)現(xiàn)，對于某一種保單，當損失額大于 1000 時，超過 1000 的平均損失額為 500。保險人假設損失服從[0, C ]的均勻分布，其中 C >1000。求 C 。

　解答：若損失 X 服從[0, C ]的均勻分布，則條件密度 f(x|X>1000)=( ) 1/1/( 1000),(1000 )[ 100] ( 1000)/f x Cc x CP X c C? ? ? ? ?? ?, 這 說明條件密度是[0,C-1000]上的均勻分布，均值為10002C ?。令10002C ?=500 可得C =2000.

　18、2019 年的損失服從 2 ? ? 和 ? =5 的帕雷托分布。2020 年損失比 2019 年總體上升 20%。一份保單免賠額為 10。求 2010 年的損失消失率 LER。

　解答：設 X 為 2009 年的損失隨機變量，則 2010 年損失為 1.2 X 。2010 年的

　LER=10 101.2 [ ] [ ][1.2 10]1.2 1.2[1.2 ] 1.2 [ ] [ ]E X E XE XE X E X E X? ??? ? ， [ ] E X =52 1 ?=5,

　10[ ]1.2E X ? =52 1 ?[2 15( )1051.2??]=3.125. 因此 LER=3.125/5=0.625.

　19、損失 X 服從帕雷托分布，參數(shù) 2 ? ? , ? 未知。

　已知：5[ 100| 100] [ 50| 50]3E X X E X X ? ? ? ? ? ；求 [ 150| 150] E X X ? ? 。

　解答：帕雷托分布為2( ) 1 1 F xx x?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?和 [ ]1E X????， 以及1[ ] 1 11E X cc c?? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，因為 2 ? ? 。

　因此 21100[( 100) ] [ ] [ 100][ 100| 100]1 (100) 1 (100)100E X E X E XE X XF F?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ??? ?，最后化簡為 100+ ? 。同理， [ 50| 50] E X X ? ? =50+ ? 。由已知條件 100+ ? =（5/3）(50+ ? )，因此 ? =25。

　[ 150| 150] E X X ? ? =150+25=175。

　20、一份保單對損失額 X 的免賠額為 40。保單還有以下條件：若損失位于區(qū)間（40，60 ] ，則賠償 40 以上的部分；若損失在（60，80 ] ，賠償 20 加上超過 60 部分的 75%。若損失超過 80，則賠償 35。假設均勻分布 X 服從 U [0,100]，求一個合適的 u ,用 E [X]和 E [X ? u ]表示賠付額。

　解答：由題知0 4040 40 6020 0.75( 60) 60 8035 80LXX XYX XX? ? ?? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ??? ?, 0 40( 40) {40 40XXX X??? ?? ? 對于 X<60 成立。如果我們減去 0.25( 60) X?? ，

　有 ( 40) X?? — 0.25( 60) X??0 4040 40 60( 40) 0.25( 60) 20 0.75( 60) 60XX XX X X X? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? 如果減去 0.75( 80) X?? ，我們有 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?

　0 4040 40 6020 0.75( 60) 60 8020 0.75( 60) 0.75( 80) 35 80XX XX XX X X? ??? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ??

　這就是賠付額 因此 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?( 40) 0.25[ ( 60)] 0.75[ ( 80)] X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.75( 80) 0.25( 60) ( 40) X X X ? ? ? ? ? ?

　第 三 章習題 答案 1、0.4695 2、0.29 3、0.938 4、 2, 1.536 r ? ? ? 的負二項分布 5、0.449 6、0.0165160? 平均來說，每六十年會出現(xiàn)一年中有 4 張或以上的保單會發(fā)生損失 7、7 8、2.4 9、90（??(??) = 30，??????(??) = 60）

　10、191192

　11、0.26412 12、5/3

　第三章習題 解答 1、已知??(0 < ?? < 1)，N 服從幾何分布，且??(?? = 0) = ??，如果 p 服從[0.5,0.9]上的均勻分布，求 ( ) E N 。

　解答：幾何分布的均值滿足1( )q pE Np p?? ? ，其中??服從??[0.5，0.9]

　 則0.90.90.50.51 1 1( ) (ln ) 0.46950.4 0.4pE N dp p pp?? ? ? ? ? ??

　2、對于一個離散分布，有如下特征：

�。�1）11(1 ) , 1,2,3k kp c p kk?? ? ? ……

　 （2）00.5 p ?

　求 c。

　解答：已知11(1 ), 1,2,3kkpc kp k?? ? ? … 即對于（ a , b ,0）分布滿足 a 0 b ? ? ,可判斷分布為負二項分布，( 1)a , , , 21 1rb a b r? ?? ??? ? ? ?? ?且 則

　20(1 ) 0.5, 0.414, 0.291p c?? ???? ? ? ? ? ??解得

　3、假設經過旅館的汽車的數(shù)量服從泊松分布，每個小時有 20 輛汽車經過旅館，其中 30%是卡車，請計算從下午 12 點到下午 1 點間至少有 3 輛卡車經過旅館的概率。

　解答：

　解答：經過旅館卡車數(shù)滿足參數(shù)為λ = 20 ∗ 0.3 = 6的泊松分布滿足 ( ) , 1,2,3 0!kkp P N K e kk? ???? ? ? ? ? …，

　則，在一個小時內至少三輛卡車經過旅館的概率為 26 6 66 6( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2) 11 2!0.938P P N P N P N P N e e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

　4、假設某險種的損失 X 服從帕雷托分布， 3, 1000 ? ? ? ? 即? ?343 1001( )0000 xf x??? 。若保單規(guī)定免賠額為 250 元。假設損失次數(shù) N 服從負二項分布， 2, 3 r ? ? ? ，求理賠次數(shù)的

　分布。

　解答：

　解答：設理賠次數(shù)為?? ∗ 。由已知損失額 X 的分布函數(shù)為 ? ?? ?33100011000Fxx ? ??， 因此索賠的概率為 ? ? 250 0.512 v P X ? ? ? 。

　則N ∗ 的分布為， ? ? ? ?? ?? ?*22t 1 3 1 0.512 1 1 1 1.536 1Nt t P??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

　 由上可知，理賠次數(shù)服從 2, 1.536 r ? ? ? 的負二項分布。

　5、一群人被等分為兩個等級的駕駛員。每個駕駛員發(fā)生事故的次數(shù)服從泊松分布。對于等級一的駕駛員，期望事故次數(shù)服從 U [0.2，1]，對于等級二的駕駛員，期望事故次數(shù)服從 U [0.4，2]，從這群人里隨機抽取一人，求這個人發(fā)生事故次數(shù)為 0 的概率。

　解答：

　[ 0] P N ? = [ 0 P N ? |等級一]× P [等級一]+ [ 0 P N ? |等級二]× P [等級二]

　 [ 0 P N ? |等級一]=1 10.2 0.21P[N 0| ( )0.8If d e d?? ? ? ??? ?? ?等級一, ] =0.5636

　 [ 0 P N ? |等級二]=2 20.4 0.41P[N 0| ( )1.6IIf d e d?? ? ? ??? ?? ?等級二, ]

　=0.3344

　 [ 0] P N ? =0.5636×0.5+0.3344×0.5=0.449

　6、一家保險公司承保 25 份保單，每份保單發(fā)生損失的概率為 4%。各保單相互獨立。平均每隔多少年會出現(xiàn)一年中有 4 份或以上的保單會發(fā)生損失的情況。

　解答：在某一年中，發(fā)生損失的保單數(shù)目服從二項分布 B （25，0.04），一年中有 4 張或以上的保單會發(fā)生損失即 [ 4] P N ? =1- [ 0,1,2,3] P N ?

　這里 [ 0] P N ? = ? ? ? ?0 25250.04 0.960? ?? ?? ?=0.3604 [ 1] P N ? = ? ? ? ?1 24250.04 0.961? ?? ?? ?=03754， [ 2] P N ? = ? ? ? ?2 23250.04 0.962? ?? ?? ? =01877，[ 3] P N ?

　= ? ? ? ?3 22250.04 0.963? ?? ?? ?=0.0600，因此 [ 4] P N ? =1-（0.3604+03754+01877+0.06）=0.0165. 而 0.0165160? ，這個概率可以看作是平均來說，每六十年會出現(xiàn)一年中有 4 張或以上的保單會發(fā)生損失。

　7、已知負二項分布 r =2.5， ? =5。求使得kp 最大的 k 值。

　解答：已知負二項分布屬于（ a , b ,0）分布， a =1?? ?, b =( 1)1r ????。代入題中 a =56， b=(2.5 1)56?=54。（a,b,0）分布有1kkp bap k?? ? 。于是15 56 4kkpp k?? ? ，只要1kkpp?>1,即54k>16,求得 k<7.5。當 k=7，76pp=56+54 7 ?=1.012，所以7 6p p ? ；當 k =8，87pp=56+54 8 ?=0.99 因此7 8p p ? 。綜上所述，7p 最大， k =7。

　 8、1000 份保單中發(fā)生索賠的保單數(shù)服從負二項分布， r =5， ? =0.2，且相互獨立。如果保單總數(shù)增加到 2000 份，求發(fā)生索賠的保單數(shù)的方差。

　解答：在 1000 份保單總數(shù)下，方差為 5 ? 0.2 1.2=1.2。如果增加 1000 份保單，而各份保單是否發(fā)生索賠是獨立的，那么方差即為原來的兩倍，2.4。

　這里相當與求兩個獨立的隨機變量 W+U 的方差，所以只要把兩者相加即可。

　9、已知某險種一年內發(fā)生損失的次數(shù)服從參數(shù)為 20 的泊松分布，每次損失事故中獲得理賠的人數(shù)服從二項分布 B(3, 0.5)，求一年內獲賠的人數(shù)的期望與方差之和。

　解答：一年內獲賠人數(shù) ?? = ∑?? ??????=1 ??(??) = ??(??)??(??) = 20 ∗ 3 ∗ 0.5 = 30 ??????(??) = ??(??)??????(??) + ??????(??)??(??) 2 = 20 ∗ 0.75 + 20 ∗ 2.25 = 60 所以 ??(??) + ??????(??) = 90

　10、已知某險種的單張保單理賠次數(shù)服從二項分布 B(n, p)，其中 n=5,參數(shù) p 服從區(qū)間[0.5,1]上的均勻分布，隨機抽取一張保單，求該保單至少發(fā)生一次理賠的概率是多少。

　解答：

　??(?? ≥ 1) = 1 − ??(?? = 0) = 1 − ∫ 2 ∗ (1 − ??) 510.5???? =1192

　 ?

　11、已知一個駕駛員每年發(fā)生索賠的次數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布。假設每個駕駛員的泊松參數(shù)λ都不相同，但λ服從[1,5]上的均勻分布�，F(xiàn)隨機選取一個駕駛員，求其最多發(fā)生一次索賠的概率是多少。

　解答：

　??(?? ≤ 1) = ??(?? = 0) + ??(?? = 1) = ∫14∗ (?? −?? + ???? −?? )51???? = 0.26412

　12、設 N 是一隨機變量，令 ( )kp P N k ? ? ，如果11 32kkpp k?? ? ? ，計算 ( ) E N 。

　解：通過已知條件11 32kkpp k?? ? ? ，可以得出0p 至6p 相互間的關系：

　0 1p25p ? ，1 2p p ? ，2 3p21p ? ，3 4p41p ? ，4 5p101p ? ， 0 p 6 ? ， 0 ) 7 ( p n ? ? n ； 所有有意義的kp 和0p 關系可以寫為：

　0 0p p ? ，0 1p25p ? ，0 2p25p ? ，0 3p45p ? ，0 4p165p ? ，0 5p1605p ? ，0 6p 0 p ? ?

　(1) 當隨機變量 N 最大取到 6 時， 1 p ... p p6 1 0? ? ? ? ，可以求出24332p 0 ? ，由此得出0p 至6p 的值，可得35) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(2)當隨機變量 N 最大取到 5 時， 1 p ... p p5 1 0? ? ? ? ，可以求出24332p 0 ? ，可得35) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(3)當隨機變量 N 最大取到 4 時， 1 p ... p p4 1 0? ? ? ? ，可以求出12116p 0 ? ，可得121200) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(4)當隨機變量 N 最大取到 3 時， 1 p ... p p3 1 0? ? ? ? ，可以求出294p 0 ? ，可得

　2945) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(5)當隨機變量 N 最大取到 2 時， 1 p p p2 1 0? ? ? ，可以求出61p 0 ? ，可得45) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(6) 當 隨 機 變 量 N 最 大 取 到 1 時 ， 1 p p1 0? ? ， 可 以 求 出72p 0 ? ， 可 得75) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　這道題出得不夠嚴謹，沒有指出 N 的分布是（a, b,0）分布。在（a, b,0）分布族中，?? 0 的值是指定的。如果沒有說明 N 的分布是（a, b,0）分布，則 N 的分布稱為（a, b,1）分布，則?? 0是任意滿足條件的值，所以導致出現(xiàn)多各答案。

　題目修正如下：

　設 N 是一個離散隨機變量，分布屬于（a, b,0）分布族，令?? ?? = ??(?? = ??)，已知?? ???? ??−1= −12+3?? ，?? = 1,2,…。計算( ) E N 的值。

　解：由 N 分布屬于（a, b,0）分布族，?? ???? ??−1= −12+3?? ，可知?? < 0, 因此 N 的分布是二項分布，?? = −??1−??= −12 , ?? =(??+1)??1−??= 3, 解出?? =13 ,?? = 5,

　?? 0 = (1 − ??) ?? = (1 −13 )5= 0.131687

　 第 四 章習題 答案 1、0.5，6.4167 2、5/12 3、0.4129 4、 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1 2211 2 211 20101 102 11 2 1 211sS X Xss x xsx s xs sF s f x F s x dxe e dxe e dxe e? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ????，0.1992 5、3/4 6、315029B ? ，91.28577a ? ?

　7、70000，1072000000，1.3724 8、856 9、 (1 ) ( ) G E S ? ? ? ，1.645 ( )0.0076904( )Var SE S? ? ?

　10、74.233 11、0.2451 12、46.13 13、2

　 第四章習題解答 1、設個體理賠變量 X IB ? ，其中 ( 1) 0.05 P I ? ? ，B 服從[0,20]上的均勻分布，求 ( ) E X和 ( ) Var X 。

　解答：

　( ) ( ( | )) ( ( ) ) ( ) ( ) 0.05 10 0.5 E X E E X I E E B I E B E I ? ? ? ? ? ?

　22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )10010 0.05 0.95 0.0536.4167Var X Var E X I E Var X IVar IE B E IVar BE B Var I Var B E I? ?? ?? ?? ? ? ? ??

　2、某保險人承保了兩個保險標的，它們的理賠額隨機變量分別為1X 和2X ，1 ~(0,75) X U ，2~ (0,150) X U ，1X 與2X 相互獨立。令1 2S X X ? ? ，求 ( 100) P S ? 。

　解答：由于1X 與2X 相互獨立，1 ~(0,75) X U ，2~ (0,150) X U 。

　750 075075201 1( )150 751150 7575 1150 75 150 75 21(75 150)150 4s xP S s dy dxs xdxs xss?? ?? ?? ?? ????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? 因此100 1 5( 100)150 4 12P S ? ? ? ? 。

　3、考慮 32 張保單，每張保單的理賠概率 p=1/6，在理賠發(fā)生的條件下理賠額 B 的密度函數(shù)為 2(1 ), 0 1( )0,x xf x? ? ? ?? ??其它

　記 S 為理賠總額，用正態(tài)逼近計算 P(S>2)。

　解答：101( ) 2 (1 )3E B x x dx ? ? ??， 1 1 1( )3 6 18E X ? ? ?

　21201 1( ) 2 (1 )3 18Var B x x dx? ?? ? ? ?? ?? ?? 22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 113 6 6 18 68324Var X Var E X I E Var X IVar IE B E IVar BE B Var I Var B E I? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 16( ) 32 ( ) 3218 9E S E X ? ? ? ? ，256( ) 32 ( )324Var S Var X ? ? ?

　??(?? > 2) = ??( ?? − ??(??)√??????(??)>2 − ??(??)√??????(??) ) = 1 − Φ( 2 −169√ 256324 ) = 1 − Φ(0.25) = 0.4129 4、設 ( )iixX if x e???? ，若 X 1 和 X 2 相互獨立， （1）求1 2S X X ? ? 的分布函數(shù)。

�。�2）若1 20.5, 0.75 ? ? ? ? ，計算1 2( 5) P X X ? ? 。

　解答：

�。�1）由卷積公式得 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1 2211 2 211 20101 102 11 2 1 211sS X Xss x xsx s xs sF s f x F s x dxe e dxe e dxe e? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ???? （2）把1 20.5, 0.75 ? ? ? ? 代入上題中的分布函數(shù)得 ? ? 5 0.8008SF ?

　故 ? ? ? ?1 25 1 5 0.1992SP X X F ? ? ? ? ?

　5、設1 2 3, , X X X 是相互獨立的隨機變量，它們的分布為：

　x

　1 ( )f x

　2 ( )f x

　3 ( )f x

　0 p 0.6 0.4 1 1－p 0.2 0.3 2

　0.2 0.2 3

　 0.1 設1 2 3S X X X ? ? ? ，已知 (5) 0.03Sf ? ，求 p 的值。

　解答：

　由卷積公式知 ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 35 0, 5 1, 4Sf P X X X P X X X ? ? ? ? ? ? ? ?

　其中 ? ? ? ? ? ?2 3 2 3 2 35 2, 3 3, 2 0.02 P X X P X X P X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 3 2 3 2 34 1, 3 2, 2 3, 1 0.06 P X X P X X P X X P X X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故

　? ? ? ? 5 0.02 0.06 1 0.03Sf p p ? ? ? ?

　 解得 3/4 p ? 。

　6、某保險人承保兩種類別的保單組合。設保單組合類別為 I 和 II，具體資料見下表：

　類別 出險概率 理賠額 保單數(shù) I 0.1 B

　5000 II 0.3 a B ?

　3000 假設總理賠額的期望值為 180000，當 a 和 B 為何值時，總理賠額的方差最小。

　解答：設 ,I IIS S 分別為類別 I 和 II 的總理賠額，則 ( ) 0.1 5000 500IE S B B ? ? ? ? ， 2 2( ) 5000 ( ) 5000 0.1 0.9 450I IVar S Var X B B ? ? ? ? ? ? ?

　( ) 3000 0.3 900IIE S aB aB ? ? ? ?

　2 2 2 2( ) 3000 ( ) 3000 0.3 0.7 630II IIVar S Var X a B a B ? ? ? ? ? ? ?

　( ) ( ) ( ) 500 900I IIE S E S E S B aB ? ? ? ?

　2 2 2( ) ( ) ( ) 450 630I IIVar S Var S Var S B a B ? ? ? ?

　由 ( ) 180000 E S ? 知180000 500 5200900 9BaB B?? ? ? ，代入 ( ) Var S 的表達式得 2 25( ) 450 630(200 )9Var S B B ? ? ?

　當315029B ? ，91.28577a ? ? 時，S 的方差最小。

　7、某火災保險公司為 160 棟建筑物承保，下表給出了最高賠款數(shù)與相應的保險單數(shù)，假設每棟建筑物發(fā)生火災的概率是 0.04 ，而且每棟建筑物發(fā)生火災與否為相互獨立事件，且在賠償發(fā)生條件下，理賠額服從 0 到最高賠款的均勻分布， S 為總賠付額，求 （1）

　( ) E S , ( ) Var S ； （2）

　? 為多少時， ( (1 ) ( )) 99% P S E S ? ? ? ? ? 種類 i

　最高賠款額 保單數(shù) 1 10000 80 2 20000 35 3 30000 25 4 50000 15 5 100000 5 解答：設1,0I?? ??火災發(fā)生火災不發(fā)生 ，， 1) 0.04 q P I ? ? ? （ 。對最高賠償額為iA 的第 i 類保單，設iX 為其總理賠額， ( ) ( )ii ii j nX Y Y ? ? ?

　其中對每個 i，( ) ,1, ,ij iY j n ? 是獨立同分布，設其分布與 IB i 相同， (0, )i iB U A ? ，( )2ii iAu E B ? ? ，22( )12ii iAVar B ? ? ? ，則總賠付額1 2 5S X X X ? ? ? ? ，

　5 51 1( )20.04(80 10000 35 20000 25 30000 15 50000 5 100000)270000i ii i i ii in AE S nu q q? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?

　52 212 25 51 19( ) ( (1 ) )0.04 0.96 0.044 121.072 10i i i i i i iii i i ii iVar S nu q q n qn A n A??? ?? ? ?? ? ?? ??? ? 由 ( (1 ) ( )) 99% P S E S ? ? ? ? 得：

　( ) ( )( ) 99%( ) ( )S E S E SPVar S Var S? ?? ?

　由中心極限定理， ( )( ) 99%( )E SVar S?? ?

　1( )(0.99) 2.325( )E SVar S??? ? ?

　解出：

　 2.325 ( )1.3724( )Var SE S? ? ? 。

　8、某保險人承保了具有如下特征的風險組合：

�。�1）理賠發(fā)生概率為 0.05; （2）理賠發(fā)生時，理賠額 B 的分布為 ? ?? ?343 100100Bf xx???. 該保險人的安全附加系數(shù)為 0.5。為使總賠付超過總保費的概率為 0.05，保險人至少要承保多少張保單。

　解答：? ?3403 100 100( ) 503 1100E B xdxx??? ? ???? ? ? ? ?223 100( ) 75003 1 3 2Var B?? ?? ? 理賠額 X 的均值和方差為 ( ) ( ( | )) ( ( ) ) 50 0.05 2.5 E X E E X I E E B I ? ? ? ? ?

　22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ) ( ) ( ) ( )50 0.05 0.95 7500 0.05493.75Var X Var E X I E Var X IE B Var I Var B E I? ?? ?? ? ? ? ??

　假設保險人承保 n 份保單，則 ( ) ( ) 2.5 E S nE X n ? ? ， ( ) ( ) 493.75 Var S nVar X n ? ? 。

　依題意有 ( ) 0.5 ( )( 1.5 ( )) ( )( ) ( )0.5 ( )

　 1 ( ) 0.05( )S E S E SP S E S PVar S Var SE SVar S?? ? ?? ?? ? 因此 0.5 ( ) 2.51.645 0.5( ) 493.75E S nVar S n? ? ?

　n＝855.1。因此保險人至少要承保 856 份保單才使總賠付超過總保費的概率為 0.05。

　9、考慮由 10 萬張同類醫(yī)療保險保單構成的保單組合。假設各保單發(fā)生損失相互獨立，保單規(guī)定保險人將賠付超過 100 的部分損失。設每張保單在保險期內的損失均服從以下分布 x

　0 50 100 200 500 1000 ( ) P X x ?

　0.3 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 若要求收取的保費總額低于總理賠額的概率不超過 5％，試確定該保單組合的最低安全附加保費。

　解答：令 Y 表示每張保單的實際賠付額，則100100 100XYX X? ?? ?? ??0。

　則 Y 的分布為 x

　0 100 400 900 ( ) P Y x ?

　0.5 0.2 0.2 0.1

　( ) 100 0.2 400 0.2 900 0.1 190 E Y ? ? ? ? ? ? ?

　2 2 2( ) ( ) ( ) 115000 190 78900 Var Y E Y E Y ? ? ? ? ?

　設 S 表示總理賠額，1000001iiS Y???， ( ) 100000 ( ) 19,000,000 E S E Y ? ? ?

　( ) 100000 ( ) 7,890,000,000 Var S Var Y ? ?

　設保費總額 (1 ) ( ) G E S ? ? ? 。根據(jù)題意要求，G 應該滿足

　( (1 ) ( )) 95% P S E S ? ? ? ?

　即 ( ) ( )( ) 95%( ) ( )S E S E SPVar S Var S? ?? ?

　由中心極限定理， ( )( ) 95%( )E SVar S?? ?

　1( )(0.95) 1.645( )E SVar S??? ? ?

　解出：

　 1.645 ( )0.0076904( )Var SE S? ? ? 。

　 10、某保險人承保 500 份保單，特征如下: 類型 各種類型的保單數(shù)目 發(fā)生理賠的概率 損失額分布 1 1n

　0.01 210, 9 ? ? ? ?

　2 500-1n

　0.04 23, 1 ? ? ? ?

　保險人收取保費為 ( ) ( ) E S Var S ? ，其中 S 為總損失變量。保險人可能收取的最高保費是多少？ 解答：

　1 1 12 21 111 1 11 1 11( ) 0.01 10 (500 ) 0.04 3 60 0.02( ) [0.01 0.99 10 0.01 9] (500 )[0.04 0.96 3 0.04 1]192.8 0.6944( ) 60 0.02 192.8 0.69440.6944( ) 0.02 , ( ) 0, 152 192.8 0.6944E S n n nVar S n nng n n ng n g n nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??保費令 6.4(0) 73.8852, (500) 73.2379, (156.4) 74.233074.2330g g g ? ? ?故收取的最大可能保費為 。

　11、一家診所里，每天志愿者醫(yī)生的數(shù)目等可能取值 1,2,3,4,5.每位志愿者可以服務的病人數(shù)服從均值 30 的泊松分布，用正態(tài)近似法求診所里一天至少有 120 位病人接受服務的概率。

　解答：

　2 2 2 2 2 22( ) 30( ) 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2 3( ) 30( ) (1 2 3 4 5 ) 0.2 3 2( ) ( ) ( ) 3 30 90( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) 2 900 30 3 1890E XE NVar XVar NE S E X E NVar S Var N E X Var X E N?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ( 120) 1 ( 120)( ) 120 ( )( 120) ( ) (0.69) 0.7549( ) ( )( 120) 1 0.7549 0.2451P S P SS E S E SP S PVar S Var SP S? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

　12、某保險人有以下三種壽險：

　購買人數(shù) 賠付額 死亡概率 100 1 0.01 200 2 0.02 300 3 0.03 對于每一張保單，該保險人購買再保險，自留額為 2.再保險保費為 H，等于再保險的期望賠付加上再保險給付的標準差，該保險人則收取保費 G，等于期望自留賠付加上自留賠付的方差加上 H，求 G。

　解答：設 C 為再保險費用，S 為自留額 22 2 2( ) (3 2) 300 0.03 9( ) 300 1 0.03 0.97 8.73( ) ( ) 9 2.95 11.95( ) 1 100 0.01 2 200 0.02 2 300 0.03 27( ) 100 1 0.01 0.99 200 2 0.02 0.98 300 2 0.03 0.97 51.5911.95 27 51.59 46.13E CVar CH E C Var CE SVar SG? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 13、某保險人有以下保單 類型 賠付額 保單數(shù) 發(fā)生理賠的概率 1 1 400 0.02 2 10 100 0.02 對于每張保單超過 R(R>1)的部分，保險人都買了再保險，每份保單每單位賠付的再保險保費為 0.025。保險人希望自留賠付加上再保險保費超過 34 的概率最小，用正態(tài)近似法求 R

　解答：設自留額為 S，再保險費用為 C

　2 2 22E(C)=100(10-R)(0.025)=2.5(10-R), E(S)=400(0.02)(1)+100R(0.02)=8+2RVar(S)=400 1 0.02 0.98 100 0.02 0.98 7.84 1.96( 34) [ 25 2.5 34] [ 9 2.5 ]( ) 9 2.5 (8 2 )[ ] [( )7.84 1.96R RP S C P S R P S RS E S R R SP PVar SR? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??2( ) 1 0.5]( )1.4 4E S RVar SR? ??? 令 22 221 0.5( ) ,1.4 4(4 )(1 0.5 ) (1 0.5 ) (2 )( )1.96(4 )( ) 0, 2Rf RRR R R Rf RRf R R???? ? ? ?? ??? ? ?

　第 五 章習題 答案 1、0.042 2、 x

　( )Sf x ( )SF x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999

　3、0.04, 0.04 4、1760 5、0.0365 6、768 7、2.064 8、92.16 9、6.38 10、2000000 11、15.19 12、22500 13、54,

　1080 14、X 的矩母函數(shù)為 1( ) ( )ln(1 )ln(1 )ln(1 )tXXxtxxtM t E ecec xcec????? ????? 其中第二個等式利用級數(shù)2 3ln(1 )2 3x xx x ? ? ????? ? ? 。

　利用復合分布矩母函數(shù)的性質

　? ?11ln(1 )1 [ln(1 )]1[ln(1 )]ln(1 )( ) ( ( ))exp( ( ( ) 1))ln(1 )exp[ ( 1)]ln(1 )( (1 ) )(1 )(1 )11cS N XXtt ct ct ctM t P M tM tcece ceeceececce????????????? ????????? ??? ??? ?????? ? ?? ???? ? 令 ,ln(1 )q c rc? ?? ??，則1( )1rStqM tqe? ? ?? ???? ?，這是一個負二項分布的矩母函數(shù)，參數(shù)為 1－c 和 r 。

　15、13/4 16、0.0518 17、

　18、0.1587 19、0.11 20、0.6368 21、1308.68 22、10000000，6.55% 23、0.3518 24、2654.4，66495851

　 ? ?? ?? ?? ?4442.82.842.82.81.240.3 0.7!4 !0.3 0.7! ! !1 2.81.2! !1.2 2.8! !1.2!nm m n mM nn mnm n mn mn mmn mm n mn mmf m e Cnnen m n meem n m eeem e n mem?? ???? ??? ?????? ??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ???????

　第五章習題解答

　 1、已知理賠額X的分布為 (1) 0.7Xf ? ， (2) 0.3Xf ? 。理賠次數(shù)N的分布為 ( 0) 0.6 P N ? ? ，( 1) 0.3 P N ? ? ， ( 2) 0.1 P N ? ? ，計算 (3)Sf 。

　解答：

�。河扇怕使降� ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 23 2 1, 2 2 2, 10.1 0.3 0.7 0.1 0.7 0.30.042Sf P N P X X P N P X X ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??

　2、設某險種的總理賠額服從復合泊松分布，平均理賠次數(shù)為 0.2 次，在任何一次理賠中，有 80％的概率會損失 5000 元，有 20％的概率會損失 10000 元。試計算保險人所面臨的總理賠額的分布。

　解答：

　：設 X 為個別理賠額，則 X 取值為 1，2 兩個數(shù)，貨幣單位為 5000 元， 0.2 ? ?

　0.2(0) 0.8187Sf e e? ? ?? ? ? (1) (1) (0) 0.2 0.8 exp(-0.2)=0.1309S X Sf f f ? ? ? ? ? (2) [ (1) (1) 2 (2) (0)] 0.0432292S X S X Sf f f f f?? ? ? (3) [ (1) (2) 2 (2) (1)] 0.0057993S X S X Sf f f f f?? ? ?

　如此遞推下去，結果列入下表：

　x

　( )Sf x ( )SF x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999

　3、設總理賠額 S 為復合泊松分布，已知個別理賠額取值 1、2、3。下表給出了停止損失再保險不同自留額對應的凈再保費：

　自留額 凈再保費 4 0.2 5 0.1 6 0.04 7 0.02 求 (5)Sf 和 (6)Sf 。

　解答：

　? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 1 4 4 0.9S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 5 1 5 5 0.94S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 6 1 6 6 0.98S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 故 ? ? ? ? ? ? 5 5 4 0.04S S Sf F F ? ? ?

　? ? ? ? ? ? 6 6 5 0.04S S Sf F F ? ? ?

　 4、假設某位醫(yī)生每天給AN 個成年人和CN 個兒童看病。假設AN 和CN 都服從泊松分布，參數(shù)分別為 4 和 2。醫(yī)生根據(jù)看病的時間收費每小時 200 元，已知醫(yī)生在每位病人身上花費的時間的分布為：

　成年人 兒童 1 小時 0.4 0.8 2 小時 0.6 0.2 求這個醫(yī)生一天內的平均收入。

　解答：假設醫(yī)生一天看病的總時間為 S，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1.6 2 1.2 8.8A C A A C CE S E S E S E N E X E N E X ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　設平均收入為 M，則 ? ? 200 1760 M E S ? ? ?

　5、設總理賠額 S 為復合泊松分布，已知個別理賠額的分布為1(1) (2) (4)3X X Xf f f ? ? ? ，又已知 S 取某些數(shù)值的概率為：

　S ( )Sf s

　3 0.0132 4 0.0215 5 0.0271 6 (6)Sf

　7 0.0410 求 (6)Sf 。

　解答：由復合泊松分布的遞歸公式 ? ? ? ? ? ?1x rS X Syf x yf y f x yx???? ?? 得 (0)Sf e? ??

　 (1) (1) (1) (0)3S X Sf f f e????? ? ?

　(2) 2(2) [1 (1) (1) 2 (2) (0)]21 2[ ]2 3 3 3 18 3S X S X Sf f f f fe e e? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? (3) 23 22(3) [1 (1) (2) 2 (2) (1)]31 2[ ( ) ]3 3 18 3 3 3162 9( 1) 0.01329 18S X S X Sf f f f fe ee ee? ?? ???? ? ? ?? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?

　 (4) 2(5) [1 (1) (4) 2 (2) (3) 4 (4) (1)]51 2 4[ 0.0215 0.0132 ]5 3 3 3 32 40.0215 0.013215 3 450.0271S X S X S X Sf f f f f f fee???? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??(5) 由（3）和（5）得

　0.0264 4 0.0132 180.0271 0.021515 15 5 ...

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