第 一 章習(xí)題 答案 1、 參數(shù) 1 / ? ? ? 的指數(shù)分布 2、48 3、0.00888889 4、34.29，72.83 5、 99499 6、49980.76

　7、97.5 8、3996,5605 9、974.567 10、（1）1X趨于有比2X更多的正數(shù)階矩。

　（2）兩個(gè)概率密度函數(shù)的比值1 2/ f f 會(huì)趨于無窮。

�。�3）1X 的危險(xiǎn)力函數(shù)比2X 的危險(xiǎn)力函數(shù)增長速度更快。

�。�4）

　的平均剩余壽命比 的平均剩余壽命增長更快 11、Loglogistic 分布只有正數(shù)階矩，而伽馬分布都有，所以 Loglogistic 分布與伽馬分布有更厚的尾部。。

　Paralogistic 分布只有正數(shù)階矩，而對數(shù)正態(tài)分布都有，所以 Paralogistic 分布比對數(shù)正態(tài)分布有更厚的尾部。

　逆指數(shù)分布沒有 1 k ? 的 k 階矩，而指數(shù)分布都有，所以逆指數(shù)分布與指數(shù)分布有更厚的尾部。。

　12、 證明：單參數(shù)帕累托分布的危險(xiǎn)力函數(shù)用下面的公式很容易計(jì)算， ? ?? ?ln d S xh xdx? ?

　即， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?ln ln lnln2S x xd S xdx x 這是一個(gè)遞減的函數(shù)。

　對于伽馬分布，注意到 ? ?? ?? ?? ?? ?01xf t dt f x y dyh x f x f x? ??? ?? ?， 因此當(dāng) y 給定時(shí)，若 ? ? ? ? / f x y f x ? 對于 x 遞增，則 ? ? 1/h x 對于 x 遞增，也就是說，隨機(jī)變量的危險(xiǎn)率函數(shù)是遞減的。對于參數(shù) 2 ? ? ， 500 ? ? 的伽馬分布， 1X2X

　? ?? ?? ?? ?1//5001 /1x yyxf x y x y e yef x x e x??? ??? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?， 因此 ? ? h x 對于 x 是嚴(yán)格遞增的,這是一個(gè)薄尾分布。

　第 一 章習(xí)題解答 1. X 服從一個(gè)參數(shù)為 ? 和 ? 的雙參數(shù)帕累托分布，已知：

　ln 1XY?? ?? ?? ?? ?

　求 Y 的分布。

　解：

　? ?? ? ? ? ? ?? ?ln 11111111yyyY Xyyyxyxex eF y F eeee????????? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?

　 所以 Y 的分布是一個(gè)參數(shù) 1 / ? ? ? 的指數(shù)分布 2. 已知：（1）

　X 服從均值為 2 的指數(shù)分布；（2）1.5Y X ? ；計(jì)算2[Y ] E

　解:使用2 3Y X ? 的代換來計(jì)算指數(shù)分布的三階距更為簡單。

　? ?3 3 33! 6 2 48 E X ? ?? ?? ?? ? 3. X 服從一個(gè)參數(shù)為 2.5 ? ? 和 10 ? ? 的伽馬分布。

　1 / Y X ? ，計(jì)算 ? ? Var Y

　解：我們來計(jì)算 E Y ? ?? ? 和2E Y ? ?? ?，或者1E X?? ?? ?和2E X?? ?? ?，注意到 TABLE 中用于伽馬分布整數(shù)階距計(jì)算的公式 ? ? 1k kE X k ? ? ? ?? ?? ?? ?。這個(gè)公式值提供了當(dāng) k 是一個(gè)正整數(shù)的情況，所以不能夠用來計(jì)算-1 和-2 階矩。由此，我們必須使用 TABLE 中更為一般化的公式， ? ?? ?kkkE X? ??? ??? ?? ?? 對于 1 k ? ? ，即為

　? ?? ? ? ?1111kE X? ?? ? ??? ??? ??? ?? ? 因?yàn)?? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ，對于 2 k ? ? ， ? ?? ?2211 2E X? ? ???? ?? ?? ? 所以， ? ?? ? ? ?221 10.0088888910 1.5 10 1.5 0.5Var Y? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 4. 損失服從一個(gè)均值為 10 和方差為 300 的帕累托分布。計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)水平為 95%和 99%時(shí)的VaR。

　解：設(shè) X 為損失變量，我們通過他的兩階矩來計(jì)算參數(shù) ? 和 ? ， E X 101??? ? ? ?? ??

　? ?? ?222E 4001 2X?? ??? ??? ?? ?

　用第一個(gè)公式除以第二個(gè)，得 ? ?2 14, 32????? ?? 將上述結(jié)果帶入一階矩的式子，得 20 ? ? ，帕累托分布的 95%分位數(shù)滿足 ? ? S x 0.05 ?

　? ?3S x 0.05x??? ?? ?? ??? ?

　0.9534.29 VaR x ? ?

　 類似的，99%的分位數(shù)滿足 ? ? S x 0.01 ?

　0.9972.83 VaR x ? ?

　5. 損失服從一個(gè) 1000 ? ? 的指數(shù)分布，計(jì)算 99%的在險(xiǎn)價(jià)值 解：我們設(shè) 99%分位數(shù)的在險(xiǎn)價(jià)值為 x ，則， 1000/0.99, 99499xe x?? ?

　6. 某家保險(xiǎn)公司的理賠損失服從一個(gè)由兩個(gè)占同樣比重的帕累托分布組成的混合分布，第一個(gè)帕累托分布的參數(shù) 1 ? ? 、 1000 ? ? ，第二個(gè)帕累托分布的參數(shù) 2 ? ? 、1000 ? ? ，計(jì)算這個(gè)混合分布 99%分位數(shù)的在險(xiǎn)價(jià)值。

　解：我們需要計(jì)算 99%的在險(xiǎn)價(jià)值，這個(gè)混合分布的生存函數(shù)是兩個(gè)生存函數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，

　在分布函數(shù)為 0.99 是生存函數(shù)為 0.01，設(shè) x 為 99%的分位數(shù)， ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?21000 1000S 0.5 0.5 0.011000 1000xx x 為了方便，設(shè) ? ? y 1000 / 1000 x ? ? ， 20.5 0.5 0.01 y y ? ?

　1 1 0.08y 0.019615242? ? ?? ?

　因?yàn)?y 必須為正數(shù)，所以我們拒絕了方程的負(fù)數(shù)解。

　10000.019615241000 x?? 1000x 1000 49980.760.01961524? ? ?

　7. X 是一個(gè)在0,100 ? ?? ? 上的均勻分布，計(jì)算? ?0.95TVaR X 解：我們通過方程的方式來解決，對于 X ，100 p th 的分位數(shù)為 100 p， 所以，

　? ?10.950.95100 ?50 45.12597.51 0.95 0.05ydyTVaR X?? ? ??? 然而，這個(gè)結(jié)果是很直觀的，對于在一個(gè)給定的均勻分布 95 和 100 之間的條件期望就是它的中間點(diǎn)。

　8. X 服從一個(gè)均值為 1000 的指數(shù)分布，計(jì)算 ? ?0.95TVaR X 和 ? ?0.99TVaR X 。

　解：使用公式， ? ?0.951000 1 ln 0.05 3996 TVaR ? ? ?

　? ?0.951000 1 ln 0.01 5605 TVaR ? ? ?

　9. X 是一個(gè)用來表示損失的隨機(jī)變量。

　X 服從一個(gè)參數(shù)為1000 ? ? ，2 a ? ,1 b ?的貝塔分布。計(jì)算 ? ?0.90TVaR X 。

　解：這個(gè)貝塔分布的密度函數(shù)為 ? ?22 / 1000 ,0 1000 f x x x ? ? ? 。首先我們計(jì)算 90%的分位數(shù)， ? ?22020.9, 1000 0.91000 1000xudu xF x x? ?? ? ? ?? ?? ?? 超出 1000 0.9 x ? 的部分為，

　? ? ? ?100020.90 221 97.45671000xu dup TVaR X ? ? ?? 除以 1 0.1 p ? ? ，我們得到 974.567。

　同樣的結(jié)果可以通過方程解出， ? ?2, 10001000xF x p x p? ?? ? ?? ?? ? 整合可得， ? ? ? ?? ?3/210.90.92000 1 0.91 10003p TVaR X ydy?? ? ?? 10. 對于服從分布1F，概率密度函數(shù)為1f的隨機(jī)變量1X與服從分布2F，概率密度函數(shù)為2f的隨機(jī)變量2X，如何判斷兩種分布的尾部。

　解：（1）1X趨于有比2X更多的正數(shù)階矩。

�。�2）兩個(gè)概率密度函數(shù)的比值1 2/ f f 會(huì)趨于無窮。

�。�3）1X 的危險(xiǎn)力函數(shù)比2X 的危險(xiǎn)力函數(shù)增長速度更快。

�。�4）

　的平均剩余壽命比 的平均剩余壽命增長更快 11. 使用合適的指標(biāo)比較下列分布的尾部：（1）Loglogistic 分布與伽馬分布； （2）Paralogistic 分布與對數(shù)正態(tài)分布（3）逆指數(shù)分布與指數(shù)分布 解：Loglogistic 分布只有正數(shù)階矩，而伽馬分布都有，所以 Loglogistic 分布與伽馬分布有更厚的尾部。。

　Paralogistic 分布只有正數(shù)階矩，而對數(shù)正態(tài)分布都有，所以 Paralogistic 分布比對數(shù)正態(tài)分布有更厚的尾部。

　逆指數(shù)分布沒有 1 k ? 的 k 階矩，而指數(shù)分布都有，所以逆指數(shù)分布與指數(shù)分布有更厚的尾部。。

　12. 已知 X 的密度函數(shù)為 ? ? f x ， ? ?3500000 / f x x ? ， 500 x ? （參數(shù) 2 ? ? 的單參數(shù)帕累托分布）， Y 的密度函數(shù)為 ? ? g y ， ? ?/500/ 250000yg y ye ? ? （參數(shù)2 ? ? ， 500 ? ? 的伽馬分布）。證明基于危險(xiǎn)力檢驗(yàn)， X 比 Y 厚尾。

　解：單參數(shù)帕累托分布的危險(xiǎn)力函數(shù)用下面的公式很容易計(jì)算， ? ?? ?ln d S xh xdx? ?

　即， 1X2X

　? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?ln ln lnln2S x xd S xdx x 這是一個(gè)遞減的函數(shù)。

　對于伽馬分布，注意到 ? ?? ?? ?? ?? ?01xf t dt f x y dyh x f x f x? ??? ?? ?， 因此當(dāng) y 給定時(shí)，若 ? ? ? ? / f x y f x ? 對于 x 遞增，則 ? ? 1/h x 對于 x 遞增，也就是說，隨機(jī)變量的危險(xiǎn)率函數(shù)是遞減的。對于參數(shù) 2 ? ? ， 500 ? ? 的伽馬分布， ? ?? ?? ?? ?1//5001 /1x yyxf x y x y e yef x x e x??? ??? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?， 因此 ? ? h x 對于 x 是嚴(yán)格遞增的,這是一個(gè)薄尾分布。

　第 二 章習(xí)題 答案 1、4% 2、0.099 3、12.5 4、35，50%，52.5 5、1.435 6、119.71 7、1.115 8、58.3 9、324, 5.82% 10、1.94 11、0.436 12、0.8 13、6 14、0 15、990944 16、0.13 17、2000 18、0.625 19、175 20、 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?( 40) 0.25[ ( 60)] 0.75[ ( 80)] X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.75( 80) 0.25( 60) ( 40) X X X ? ? ? ? ? ?

　第 二 章習(xí)題解答 1、 假設(shè)某險(xiǎn)種在 2019 年的實(shí)際損失額服從離散分布， ( 1000 ) 1/6, 1, ,6 P X k k ? ? ? 。保單上規(guī)定每次損失的免賠額為 1500 元。假設(shè) 2019-2020 年的通貨膨脹率為 5％，2020年的免賠額提高為 1600 元，求 2020 年的每次賠償?shù)睦碣r額期望是多少。與 2019 年相比，增長率是多少？ 解答：由 X 的分布計(jì)算得到：

　? ?1(1 2 3 4 5 6) 1000 35006E X ? ? ? ? ? ? ? ?

　? ?1 51500 1000 1500 1416.6676 6E X ? ? ? ? ? ?

　1600 1 5 16001000 1436.5081.05 6 6 1.05E X? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 2019 年的每次事故的理賠額期望為 ? ?? ?? ? ? ?? ?20091500 3500 1416.667250011 150016XE X E XE YF? ? ?? ? ??? 2020 年的每次事故的理賠額期望為

　? ?? ?? ?? ?201016001.051.05 3500 1436.508 1.0526001 16001 16 1.05XE X E XE YF? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?2010200926001.042500E YE Y? ?

　故增長率為 4%

　2、 假設(shè)某險(xiǎn)種的實(shí)際損失額 X 的分布函數(shù)為0.2( ) 0.04xf x xe ? ? ， 0 x ? 。已知免賠額為 30，求每次損失事故中的平均賠付額??(?? ?? )。

　解答：

　【方法一】

　由 X 的密度函數(shù)知，X 服從參數(shù) 2, 5 ? ? ? ? 的伽馬分布。

　? ? 5 2 10 E X ? ? ? 由伽馬分布的性質(zhì)知

　? ? ? ? ? ? 30 2 5 3;6 30 1 2;6 E X ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?

　其中 ? ?626063;6 1 1 25!jjeej???? ? ? ? ?? ? ? ? ?6 62;6 1 1 6 1 7 e e? ?? ? ? ? ? ?

　故 ? ? ? ? ? ?630 2 5 3;6 30 1 2;6 10 40 E X e ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 又 ? ? ? ?630 2;6 1 7XF e ? ?? ? ?

　故每次損失事件賠付額的期望為 ? ? ? ? ? ?* 6 630 10 (10 40 ) 40 0.099 E Y E X E X e e? ?? ? ? ? ? ? ? ?

　【 方法二】

　若不熟悉伽馬函數(shù)的性質(zhì)，則先計(jì)算 0.2 0.20( ) 0.04 1 (0.2 1)xx xF x xe dx x e? ?? ? ? ?? 30 30 300.2 0.2 60 0 0( 30) (1 ( )) 0.2 10 40x xE X F x dx xe dx e dx e? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故每次損失事件賠付額的期望為 ? ? ? ? ? ?* 6 630 10 (10 40 ) 40 0.099 E Y E X E X e e? ?? ? ? ? ? ? ? ?

　 3、 設(shè)某險(xiǎn)種的實(shí)際損失額為 X ， ( ) 500 E X ? 。當(dāng)免賠額為 d 時(shí)，投保人的損失消失率為: [ ]( )[ ]E X dLER dE X??

　當(dāng) d＝200 時(shí)，已知 (200) 25% LER ? 且 ( 200) 0.4 P X ? ? 。求 ( | 200) E X X ? 。

　解答：

　由 ? ?? ?? ?200200E XLERE X?? ，及 ? ? 500 E X ? 得 ? ? 200 125 E X ? ? 又因?yàn)?

　[ 200] [ 200| 200] ( 200) [ 200| 200] ( 200)0.6 [ 200| 200] 0.4 [ 200| 200]0.6 200 0.4 ( | 200)125E X E X X P X E X X P XE X X E X XE X X? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??

　 故 ( | 200) E X X ? ＝12.5

　4、 假設(shè)某險(xiǎn)種的實(shí)際損失額的分布滿足下面的性質(zhì): x

　( ) F x

　( ) E X x ?

　5 0.5 3 10 0.6 6 15 0.7 7.7 22.5 0.8 9.5 32.5 0.9 11 ?

　1 20 （1）已知免賠額為 10，求理賠額的期望。

�。�2）現(xiàn)將免賠額提高到使得 ( ) 0.5 ( 10) P X d P X ? ? ? ? ，求理賠額提高的比例。

�。�3）若明年的通貨膨脹率為 50％，免賠額為 15，求理賠額的期望。

�。�

　解答：（1）由表中的數(shù)據(jù)得 ? ? ? ? 20 E X E X ? ?? ? ? ? 10 6 E X ? ? ? ? 10 0.6XF ?

　故理賠額的期望為 ? ?? ? ? ?? ?10 14351 10 0.4XE X E XE YF? ?? ? ?? （2）因 ? ? 10 0.4 P X ? ? ，故 ? ? 0.2 P X d ? ?，即 22.5 d ?

　? ?? ? ? ?? ?"22.5 20 9.552.51 22.5 1 0.8XE X E XE YF? ? ?? ? ?? ?

　理賠額提高比例：52.51 50%35? ?

　（3）若明年的通貨膨脹率為 50％，則明年理賠額的期望等于

　? ? ? ?? ?1520 ( )10 141.5( ) 1.5 1.5 1.5 52.5151 10 0.41 ( )1.5XE XE X E XE YFF? ?? ?? ? ? ? ???

　5、 已知某險(xiǎn)種的實(shí)際損失額的分布為對數(shù)正態(tài)分布, 5 ? ? 和 2 ? ? ，每年平均有 10 起損失事件發(fā)生。已知今年免賠額為 1500 元。若明年的通貨膨脹為 20％，免賠額保持不變。明年平均將會(huì)有多少起理賠事件發(fā)生？ 解答：

　由題意知? ?2ln ~ 5,2 X N ，則 ? ? ? ?? ?? ?1.2 1500 ln ln1500 ln1.2ln 5 ln1500 ln1.2 52 2[ 0,1 1.065]1 1.0650.1435P X P XXPP N? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 故 ? ? 0.1435 10 1.435 E N ? ? ?

　6、 假設(shè)某保險(xiǎn)的損失額服從指數(shù)分布：

　1501( )150xXf x e??

　保單規(guī)定免賠額為 100 元，賠償限額為 1000 元，比例分擔(dān)系數(shù)為 0.8。計(jì)算 ( ) E Y 和*( ) E Y

　解答：

　X 的分布函數(shù)為150( ) 1xF x e?? ? ，由公式 1500( ) (1 ( )) 150(1 )xdE X d F x dx e?? ? ? ? ?? 得 ? ?? ?100 150100 150 1 72.987 E X e?? ? ? ?

　? ?? ?1000 1501000 150 1 149.809 E X e?? ? ? ?

　故每次損失事件的實(shí)際平均賠付額 ? ? ? ? ? ? ? ?*1000 100 0.8 149.809 72.987 61.46 E Y E X E X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 每次賠償事件的實(shí)際平均理賠額

　? ?? ?? ?*100 15061.46119.711 100XE YE YFe?? ? ??

　7、 某險(xiǎn)種保單在 2019 年的損失額 X 滿足下面的分布性質(zhì)：

　2( ) 0.025 1.475 2.25, 10,11,12,...,26 E X d d d d ? ? ? ? ? ?

　假設(shè) 2020 的保單損失額比 2019 年提高 10％。保單規(guī)定賠償高于免賠額 11 的全部損失，最高的賠償金額為 11。計(jì)算 2020 年的平均理賠額與 2019 年平均理賠額之比。

　解答：

　設(shè) X 表示 2019 年的損失額，Y 表示 2020 年的每張保單的賠付額。由保單規(guī)定賠償高于免賠額 11 的全部損失，最高的賠償金額為 11 知 0, 1111, 11 22 ( 22) ( 11)11, 22XY X X X XX? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 則 2 2( ) ( 22) ( 11)( 0.025 22 1.475 22 2.25) ( 0.025 11 1.475 11 2.25)(18.10 10.95)7.15E Y E X E X ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 在 2020 年，由于 2020 的保單損失額比 2019 年提高 10％，但免賠額和最高賠償金額沒有變化，因此 2020 年的保單賠付額可以表示為 0, 1.1 11" 1.1 11, 11 1.1 22 1.1[( 20) ( 10)]11, 1.1 22XY X X X XX? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 2 2( ") 1.1[ ( 20) ( 10)]1.1[( 0.025 20 1.475 20 2.25) (0.025 10 1.475 10 2.25)]1.1(17.25 10)7.975E Y E X E X ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 因此，2020 年的每張保單的平均賠付額與 2019 年的平均賠付額之比為 7.7957.15= 1.115

　 8、 設(shè)某險(xiǎn)種一張保單的實(shí)際損失的分布函數(shù)為：

　0.02( ) 0.02(1 0.02 ) , 0xf x q q x e x?? ? ? ? ?

　假設(shè)保單規(guī)定免賠額為 100，則理賠額的期望為 200。若免賠額提高到 200，理賠額的期望等于多少？ 解答：

　由損失的分布密度函數(shù)知，X 的分布由指數(shù)分布和伽馬分布混合而成的分布，即

　0.02 2 0.02( ) (1 )(0.02 ) (0.02 )x xf x q e q xe? ?? ? ?

　X 的分布函數(shù)為 0.02 0.020( ) ( ) 1 (1 ) (0.02 1)xx xF x f y dy q e q x e? ?? ? ? ? ? ?? 對于免賠額 d，理賠額 Y＝ | X d X d ? ? 的分布密度函數(shù)為

　 0.02( )0.02 0.020.020.02 2 0.02( )( )1 ( )0.02(1 0.02( )) , 0(1 ) (0.02 1)0.02(1 0.02( ))(1 ) (0.02 1)1 0.020.02 (0.02)(1 ) (0.02 1) (1 ) (0.02 1)Yx dd dxx xf x df xF dq q x d e xq e q d eq q x d eq q dq qd qe xeq q d q q d? ?? ??? ????? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? Y 的分布由指數(shù)分布和伽馬分布混合而成的分布。當(dāng) d＝100 時(shí)， 160 50 1001 1qq q? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 解得 1/4 q ?

　當(dāng) d＝100 時(shí)，有 1 0.02( ) 50 100(1 ) (0.02 1) (1 ) (0.02 1)1 250 1001 2 1 235058.36q qd qE Yq q d q q dq q qq q? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ＝

　9、 設(shè)某險(xiǎn)種在 2019 年的每份保單損失為 X，對 0 1000 d ? ? ，有下列關(guān)系式成立：

　2[ ] (2000 )/2000 E X d d d ? ? ?

　若保單規(guī)定保險(xiǎn)人支付損失超過 100 元部分的 80％，保單限額為 1000 元。

�。�1）每張保單的平均賠付額是多少。

�。�2）假設(shè) 2020 年該險(xiǎn)種的每份保單損失提高 5％，每份保單的平均支付額相應(yīng)提高多大比例。

　解答：

　（1）設(shè)*Y 表示保單的賠付額，由題意得，

　? ?*0 1000.8 100 100 10000.8 900 720 1000xY x xx? ??? ? ? ???? ? ?? 故 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?*0.8 1000 1000.8 1000 1000.8 500 95324E Y E x xE x E x? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? （2）2020 年賠付額的期望為 ? ?? ? ? ?? ?*20100.8 1000 1.05 1.05 1001000 1000.8 1.051.05 1.050.84 498.866 90.703342.857E Y E x xE x E x? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??

　與 2019 年相比提高的比例為 342.857 324100% 5.82%324?? ?

　 10、已知如下條件：

�。�1）損失服從對數(shù)正態(tài)分布，參數(shù)為 5, 2 ? ? ? ? ； （2）免賠額為 1000； （3）每年預(yù)計(jì)的損失次數(shù)為 10 次； （4）損失次數(shù)與個(gè)體損失額互相獨(dú)立。

　如果所有的個(gè)體損失額都提高 20%而免賠額不變，求每年超過免賠額的平均損失次數(shù)。

　解答：設(shè)損失額為 X，則 lnX 服從參數(shù) 5, 2 ? ? ? ? 的正態(tài)分布。故 ? ? ? ?? ?? ?1.2 1000 ln ln1.2 ln1000ln ln1000 ln1.2ln 5 ln1000 ln1.2 52 2ln1000 ln1.2 5121 0.8630.194P x P xP xxP? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ??? ?? ??? 故每年超過免賠額的平均損失次數(shù)為

　( ) 0.194 10 1.94 E N ? ? ?

　 11、損失額服從威布爾分布，參數(shù) 2 ? ? ， ? 未知。一個(gè)保險(xiǎn)人設(shè)定保險(xiǎn)限額為 100 元。已知 50%的損失事件的損失低于限額 100 元。但由于通貨膨脹，所有損失額上升 10%，求損失額仍低于 100 元的損失事件的百分比。

　解答：2(100/ )(100) 1 0.5 120xF e???? ? ? ? ?

　經(jīng)過 10%的通漲， Y =1.1 X ，2(100/132)100(100) ( ) 1 0.4361.1y xF F e ? ? ? ? ? 。

　 我們可知道經(jīng)過比例變換， Y 仍服從參數(shù) 2 ? ? ， ? =132 的威布爾分布。

　12、已知（1）損失服從指數(shù)分布；（2）今年的損失消失率 LER 為 70%；（3）明年的免賠額是今年的免賠額的 4/3，求明年的損失消失率 LER 。

　解答：假設(shè) ? ? E X = ? .根據(jù)指數(shù)分布的分布可知 ? ? E X d ? = ? (/1de? ?? ).則今年的 LER=//[ ] (1 )1[ ]ddE X d eeE X??????? ?? ? ? ，因此/ de? ?=0.3 明年免賠額為 4d/3,但 X 的分布不變，因此明年的 LER=4 /34 /3 4/3[ 4 /3] (1 )1 1 (0.3) 0.8[ ]ddE X d eeE X??????? ?? ? ? ? ? ?

　 13、已知隨機(jī)變量 X ：

　P ( X =3)= P ( X =12)=0.5 和 [ ( )]dE I X =3，求 d 。

　解答：已知 X 的取值都 ? 3,于是 0 , 0.5( ) [ ( )] (12 )(0.5) 3 612 , 0.5d dX d pI X E I X d dd X d p? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?

　14、損失服從均值為 100 的指數(shù)分布，一個(gè)保險(xiǎn)人正考慮以下兩種保險(xiǎn)：

�。�1）免賠額為 20； （2）免賠額為 50； 保險(xiǎn)人對每一種保險(xiǎn)分別計(jì)算了理賠額的偏度系數(shù)，分別為1c 和2c ，則2c 比1c 低百分之多少？ 解答：已知指數(shù)分布/1( )xxf x e???? ，以及分布/( ) 1xxF x e? ?? ? 。因此pY 的密度為 ( )///1( )( )1 ( ) 1 (1 )py dyxYdxef y df y eF d e?????? ????? ? ?? ? ?，可以看出pY 也是均值為 ? 的指數(shù)分布，和

　免賠額無關(guān)，因此1c =2c ，答案為 0.

　15、損失服從均值為 1000 的指數(shù)分布，某保險(xiǎn)公司設(shè)免賠額為 100。求賠付額LY 的方差。

　解答：要求 ( 100)LY X?? ? 的方差，即2 2 2[ ] ( [ ])L LE Y E Y ? 。對于一個(gè)指數(shù)分布，由于無記憶性，理賠額pY 也是服從均值為 ? =1000 的指數(shù)分布。同時(shí)我們也知道 [( ) ][ ] [ | ]( )LE X dE Y E X d X dP X d??? ? ? ?? 和22 2[( ) ][ ] [( ) | ]( )pE X dE Y E X d X dP X d??? ? ? ?? 因此，由 [ ]pE Y ? ? 和2 2[ ] 2pE Y ? ? 可得 [ ]LE Y = [( ) ] E X d?? = [ ]pE Y * P （X>d）=/ de??? 2[ ]LE Y ?2[( ) ] E X d?? * P （X>d）=22 / de???。由題中 ? =1000 和 d=100，我們有Var (LY )=2 2 2[ ] ( [ ])L LE Y E Y ? =22(1000)100/1000e ? -100/1000 2(1000 ) e ? =990944

　16、假設(shè)損失隨機(jī)變量 X 服從均勻分布 U [0，80]，現(xiàn)有兩種類型的保險(xiǎn)單: （1）免賠額為 10，收取保費(fèi)為每份保單平均賠付額加上 14.6； （2）全額賠付，收取保費(fèi)為（1+ k ）。

　兩個(gè)險(xiǎn)種所收保費(fèi)相同，求 k 。

　解答：8010( 10)(1/80) 14.6 45.225 40(1 ) 0.13 x dx k k ? ? ? ? ? ? ??

　 17、一位保險(xiǎn)人發(fā)現(xiàn)，對于某一種保單，當(dāng)損失額大于 1000 時(shí)，超過 1000 的平均損失額為 500。保險(xiǎn)人假設(shè)損失服從[0, C ]的均勻分布，其中 C >1000。求 C 。

　解答：若損失 X 服從[0, C ]的均勻分布，則條件密度 f(x|X>1000)=( ) 1/1/( 1000),(1000 )[ 100] ( 1000)/f x Cc x CP X c C? ? ? ? ?? ?, 這 說明條件密度是[0,C-1000]上的均勻分布，均值為10002C ?。令10002C ?=500 可得C =2000.

　18、2019 年的損失服從 2 ? ? 和 ? =5 的帕雷托分布。2020 年損失比 2019 年總體上升 20%。一份保單免賠額為 10。求 2010 年的損失消失率 LER。

　解答：設(shè) X 為 2009 年的損失隨機(jī)變量，則 2010 年損失為 1.2 X 。2010 年的

　LER=10 101.2 [ ] [ ][1.2 10]1.2 1.2[1.2 ] 1.2 [ ] [ ]E X E XE XE X E X E X? ??? ? ， [ ] E X =52 1 ?=5,

　10[ ]1.2E X ? =52 1 ?[2 15( )1051.2??]=3.125. 因此 LER=3.125/5=0.625.

　19、損失 X 服從帕雷托分布，參數(shù) 2 ? ? , ? 未知。

　已知：5[ 100| 100] [ 50| 50]3E X X E X X ? ? ? ? ? ；求 [ 150| 150] E X X ? ? 。

　解答：帕雷托分布為2( ) 1 1 F xx x?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?和 [ ]1E X????， 以及1[ ] 1 11E X cc c?? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，因?yàn)?2 ? ? 。

　因此 21100[( 100) ] [ ] [ 100][ 100| 100]1 (100) 1 (100)100E X E X E XE X XF F?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ??? ?，最后化簡為 100+ ? 。同理， [ 50| 50] E X X ? ? =50+ ? 。由已知條件 100+ ? =（5/3）(50+ ? )，因此 ? =25。

　[ 150| 150] E X X ? ? =150+25=175。

　20、一份保單對損失額 X 的免賠額為 40。保單還有以下條件：若損失位于區(qū)間（40，60 ] ，則賠償 40 以上的部分；若損失在（60，80 ] ，賠償 20 加上超過 60 部分的 75%。若損失超過 80，則賠償 35。假設(shè)均勻分布 X 服從 U [0,100]，求一個(gè)合適的 u ,用 E [X]和 E [X ? u ]表示賠付額。

　解答：由題知0 4040 40 6020 0.75( 60) 60 8035 80LXX XYX XX? ? ?? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ??? ?, 0 40( 40) {40 40XXX X??? ?? ? 對于 X<60 成立。如果我們減去 0.25( 60) X?? ，

　有 ( 40) X?? — 0.25( 60) X??0 4040 40 60( 40) 0.25( 60) 20 0.75( 60) 60XX XX X X X? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? 如果減去 0.75( 80) X?? ，我們有 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?

　0 4040 40 6020 0.75( 60) 60 8020 0.75( 60) 0.75( 80) 35 80XX XX XX X X? ??? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ??

　這就是賠付額 因此 ( 40) 0.25( 60) 0.75( 80) X X X? ? ?? ? ? ? ?( 40) 0.25[ ( 60)] 0.75[ ( 80)] X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.75( 80) 0.25( 60) ( 40) X X X ? ? ? ? ? ?

　第 三 章習(xí)題 答案 1、0.4695 2、0.29 3、0.938 4、 2, 1.536 r ? ? ? 的負(fù)二項(xiàng)分布 5、0.449 6、0.0165160? 平均來說，每六十年會(huì)出現(xiàn)一年中有 4 張或以上的保單會(huì)發(fā)生損失 7、7 8、2.4 9、90（??(??) = 30，??????(??) = 60）

　10、191192

　11、0.26412 12、5/3

　第三章習(xí)題 解答 1、已知??(0 < ?? < 1)，N 服從幾何分布，且??(?? = 0) = ??，如果 p 服從[0.5,0.9]上的均勻分布，求 ( ) E N 。

　解答：幾何分布的均值滿足1( )q pE Np p?? ? ，其中??服從??[0.5，0.9]

　 則0.90.90.50.51 1 1( ) (ln ) 0.46950.4 0.4pE N dp p pp?? ? ? ? ? ??

　2、對于一個(gè)離散分布，有如下特征：

　（1）11(1 ) , 1,2,3k kp c p kk?? ? ? ……

　 （2）00.5 p ?

　求 c。

　解答：已知11(1 ), 1,2,3kkpc kp k?? ? ? … 即對于（ a , b ,0）分布滿足 a 0 b ? ? ,可判斷分布為負(fù)二項(xiàng)分布，( 1)a , , , 21 1rb a b r? ?? ??? ? ? ?? ?且 則

　20(1 ) 0.5, 0.414, 0.291p c?? ???? ? ? ? ? ??解得

　3、假設(shè)經(jīng)過旅館的汽車的數(shù)量服從泊松分布，每個(gè)小時(shí)有 20 輛汽車經(jīng)過旅館，其中 30%是卡車，請計(jì)算從下午 12 點(diǎn)到下午 1 點(diǎn)間至少有 3 輛卡車經(jīng)過旅館的概率。

　解答：

　解答：經(jīng)過旅館卡車數(shù)滿足參數(shù)為λ = 20 ∗ 0.3 = 6的泊松分布滿足 ( ) , 1,2,3 0!kkp P N K e kk? ???? ? ? ? ? …，

　則，在一個(gè)小時(shí)內(nèi)至少三輛卡車經(jīng)過旅館的概率為 26 6 66 6( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2) 11 2!0.938P P N P N P N P N e e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

　4、假設(shè)某險(xiǎn)種的損失 X 服從帕雷托分布， 3, 1000 ? ? ? ? 即? ?343 1001( )0000 xf x??? 。若保單規(guī)定免賠額為 250 元。假設(shè)損失次數(shù) N 服從負(fù)二項(xiàng)分布， 2, 3 r ? ? ? ，求理賠次數(shù)的

　分布。

　解答：

　解答：設(shè)理賠次數(shù)為?? ∗ 。由已知損失額 X 的分布函數(shù)為 ? ?? ?33100011000Fxx ? ??， 因此索賠的概率為 ? ? 250 0.512 v P X ? ? ? 。

　則N ∗ 的分布為， ? ? ? ?? ?? ?*22t 1 3 1 0.512 1 1 1 1.536 1Nt t P??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

　 由上可知，理賠次數(shù)服從 2, 1.536 r ? ? ? 的負(fù)二項(xiàng)分布。

　5、一群人被等分為兩個(gè)等級的駕駛員。每個(gè)駕駛員發(fā)生事故的次數(shù)服從泊松分布。對于等級一的駕駛員，期望事故次數(shù)服從 U [0.2，1]，對于等級二的駕駛員，期望事故次數(shù)服從 U [0.4，2]，從這群人里隨機(jī)抽取一人，求這個(gè)人發(fā)生事故次數(shù)為 0 的概率。

　解答：

　[ 0] P N ? = [ 0 P N ? |等級一]× P [等級一]+ [ 0 P N ? |等級二]× P [等級二]

　 [ 0 P N ? |等級一]=1 10.2 0.21P[N 0| ( )0.8If d e d?? ? ? ??? ?? ?等級一, ] =0.5636

　 [ 0 P N ? |等級二]=2 20.4 0.41P[N 0| ( )1.6IIf d e d?? ? ? ??? ?? ?等級二, ]

　=0.3344

　 [ 0] P N ? =0.5636×0.5+0.3344×0.5=0.449

　6、一家保險(xiǎn)公司承保 25 份保單，每份保單發(fā)生損失的概率為 4%。各保單相互獨(dú)立。平均每隔多少年會(huì)出現(xiàn)一年中有 4 份或以上的保單會(huì)發(fā)生損失的情況。

　解答：在某一年中，發(fā)生損失的保單數(shù)目服從二項(xiàng)分布 B （25，0.04），一年中有 4 張或以上的保單會(huì)發(fā)生損失即 [ 4] P N ? =1- [ 0,1,2,3] P N ?

　這里 [ 0] P N ? = ? ? ? ?0 25250.04 0.960? ?? ?? ?=0.3604 [ 1] P N ? = ? ? ? ?1 24250.04 0.961? ?? ?? ?=03754， [ 2] P N ? = ? ? ? ?2 23250.04 0.962? ?? ?? ? =01877，[ 3] P N ?

　= ? ? ? ?3 22250.04 0.963? ?? ?? ?=0.0600，因此 [ 4] P N ? =1-（0.3604+03754+01877+0.06）=0.0165. 而 0.0165160? ，這個(gè)概率可以看作是平均來說，每六十年會(huì)出現(xiàn)一年中有 4 張或以上的保單會(huì)發(fā)生損失。

　7、已知負(fù)二項(xiàng)分布 r =2.5， ? =5。求使得kp 最大的 k 值。

　解答：已知負(fù)二項(xiàng)分布屬于（ a , b ,0）分布， a =1?? ?, b =( 1)1r ????。代入題中 a =56， b=(2.5 1)56?=54。（a,b,0）分布有1kkp bap k?? ? 。于是15 56 4kkpp k?? ? ，只要1kkpp?>1,即54k>16,求得 k<7.5。當(dāng) k=7，76pp=56+54 7 ?=1.012，所以7 6p p ? ；當(dāng) k =8，87pp=56+54 8 ?=0.99 因此7 8p p ? 。綜上所述，7p 最大， k =7。

　 8、1000 份保單中發(fā)生索賠的保單數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布， r =5， ? =0.2，且相互獨(dú)立。如果保單總數(shù)增加到 2000 份，求發(fā)生索賠的保單數(shù)的方差。

　解答：在 1000 份保單總數(shù)下，方差為 5 ? 0.2 1.2=1.2。如果增加 1000 份保單，而各份保單是否發(fā)生索賠是獨(dú)立的，那么方差即為原來的兩倍，2.4。

　這里相當(dāng)與求兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 W+U 的方差，所以只要把兩者相加即可。

　9、已知某險(xiǎn)種一年內(nèi)發(fā)生損失的次數(shù)服從參數(shù)為 20 的泊松分布，每次損失事故中獲得理賠的人數(shù)服從二項(xiàng)分布 B(3, 0.5)，求一年內(nèi)獲賠的人數(shù)的期望與方差之和。

　解答：一年內(nèi)獲賠人數(shù) ?? = ∑?? ??????=1 ??(??) = ??(??)??(??) = 20 ∗ 3 ∗ 0.5 = 30 ??????(??) = ??(??)??????(??) + ??????(??)??(??) 2 = 20 ∗ 0.75 + 20 ∗ 2.25 = 60 所以 ??(??) + ??????(??) = 90

　10、已知某險(xiǎn)種的單張保單理賠次數(shù)服從二項(xiàng)分布 B(n, p)，其中 n=5,參數(shù) p 服從區(qū)間[0.5,1]上的均勻分布，隨機(jī)抽取一張保單，求該保單至少發(fā)生一次理賠的概率是多少。

　解答：

　??(?? ≥ 1) = 1 − ??(?? = 0) = 1 − ∫ 2 ∗ (1 − ??) 510.5???? =1192

　 ?

　11、已知一個(gè)駕駛員每年發(fā)生索賠的次數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布。假設(shè)每個(gè)駕駛員的泊松參數(shù)λ都不相同，但λ服從[1,5]上的均勻分布。現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)駕駛員，求其最多發(fā)生一次索賠的概率是多少。

　解答：

　??(?? ≤ 1) = ??(?? = 0) + ??(?? = 1) = ∫14∗ (?? −?? + ???? −?? )51???? = 0.26412

　12、設(shè) N 是一隨機(jī)變量，令 ( )kp P N k ? ? ，如果11 32kkpp k?? ? ? ，計(jì)算 ( ) E N 。

　解：通過已知條件11 32kkpp k?? ? ? ，可以得出0p 至6p 相互間的關(guān)系：

　0 1p25p ? ，1 2p p ? ，2 3p21p ? ，3 4p41p ? ，4 5p101p ? ， 0 p 6 ? ， 0 ) 7 ( p n ? ? n ； 所有有意義的kp 和0p 關(guān)系可以寫為：

　0 0p p ? ，0 1p25p ? ，0 2p25p ? ，0 3p45p ? ，0 4p165p ? ，0 5p1605p ? ，0 6p 0 p ? ?

　(1) 當(dāng)隨機(jī)變量 N 最大取到 6 時(shí)， 1 p ... p p6 1 0? ? ? ? ，可以求出24332p 0 ? ，由此得出0p 至6p 的值，可得35) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(2)當(dāng)隨機(jī)變量 N 最大取到 5 時(shí)， 1 p ... p p5 1 0? ? ? ? ，可以求出24332p 0 ? ，可得35) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(3)當(dāng)隨機(jī)變量 N 最大取到 4 時(shí)， 1 p ... p p4 1 0? ? ? ? ，可以求出12116p 0 ? ，可得121200) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(4)當(dāng)隨機(jī)變量 N 最大取到 3 時(shí)， 1 p ... p p3 1 0? ? ? ? ，可以求出294p 0 ? ，可得

　2945) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(5)當(dāng)隨機(jī)變量 N 最大取到 2 時(shí)， 1 p p p2 1 0? ? ? ，可以求出61p 0 ? ，可得45) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　(6) 當(dāng) 隨 機(jī) 變 量 N 最 大 取 到 1 時(shí) ， 1 p p1 0? ? ， 可 以 求 出72p 0 ? ， 可 得75) (60? ? ? ?? kkp k N E 。

　這道題出得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，沒有指出 N 的分布是（a, b,0）分布。在（a, b,0）分布族中，?? 0 的值是指定的。如果沒有說明 N 的分布是（a, b,0）分布，則 N 的分布稱為（a, b,1）分布，則?? 0是任意滿足條件的值，所以導(dǎo)致出現(xiàn)多各答案。

　題目修正如下：

　設(shè) N 是一個(gè)離散隨機(jī)變量，分布屬于（a, b,0）分布族，令?? ?? = ??(?? = ??)，已知?? ???? ??−1= −12+3?? ，?? = 1,2,…。計(jì)算( ) E N 的值。

　解：由 N 分布屬于（a, b,0）分布族，?? ???? ??−1= −12+3?? ，可知?? < 0, 因此 N 的分布是二項(xiàng)分布，?? = −??1−??= −12 , ?? =(??+1)??1−??= 3, 解出?? =13 ,?? = 5,

　?? 0 = (1 − ??) ?? = (1 −13 )5= 0.131687

　 第 四 章習(xí)題 答案 1、0.5，6.4167 2、5/12 3、0.4129 4、 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1 2211 2 211 20101 102 11 2 1 211sS X Xss x xsx s xs sF s f x F s x dxe e dxe e dxe e? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ????，0.1992 5、3/4 6、315029B ? ，91.28577a ? ?

　7、70000，1072000000，1.3724 8、856 9、 (1 ) ( ) G E S ? ? ? ，1.645 ( )0.0076904( )Var SE S? ? ?

　10、74.233 11、0.2451 12、46.13 13、2

　 第四章習(xí)題解答 1、設(shè)個(gè)體理賠變量 X IB ? ，其中 ( 1) 0.05 P I ? ? ，B 服從[0,20]上的均勻分布，求 ( ) E X和 ( ) Var X 。

　解答：

　( ) ( ( | )) ( ( ) ) ( ) ( ) 0.05 10 0.5 E X E E X I E E B I E B E I ? ? ? ? ? ?

　22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )10010 0.05 0.95 0.0536.4167Var X Var E X I E Var X IVar IE B E IVar BE B Var I Var B E I? ?? ?? ?? ? ? ? ??

　2、某保險(xiǎn)人承保了兩個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的，它們的理賠額隨機(jī)變量分別為1X 和2X ，1 ~(0,75) X U ，2~ (0,150) X U ，1X 與2X 相互獨(dú)立。令1 2S X X ? ? ，求 ( 100) P S ? 。

　解答：由于1X 與2X 相互獨(dú)立，1 ~(0,75) X U ，2~ (0,150) X U 。

　750 075075201 1( )150 751150 7575 1150 75 150 75 21(75 150)150 4s xP S s dy dxs xdxs xss?? ?? ?? ?? ????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? 因此100 1 5( 100)150 4 12P S ? ? ? ? 。

　3、考慮 32 張保單，每張保單的理賠概率 p=1/6，在理賠發(fā)生的條件下理賠額 B 的密度函數(shù)為 2(1 ), 0 1( )0,x xf x? ? ? ?? ??其它

　記 S 為理賠總額，用正態(tài)逼近計(jì)算 P(S>2)。

　解答：101( ) 2 (1 )3E B x x dx ? ? ??， 1 1 1( )3 6 18E X ? ? ?

　21201 1( ) 2 (1 )3 18Var B x x dx? ?? ? ? ?? ?? ?? 22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 113 6 6 18 68324Var X Var E X I E Var X IVar IE B E IVar BE B Var I Var B E I? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 16( ) 32 ( ) 3218 9E S E X ? ? ? ? ，256( ) 32 ( )324Var S Var X ? ? ?

　??(?? > 2) = ??( ?? − ??(??)√??????(??)>2 − ??(??)√??????(??) ) = 1 − Φ( 2 −169√ 256324 ) = 1 − Φ(0.25) = 0.4129 4、設(shè) ( )iixX if x e???? ，若 X 1 和 X 2 相互獨(dú)立， （1）求1 2S X X ? ? 的分布函數(shù)。

�。�2）若1 20.5, 0.75 ? ? ? ? ，計(jì)算1 2( 5) P X X ? ? 。

　解答：

�。�1）由卷積公式得 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1 2211 2 211 20101 102 11 2 1 211sS X Xss x xsx s xs sF s f x F s x dxe e dxe e dxe e? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ???? （2）把1 20.5, 0.75 ? ? ? ? 代入上題中的分布函數(shù)得 ? ? 5 0.8008SF ?

　故 ? ? ? ?1 25 1 5 0.1992SP X X F ? ? ? ? ?

　5、設(shè)1 2 3, , X X X 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布為：

　x

　1 ( )f x

　2 ( )f x

　3 ( )f x

　0 p 0.6 0.4 1 1－p 0.2 0.3 2

　0.2 0.2 3

　 0.1 設(shè)1 2 3S X X X ? ? ? ，已知 (5) 0.03Sf ? ，求 p 的值。

　解答：

　由卷積公式知 ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 35 0, 5 1, 4Sf P X X X P X X X ? ? ? ? ? ? ? ?

　其中 ? ? ? ? ? ?2 3 2 3 2 35 2, 3 3, 2 0.02 P X X P X X P X X ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 3 2 3 2 34 1, 3 2, 2 3, 1 0.06 P X X P X X P X X P X X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故

　? ? ? ? 5 0.02 0.06 1 0.03Sf p p ? ? ? ?

　 解得 3/4 p ? 。

　6、某保險(xiǎn)人承保兩種類別的保單組合。設(shè)保單組合類別為 I 和 II，具體資料見下表：

　類別 出險(xiǎn)概率 理賠額 保單數(shù) I 0.1 B

　5000 II 0.3 a B ?

　3000 假設(shè)總理賠額的期望值為 180000，當(dāng) a 和 B 為何值時(shí)，總理賠額的方差最小。

　解答：設(shè) ,I IIS S 分別為類別 I 和 II 的總理賠額，則 ( ) 0.1 5000 500IE S B B ? ? ? ? ， 2 2( ) 5000 ( ) 5000 0.1 0.9 450I IVar S Var X B B ? ? ? ? ? ? ?

　( ) 3000 0.3 900IIE S aB aB ? ? ? ?

　2 2 2 2( ) 3000 ( ) 3000 0.3 0.7 630II IIVar S Var X a B a B ? ? ? ? ? ? ?

　( ) ( ) ( ) 500 900I IIE S E S E S B aB ? ? ? ?

　2 2 2( ) ( ) ( ) 450 630I IIVar S Var S Var S B a B ? ? ? ?

　由 ( ) 180000 E S ? 知180000 500 5200900 9BaB B?? ? ? ，代入 ( ) Var S 的表達(dá)式得 2 25( ) 450 630(200 )9Var S B B ? ? ?

　當(dāng)315029B ? ，91.28577a ? ? 時(shí)，S 的方差最小。

　7、某火災(zāi)保險(xiǎn)公司為 160 棟建筑物承保，下表給出了最高賠款數(shù)與相應(yīng)的保險(xiǎn)單數(shù)，假設(shè)每棟建筑物發(fā)生火災(zāi)的概率是 0.04 ，而且每棟建筑物發(fā)生火災(zāi)與否為相互獨(dú)立事件，且在賠償發(fā)生條件下，理賠額服從 0 到最高賠款的均勻分布， S 為總賠付額，求 （1）

　( ) E S , ( ) Var S ； （2）

　? 為多少時(shí)， ( (1 ) ( )) 99% P S E S ? ? ? ? ? 種類 i

　最高賠款額 保單數(shù) 1 10000 80 2 20000 35 3 30000 25 4 50000 15 5 100000 5 解答：設(shè)1,0I?? ??火災(zāi)發(fā)生火災(zāi)不發(fā)生 ，， 1) 0.04 q P I ? ? ? （ 。對最高賠償額為iA 的第 i 類保單，設(shè)iX 為其總理賠額， ( ) ( )ii ii j nX Y Y ? ? ?

　其中對每個(gè) i，( ) ,1, ,ij iY j n ? 是獨(dú)立同分布，設(shè)其分布與 IB i 相同， (0, )i iB U A ? ，( )2ii iAu E B ? ? ，22( )12ii iAVar B ? ? ? ，則總賠付額1 2 5S X X X ? ? ? ? ，

　5 51 1( )20.04(80 10000 35 20000 25 30000 15 50000 5 100000)270000i ii i i ii in AE S nu q q? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?

　52 212 25 51 19( ) ( (1 ) )0.04 0.96 0.044 121.072 10i i i i i i iii i i ii iVar S nu q q n qn A n A??? ?? ? ?? ? ?? ??? ? 由 ( (1 ) ( )) 99% P S E S ? ? ? ? 得：

　( ) ( )( ) 99%( ) ( )S E S E SPVar S Var S? ?? ?

　由中心極限定理， ( )( ) 99%( )E SVar S?? ?

　1( )(0.99) 2.325( )E SVar S??? ? ?

　解出：

　 2.325 ( )1.3724( )Var SE S? ? ? 。

　8、某保險(xiǎn)人承保了具有如下特征的風(fēng)險(xiǎn)組合：

　（1）理賠發(fā)生概率為 0.05; （2）理賠發(fā)生時(shí)，理賠額 B 的分布為 ? ?? ?343 100100Bf xx???. 該保險(xiǎn)人的安全附加系數(shù)為 0.5。為使總賠付超過總保費(fèi)的概率為 0.05，保險(xiǎn)人至少要承保多少張保單。

　解答：? ?3403 100 100( ) 503 1100E B xdxx??? ? ???? ? ? ? ?223 100( ) 75003 1 3 2Var B?? ?? ? 理賠額 X 的均值和方差為 ( ) ( ( | )) ( ( ) ) 50 0.05 2.5 E X E E X I E E B I ? ? ? ? ?

　22( ) ( ( | )) ( ( | ))( ) ( ) ( ) ( )50 0.05 0.95 7500 0.05493.75Var X Var E X I E Var X IE B Var I Var B E I? ?? ?? ? ? ? ??

　假設(shè)保險(xiǎn)人承保 n 份保單，則 ( ) ( ) 2.5 E S nE X n ? ? ， ( ) ( ) 493.75 Var S nVar X n ? ? 。

　依題意有 ( ) 0.5 ( )( 1.5 ( )) ( )( ) ( )0.5 ( )

　 1 ( ) 0.05( )S E S E SP S E S PVar S Var SE SVar S?? ? ?? ?? ? 因此 0.5 ( ) 2.51.645 0.5( ) 493.75E S nVar S n? ? ?

　n＝855.1。因此保險(xiǎn)人至少要承保 856 份保單才使總賠付超過總保費(fèi)的概率為 0.05。

　9、考慮由 10 萬張同類醫(yī)療保險(xiǎn)保單構(gòu)成的保單組合。假設(shè)各保單發(fā)生損失相互獨(dú)立，保單規(guī)定保險(xiǎn)人將賠付超過 100 的部分損失。設(shè)每張保單在保險(xiǎn)期內(nèi)的損失均服從以下分布 x

　0 50 100 200 500 1000 ( ) P X x ?

　0.3 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 若要求收取的保費(fèi)總額低于總理賠額的概率不超過 5％，試確定該保單組合的最低安全附加保費(fèi)。

　解答：令 Y 表示每張保單的實(shí)際賠付額，則100100 100XYX X? ?? ?? ??0。

　則 Y 的分布為 x

　0 100 400 900 ( ) P Y x ?

　0.5 0.2 0.2 0.1

　( ) 100 0.2 400 0.2 900 0.1 190 E Y ? ? ? ? ? ? ?

　2 2 2( ) ( ) ( ) 115000 190 78900 Var Y E Y E Y ? ? ? ? ?

　設(shè) S 表示總理賠額，1000001iiS Y???， ( ) 100000 ( ) 19,000,000 E S E Y ? ? ?

　( ) 100000 ( ) 7,890,000,000 Var S Var Y ? ?

　設(shè)保費(fèi)總額 (1 ) ( ) G E S ? ? ? 。根據(jù)題意要求，G 應(yīng)該滿足

　( (1 ) ( )) 95% P S E S ? ? ? ?

　即 ( ) ( )( ) 95%( ) ( )S E S E SPVar S Var S? ?? ?

　由中心極限定理， ( )( ) 95%( )E SVar S?? ?

　1( )(0.95) 1.645( )E SVar S??? ? ?

　解出：

　 1.645 ( )0.0076904( )Var SE S? ? ? 。

　 10、某保險(xiǎn)人承保 500 份保單，特征如下: 類型 各種類型的保單數(shù)目 發(fā)生理賠的概率 損失額分布 1 1n

　0.01 210, 9 ? ? ? ?

　2 500-1n

　0.04 23, 1 ? ? ? ?

　保險(xiǎn)人收取保費(fèi)為 ( ) ( ) E S Var S ? ，其中 S 為總損失變量。保險(xiǎn)人可能收取的最高保費(fèi)是多少？ 解答：

　1 1 12 21 111 1 11 1 11( ) 0.01 10 (500 ) 0.04 3 60 0.02( ) [0.01 0.99 10 0.01 9] (500 )[0.04 0.96 3 0.04 1]192.8 0.6944( ) 60 0.02 192.8 0.69440.6944( ) 0.02 , ( ) 0, 152 192.8 0.6944E S n n nVar S n nng n n ng n g n nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??保費(fèi)令 6.4(0) 73.8852, (500) 73.2379, (156.4) 74.233074.2330g g g ? ? ?故收取的最大可能保費(fèi)為 。

　11、一家診所里，每天志愿者醫(yī)生的數(shù)目等可能取值 1,2,3,4,5.每位志愿者可以服務(wù)的病人數(shù)服從均值 30 的泊松分布，用正態(tài)近似法求診所里一天至少有 120 位病人接受服務(wù)的概率。

　解答：

　2 2 2 2 2 22( ) 30( ) 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2 3( ) 30( ) (1 2 3 4 5 ) 0.2 3 2( ) ( ) ( ) 3 30 90( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) 2 900 30 3 1890E XE NVar XVar NE S E X E NVar S Var N E X Var X E N?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ( 120) 1 ( 120)( ) 120 ( )( 120) ( ) (0.69) 0.7549( ) ( )( 120) 1 0.7549 0.2451P S P SS E S E SP S PVar S Var SP S? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

　12、某保險(xiǎn)人有以下三種壽險(xiǎn)：

　購買人數(shù) 賠付額 死亡概率 100 1 0.01 200 2 0.02 300 3 0.03 對于每一張保單，該保險(xiǎn)人購買再保險(xiǎn)，自留額為 2.再保險(xiǎn)保費(fèi)為 H，等于再保險(xiǎn)的期望賠付加上再保險(xiǎn)給付的標(biāo)準(zhǔn)差，該保險(xiǎn)人則收取保費(fèi) G，等于期望自留賠付加上自留賠付的方差加上 H，求 G。

　解答：設(shè) C 為再保險(xiǎn)費(fèi)用，S 為自留額 22 2 2( ) (3 2) 300 0.03 9( ) 300 1 0.03 0.97 8.73( ) ( ) 9 2.95 11.95( ) 1 100 0.01 2 200 0.02 2 300 0.03 27( ) 100 1 0.01 0.99 200 2 0.02 0.98 300 2 0.03 0.97 51.5911.95 27 51.59 46.13E CVar CH E C Var CE SVar SG? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 13、某保險(xiǎn)人有以下保單 類型 賠付額 保單數(shù) 發(fā)生理賠的概率 1 1 400 0.02 2 10 100 0.02 對于每張保單超過 R(R>1)的部分，保險(xiǎn)人都買了再保險(xiǎn)，每份保單每單位賠付的再保險(xiǎn)保費(fèi)為 0.025。保險(xiǎn)人希望自留賠付加上再保險(xiǎn)保費(fèi)超過 34 的概率最小，用正態(tài)近似法求 R

　解答：設(shè)自留額為 S，再保險(xiǎn)費(fèi)用為 C

　2 2 22E(C)=100(10-R)(0.025)=2.5(10-R), E(S)=400(0.02)(1)+100R(0.02)=8+2RVar(S)=400 1 0.02 0.98 100 0.02 0.98 7.84 1.96( 34) [ 25 2.5 34] [ 9 2.5 ]( ) 9 2.5 (8 2 )[ ] [( )7.84 1.96R RP S C P S R P S RS E S R R SP PVar SR? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??2( ) 1 0.5]( )1.4 4E S RVar SR? ??? 令 22 221 0.5( ) ,1.4 4(4 )(1 0.5 ) (1 0.5 ) (2 )( )1.96(4 )( ) 0, 2Rf RRR R R Rf RRf R R???? ? ? ?? ??? ? ?

　第 五 章習(xí)題 答案 1、0.042 2、 x

　( )Sf x ( )SF x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999

　3、0.04, 0.04 4、1760 5、0.0365 6、768 7、2.064 8、92.16 9、6.38 10、2000000 11、15.19 12、22500 13、54,

　1080 14、X 的矩母函數(shù)為 1( ) ( )ln(1 )ln(1 )ln(1 )tXXxtxxtM t E ecec xcec????? ????? 其中第二個(gè)等式利用級數(shù)2 3ln(1 )2 3x xx x ? ? ????? ? ? 。

　利用復(fù)合分布矩母函數(shù)的性質(zhì)

　? ?11ln(1 )1 [ln(1 )]1[ln(1 )]ln(1 )( ) ( ( ))exp( ( ( ) 1))ln(1 )exp[ ( 1)]ln(1 )( (1 ) )(1 )(1 )11cS N XXtt ct ct ctM t P M tM tcece ceeceececce????????????? ????????? ??? ??? ?????? ? ?? ???? ? 令 ,ln(1 )q c rc? ?? ??，則1( )1rStqM tqe? ? ?? ???? ?，這是一個(gè)負(fù)二項(xiàng)分布的矩母函數(shù)，參數(shù)為 1－c 和 r 。

　15、13/4 16、0.0518 17、

　18、0.1587 19、0.11 20、0.6368 21、1308.68 22、10000000，6.55% 23、0.3518 24、2654.4，66495851

　 ? ?? ?? ?? ?4442.82.842.82.81.240.3 0.7!4 !0.3 0.7! ! !1 2.81.2! !1.2 2.8! !1.2!nm m n mM nn mnm n mn mn mmn mm n mn mmf m e Cnnen m n meem n m eeem e n mem?? ???? ??? ?????? ??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ???????

　第五章習(xí)題解答

　 1、已知理賠額X的分布為 (1) 0.7Xf ? ， (2) 0.3Xf ? 。理賠次數(shù)N的分布為 ( 0) 0.6 P N ? ? ，( 1) 0.3 P N ? ? ， ( 2) 0.1 P N ? ? ，計(jì)算 (3)Sf 。

　解答：

�。河扇�概率公式得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 23 2 1, 2 2 2, 10.1 0.3 0.7 0.1 0.7 0.30.042Sf P N P X X P N P X X ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??

　2、設(shè)某險(xiǎn)種的總理賠額服從復(fù)合泊松分布，平均理賠次數(shù)為 0.2 次，在任何一次理賠中，有 80％的概率會(huì)損失 5000 元，有 20％的概率會(huì)損失 10000 元。試計(jì)算保險(xiǎn)人所面臨的總理賠額的分布。

　解答：

�。涸O(shè) X 為個(gè)別理賠額，則 X 取值為 1，2 兩個(gè)數(shù)，貨幣單位為 5000 元， 0.2 ? ?

　0.2(0) 0.8187Sf e e? ? ?? ? ? (1) (1) (0) 0.2 0.8 exp(-0.2)=0.1309S X Sf f f ? ? ? ? ? (2) [ (1) (1) 2 (2) (0)] 0.0432292S X S X Sf f f f f?? ? ? (3) [ (1) (2) 2 (2) (1)] 0.0057993S X S X Sf f f f f?? ? ?

　如此遞推下去，結(jié)果列入下表：

　x

　( )Sf x ( )SF x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999

　3、設(shè)總理賠額 S 為復(fù)合泊松分布，已知個(gè)別理賠額取值 1、2、3。下表給出了停止損失再保險(xiǎn)不同自留額對應(yīng)的凈再保費(fèi)：

　自留額 凈再保費(fèi) 4 0.2 5 0.1 6 0.04 7 0.02 求 (5)Sf 和 (6)Sf 。

　解答：

　? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 1 4 4 0.9S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 5 1 5 5 0.94S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 6 1 6 6 0.98S SE S E S F F? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 故 ? ? ? ? ? ? 5 5 4 0.04S S Sf F F ? ? ?

　? ? ? ? ? ? 6 6 5 0.04S S Sf F F ? ? ?

　 4、假設(shè)某位醫(yī)生每天給AN 個(gè)成年人和CN 個(gè)兒童看病。假設(shè)AN 和CN 都服從泊松分布，參數(shù)分別為 4 和 2。醫(yī)生根據(jù)看病的時(shí)間收費(fèi)每小時(shí) 200 元，已知醫(yī)生在每位病人身上花費(fèi)的時(shí)間的分布為：

　成年人 兒童 1 小時(shí) 0.4 0.8 2 小時(shí) 0.6 0.2 求這個(gè)醫(yī)生一天內(nèi)的平均收入。

　解答：假設(shè)醫(yī)生一天看病的總時(shí)間為 S，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1.6 2 1.2 8.8A C A A C CE S E S E S E N E X E N E X ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　設(shè)平均收入為 M，則 ? ? 200 1760 M E S ? ? ?

　5、設(shè)總理賠額 S 為復(fù)合泊松分布，已知個(gè)別理賠額的分布為1(1) (2) (4)3X X Xf f f ? ? ? ，又已知 S 取某些數(shù)值的概率為：

　S ( )Sf s

　3 0.0132 4 0.0215 5 0.0271 6 (6)Sf

　7 0.0410 求 (6)Sf 。

　解答：由復(fù)合泊松分布的遞歸公式 ? ? ? ? ? ?1x rS X Syf x yf y f x yx???? ?? 得 (0)Sf e? ??

　 (1) (1) (1) (0)3S X Sf f f e????? ? ?

　(2) 2(2) [1 (1) (1) 2 (2) (0)]21 2[ ]2 3 3 3 18 3S X S X Sf f f f fe e e? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? (3) 23 22(3) [1 (1) (2) 2 (2) (1)]31 2[ ( ) ]3 3 18 3 3 3162 9( 1) 0.01329 18S X S X Sf f f f fe ee ee? ?? ???? ? ? ?? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?

　 (4) 2(5) [1 (1) (4) 2 (2) (3) 4 (4) (1)]51 2 4[ 0.0215 0.0132 ]5 3 3 3 32 40.0215 0.013215 3 450.0271S X S X S X Sf f f f f f fee???? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??(5) 由（3）和（5）得

　0.0264 4 0.0132 180.0271 0.021515 15 5 ...

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